点到直线的距离定律.docx

1、点到直线的距离定律点与直线直线方程一.教学内容:点到直线的距离;点关于点、关于直线的对称点;直线关于点、关于直线的对称直线;直线方程复习;二.知识点:1.点到直线距离公式及证明|Axo Byo C| d iAnr关于证明:根据点斜式，直线 PQ的方程为（不妨设 A丸）解方程组Ax By C Bx Ay Bxo Ayo,这就是点Q的横坐标，又可得X XoB2xo AByO AC A2xo B2xoA( Axo Byo C)_B ，B B( Axo Byo C)y yoA(x xo) A所以,|(AXo Byo C)2| Axo Byo C|Va2 b2。这就推导得到点 P （xo， yo）到直线

2、I: Ax+By+C=0 的距离公式。如果A=0或B=0 ,上式的距离公式仍然成立。F面再介绍一种直接用两点间距离公式的推导方法。设点Q的坐标为（X1，yi）,则C o,(A O),Ax1 By1yi yoXi Xo把方程组作变形,把，两边分别平方后相加,2 2 2 2 2 2(A B )(Xi Xo) (B a )(yi yo)2(Axo Byo C),所以,2A2 B2(Xi Xo)2 (yi yo)2 (AXo Byo C)所以,|Axo Byo C|2 学7 A B此公式还可以用向量的有关知识推导，介绍如下:设P1 （x1， y1）、P2（X2， y2）是直线I上的任意两点，则Ax1

3、Byi C o Ax2 By2 C o 把、两式左右两边分别相减，得A(xi X2) B(yi y2) 0,由向量的数量积的知识，知n - P2P1 0,这里n= （ A, B）。所以n= （A , B）是与直线I垂直的向量。d |PPo|cos ,（如图所示）/ F畑)7-0 x_一(LA oa)8 (lx oxm一(LA OA 二X ox) - (8/)一Soo .-so-on- - so。一丄一(tes一 S8 一一。du- P(底更吕)。08话8疋芷一 P2.平行线间的距离公式3.点关于点的对称点（中点坐标公式） 4.已知 P0 （X0, y0）直线 I: Ax+By+C=0 （ B

4、丸）点P。（X0, y。）关于直线I的对称点:设为Pi（Xi，yi）bl c 02 2则 A 2（ A） 1Xi X0 B特别地关于特殊直线的对称点。（X轴、y轴、直线y=x，直线y= x）5.直线I关于点Po （X0, yo）对称直线（三种方法）6.直线I关于直线l1 A1X By G 0的对称直线（三种方法）特别地直线I关于特殊直线y= x+b的对称直线。【典型例题】例1.求与直线1: 5X 12y 6 0平行且到I的距离为2的直线的方程。解法一：设所求直线的方程为5x 12y c 0,在直线5x 12y 6 0上取一点P0（0, 1）,2点P0到直线5X 12y c 0的距离为| 12X

5、 _ c| 22=|c 6|13J52 ( 12)2由题意，得132。C=32 或 c= 20 ,解法二：设所求直线的方程为5x 12y c 0,由两平行直线间的距离公式,故所求直线的方程为5x 12y 32 0和 5x 12y20 0。小结：求两条平行线之间的距离,可以在其中的一条直线上取一点，求这点到另一条直线的距离，即把两条平行线之间的距离，转化为点到直线的距离。也可以直接套两平行例2.已知正方形的中心为 G (- 1 , 0 ), 一边所在直线的方程为 x+3y - 5=0，求其他三边所 在的直线方程。解：正方形中心G (- 1, 0)到四边距离均为11 5 6Jl2 32 金则 1

6、_Cl1 具，即 |ci 1| 6。解得Ci 5或Ci 7。故与已知边平行的边所在直线的方程为 x+3y+7=0设正方形另一组对边所在直线的方程为 3x y+c 2=0。则 |3X ( 1) C2I 6即 |C2 3| 6，3。所以正方形另两边所在直线的方程为:3x y 9 0 和 3x y 3 0。综上所述，正方形其他三边所在直线的方程分别为:x 3y 7 0、3x y 9 0、3x y 3 0。小结：本例解法抓住正方形的几何性质，利用点到直线的距离公式，求得了正方形其他三 边所在直线的方程。例3.求直线x 2y 1 0关于直线x y 1 0对称的直线的方程。由 x 2y 1 0,得 X 1

7、解法一：x y 1 0， y 0点(1, 0)为两已知直线的交点。设所求直线的斜率为 k，由一条直线到一条直线的角的公式,1 1得一2 , k 2。1 1 1 k2故所求直线方程为y 2(x 1)，即 2x y 2 0。y0),即直线x 2y 1 0关于直线x y 1 0对称的直线的方程为2x y 2 0。解法三：设P (x, y)是所求直线上的任一点，P关于直线x + y 1 = 0对称的点为P0 (X0,则P0在直线x 2y 1 0上。-Xo 2yo 1 0,kPPo jX Xo1 y 2(1 X) 1=0 2x y 2=0即为所求。小结：求直线I关于直线11对称的直线的方程，只要在 I上

8、取两点A、B，求A、B关于11的对称点A、B，然后写出直线 AB的方程即为所求。解法二和解法三中，都用到了求一个点P关于某直线I的对称点Po的问题。这个问题的解法就是根据：直线 PoP与直线I垂直；求直线的方程。截距相等的直线方程。得x 4， y 3。所求直线的方程为 y 3x,4即3x 4y 0。当所求直线不过原点时,设所求直线方程为x y a,因为点(4, 3)在直线x+y=a 上,4 3 a，a 1,故所求直线方程为X y 1 0。在(*)式中，令x 0得y -一6252所以 6或7把 6和7列条件的a、b的值。(2 )直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到11、12的距离相等。分析：考

