1、高三数学解答题难题突破 已知不等恒成立讨论单调或最值已知不等恒成立讨论单调或最值【题型综述】不等式恒成立的转化策略一般有以下几种:分离参数函数最值;直接化为最值分类讨论;缩小范围证明不等式;分离函数数形结合。通过讨论函数的单调性及最值,直接化为最值的优点是函数结构简单,是不等式恒成立的通性通法,高考参考答案一般都是以这种解法给出,缺点是一般需要分类讨论,解题过程较长,解题层级数较多,不易掌握分类标准。【典例指引】例1设是在点处的切线()求的解析式;()求证:;()设,其中若对恒成立,求的取值范围【思路引导】()由导数值得切线斜率,进而得切线方程,即可求函数f(x)的解析式;()令,求导证得;(
2、), 当时,由()得,可得,进而得在区间上单调递增,恒成立, 当时,可得在区间上单调递增,存在,使得,此时不会恒成立,进而得的取值范围当时,故单调递减;当时,故单调递增 所以, )所以 点睛:导数问题经常会遇见恒成立的问题:(1)根据参变分离,转化为不含参数的函数的最值问题;(2)若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值,最终转化为 ,若恒成立;(3)若 恒成立,可转化为(需在同一处取得最值) 例2函数.()讨论的单调性;()若且满足:对,都有,试比较与的大小,并证明.【思路引导】(1)求出, 讨论两种情况分别令可得增区间,可得得减区间;(2)由()知在上单调递减,在上单调递增,所
3、以对,都有等价于,可得,令,研究其单调性,可得,进而可得结果.()当时,由得.由()知在上单调递减,在上单调递增,所以对,都有等价于即解得;令,当时,单调递减;当时,单调递增;又,所以.即,所以.例3已知函数(,为自然对数的底数)在点处的切线经过点()讨论函数的单调性;()若,不等式恒成立,求实数的取值范围【思路引导】 ()求出,由过点的直线的斜率为可得,讨论两种情况,分别由得增区间,得减区间;()原不等式等价于不等式恒成立,利用导数研究的单调性,求其最小值,令其最小值不小于零即可得结果.()不等式恒成立,即不等式恒成立,设,若,则,函数单调递增且不存在最小值,不满足题意;当时,由得,当时,单
4、调递减;当时,单调递增,所以,要使得恒成立,只需恒成立,由于,所以有,解得,即当时,恒成立,即恒成立,也即不等式恒成立,所以实数的取值范围为【同步训练】1已知函数. (1)当,求的图象在点处的切线方程;(2)若对任意都有恒成立,求实数的取值范围.【思路引导】(1)由于是在那点,所以求导可得(2)对f(x)求导,再求导,当时,所以对和分类讨论。单调递增,当时,在单调递增,恒成立;当时,存在当,使,则在单调递减,在单调递增,则当时,不合题意,综上,则实数的取值范围为.点睛:函数与导数中恒成立与存在性问题,一般是转化成最值问题,常用的两种处理方法:(1)分离参数(2)带参求导,本题采用带参求导。2已
5、知函数,若曲线和曲线在处的切线都垂直于直线()求,的值()若时,求的取值范围【思路引导】()根据导数的几何意义求解即可。()由()设,则,故只需证即可。由题意得,即,又由,得,分,三种情况分别讨论判断是否恒成立即可得到结论。(iii)若,则在上单调递增,而,从而当时,不可能恒成立,综上可得的取值范围是3已知函数(I)求曲线在点处的切线方程(II)求证:当时,(III)设实数使得对恒成立,求的最大值【思路引导】(I),得,又,可得在处切线方程为(II)令,求导得出的增减性,然后由得证(III)由(II)可知,当时,对恒成立时,令,求导,可得上单调递减,当时,F, 即当时,对不恒成立,可得k的最大
6、值为2(II)证明:令,即在时,(III)由(II)知,在时,对恒成立,点晴:本题主要考查函数导数与不等式,恒成立问题要证明一个不等式,我们可以先根据题意所给条件化简这个不等式,如第二问的不等式,可以转化为,第三问的不等式可以转化为,划归与转化之后,就可以假设相对应的函数,然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值,图像与性质,进而求解得结果4已知函数(其中)在点处的切线斜率为1(1)用表示;(2)设,若对定义域内的恒成立,求实数的取值范围;(3)在(2)的前提下,如果,证明:【思路引导】(1)由题意即得;(2)在定义域上恒成立,即,由恒成立,得,再证当时,即可;(3)由(2)知,且在单调递