9、查直线与直线平行及垂直的问题的处理方法。a2令 y 0 得 x 6。32由题意，得 7 6 6。5 3 21。311分别代入(*)式整理,3a b 4 0由、解得 a=2 , b=2。l1的斜率也存在,1 a, b故ll和l2的方程可分别表示为例6.解:f(x) 2x 2 Jx2 4x 8已知函数f(X) Jx2 2x 2 Jx2 4x 8,求f(X)的最小值，并求取得J(x 1)2 (0 1)2 J(x 2)2 (0 2)2它表示点P (x, 0)与点A (1 , 1)的距离加上点 P ( X, 0)与点B (2 , 2)的距离之和, 即在X轴上求一点P (X, 0)与点A (1 , 1 )

10、、B (2 , 2 )的距离之和的最小值。由下图可知，转化为求两点 A ( 1, - 1 )和B (2 , 2)间的距离，其距离为函数 f(x)的最 小值。BC2.2)A (IT) f(X)的最小值为 J(1 2)2 ( 1 2)2 屈再由直线方程的两点式得AB方程为3x y 4 Go令y G得x 4。当x -时，f（x）的最小值为JIGo3 3小结：数形结合是解析几何最根本的思想，因此本题联系图形求解，使解法直观、简捷而 且准确，易于入手。例7.用解析法证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。则直线AB的方程为bx ay直线BC的方程为bxay ab G设底边AC上任意

11、一点为P (X, G) ( a wxwa),贝yp至Uab的距离|PE|bx ab| b(a x)妇2b2 寸a2 b2P到BC的距离为|PF| jaA到BC的距离h |ba ab| 2ab ja_b2b2 |PE| |PF|b(a x) b(a x)_b Ja2 b2原命题得证。例8.等腰直角三角形斜边所在直线的方程是3x y = 0, 条直角边所在直线 I经过点(4,2),且此三角形的面积为 10 ,求此直角三角形的直角顶点的坐标。解：设直角顶点为C, C到直线y=3x的距离为d ,110,则-d 2d2. Q kd如，设l的斜率为k，则飞tan451 l的方程为 y 2 (X 4)，即

12、x 2y 8 02设I是与直线y 3x平行且距离为J10的直线,则 J-mL 心0,.m 10,J10 I的方程是3x y 10 00 120得C点坐标是G由方程组x 2y 8 0及x 2y 83x y 10 0 3x y 10(28 34)(7，7)例 9 已知直线 I: (2 m)x (1 2m)y 4 3m 0,(1)求证：不论 m为何实数，直线I恒过一定点 M ;(2)过定点M作一条直线11,使h夹在两坐标轴之间的线段被 M点平分，求h的方程;(3 )若直线l2过点M，且与x轴负半轴、y轴负半轴围成的三角形面积最小， 求l2的方程。0,解：(1)化原直线方程为2x y 4 m(x 2y

13、 3)2x y 4 0由x 2y 3 0，定点M的坐标为(1，2)(2)设过点M的直线方程为x 1,a b它与x轴、y轴分别交于A (a , 0), B (0 , b)。M 为AB中点，由中点坐标公式得 a= 2 , b= 4 ,所求直线方程为2x y 4 0当且仅当k = -2时，围成的三角形面积最小,【模拟试题】求其他三边所在直线的方程。EAlC逹r(1991年全国高考题)【试题答案】1 3x 4y25 0或 x 5提示：(1)当直线I的斜率存在时，可设I的方程为y kx b o根据题意，得所求的直线(2)当直线10 5k b,|b|5,k解得b3425I的方程为3x 4y25I的斜率不存

14、在时，直线的倾斜角为 2即直线I与x轴垂直。根据题意，得所求直线 I的方程为x提示：点P (1, 1)到直线x cosy sin 20的距离为|cos sin d盂2|2 Sin|sincos2|V2s in(2|0,当 sin(1,即时,4| J22|最大。3.提示:|sin由cos21|0,sin2得sin sin4.解：可设CD所在直线方程为:x 3y m 0,则 |m 5| 2 | 1 0 5| m 7 或 17o点E在CD上方，.m = 17。经检验不合题意，舍去。m=7 ,.CD所在直线方程为X 3y 7 0。AB 丄 BC,可设BC所在直线方程为3x y n 0I 3 0 n|

15、I 1 0 5|AD所在直线方程为3X y5.分析：在直线上任取一点，求这点到另一直线的距离。解:在直线2x 7y 6 0上任取一点，如P ( 3, 0),注意用上面方法可以证明如下结论:|Ci C2I解：设直线方程为y 2 k(x 1)，则kx yx y 1 0 或 7x y角，则由夹角公式求得所求直线的斜率所求直线方程为x7y 150 或 7x y 5 0注意在寻求问题解的过程中, 数形结合可优化思维过程。8.分析：画图分析，可知符合题意的直线I有2条。解：画图分析，可知符合题意的直线I有2条。其一直线经过 AB的中点；其二直线与 AB所在的直线平行。又由 AB的中点为(一1 , 1 )得所求直线为y X 2 ；当所求直线与 AB所在的直线平行时，得所求直线方程为 y48x 6y 25的斜率为9.解：直线33，与它垂直的直线斜率为 4，因此原点关于此直线对称的点应在直线y3x4上。对照选项，只有（4, 3 ）在直线上，故选 D。评注 本题考查直线方程和对称点的有关知识。k 7或k解之得