7、减;在单调递增,当时,不妨设,要证明,等价于,需要证明,令,可证得在上单调递增,即可证得解法二:(分离变量)恒成立,分离变量可得对恒成立,令,则。这里先证明,记,则,易得在上单调递增,在上单调递减,所以。因此,且时,所以,实数的取值范围是。(3)由(2)知,且在单调递减;在单调递增, 5已知函数()(1)若在处取到极值,求的值;(2)若在上恒成立,求的取值范围;(3)求证:当时,【思路引导】(1)根据极值的概念得到,可得到参数值;(2)转化为函数最值问题,研究函数的单调性,分时,时,三种情况讨论单调性,使得最小值大于等于0即可。(3)由(1)知令,当时,当时,给x赋值:2,3,4,5等,最终证
8、得结果。试题解析:(1),在处取到极值,即,经检验,时,在处取到极小值(3)证明:由(1)知令,当时,(当且仅当时取“”),当时,即当2,3,4,有 点睛:这个题目考查了导数在研究函数极值和单调性,最值中的应用,最终还用到了赋值的思想,证明不等式。其中有典型的恒成立求参的问题。一般是转化成函数最值问题,或者先变量分离,将参数和变量分离到不等号的两侧,再转化为最值问题。6已知函数,其中(1)若,求函数在上的值域;(2)若,恒成立,求实数的取值范围【思路引导】(1)代入,从而求导,从而由导数的正负确定函数的单调性,从而求最值;(2)令,化简求导得到,再令并求导得,从而解得,使得,使在上单调递减,在
9、上单调递增,从而可得,且,从而化简求出实数的取值范围 点睛:导数问题经常会遇见恒成立的问题:(1)根据参变分离,转化为不含参数的函数的最值问题;(2)若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值,最终转化为,若恒成立,转化为;(3)若恒成立,可转化为7已知函数(1)当时,求在区间上的最值;(2)讨论函数的单调性;(3)当时,有恒成立,求的取值范围【思路引导】(1)先求导数,再求导函数零点,列表分析导数在区间上符号变化规律,确定函数最值(2)先求导数,根据导函数符号是否变化进行分类讨论:时,时,时,先负后正,最后根据导数符号对应确定单调性(3)将不等式恒成立转化为对应函数最值,由(2)得
10、,即,整理化简得,解得的取值范围(),当,即时,在上单调递减;当时,在上单调递增;当时,由得,或(舍去)在单调递增,在上单调递减;综上,当,在上单调递增;当时,在单调递增,在上单调递减;当时,在上单调递减;()由()知,当时,即原不等式等价于即整理得,又,的取值范围为点睛:利用导数研究不等式恒成立或存在型问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题8已知(1)当时,求在处的切线方程;(2)若存在,使得成立,求实数的取值范围【思路引导】(1)求出f(x)的导数,可得切线的斜率,由
11、斜截式方程即可得到所求切线的方程;(2)由题意可得存在x00,+),使得,设,两次求导,判断单调性,对a讨论,分和时,通过构造函数和求导,得到单调区间,可得最值,即可得到所求a的范围 所以设,令,所以在上单调递增,所以所以在单调递增,所以,所以所以,当时,恒成立,不合题意综上,实数的取值范围为9已知函数()(1)若,求曲线在处的切线方程;(2)若对任意,恒成立,求实数的取值范围【思路引导】由导函数研究切线的斜率可得切线方程为令,结合函数的性质分类讨论和两种情况可得实数的取值范围。()当,即时, 在上,在上,所以函数在上单调递增,在上单调递减,所以,由得,所以综上所述,的取值范围是点睛:本题考查了导数的几何意义以及利用导数判断函数单调性的知识,在处理任意性的时候要转化为最值问题,解决好最大值与最小值之间的关系,在解答过程中需要注意分类讨论10已知函数,直线的方程为(1)若直线是曲线的切线,求证:对任意成立;(2)若对任意恒成立,求实数是应满足的条件【思路引导】(1)根据切线的方程,写出斜率和截距,构造新函数,对新函数求导,得到在x(-,t)上单调递减,在x(t,+)为单调递增,即得到函数的最小值,根据函数思想得到不等式成立(2)构造新函数,对新函数求导,判断函数的单调性,针对于k的不同值,函数的单调性不同,需要进行讨论,求出函数的最小值,得到要写的条件(2)令当时,则在单调递增,
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