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1、完整版一次函数与几何图形综合专题一次函数与几何图形综合 专题思想方法小结：(1)函数方法.函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型， 进而解决有关问题的方法.函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法 可以解决许多数学问题.(2)数形结合法.数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在 解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用.知识规律小结：(1)常数k, b对直线y=kx+b(k w 0)位置的影响.当b0时，直线与y轴的正半轴相交；当b=0时，直线经过原点；当b0时，直线与x轴正半轴相交；当b=0时，即-b

2、 =0时，直线经过原点；k当k, b同号时，即-P O, bO时，图象经过第一、二、三象限；当k0, b=0时，图象经过第一、三象限；当bO, bvO时，图象经过第一、三、四象限；当k0时，图象经过第一、二、四象限；当k0时，把直线y=kx向上平移b个单位，可得直线 y=kx+b ;当bO时，把直线y=kx向下平移|b|个单位，可得直线 y=kx+b .(3)直线 bi=kix+bi与直线 y2=k2x+b2 (kiW0 , kZw 0)的位置关系.kiwk2 yi与y2相交；yi与y2平行;yi与y2重合.yi与y2相交于y轴上同一点(0, b)或(0, b2)；4b2ki k2i 2W b

3、2例题精讲:1、直线y=-2x+2与x轴、y轴交于A、B两点，C在y轴的负半轴上，且 OC=OB(1)求AC的解析式;(2)在OA的延长线上任取一点 P,作PQL BP,交直线AC于Q,试探究BP与PQ的数量关系，并证 明你的结论。(3)在(2)的前提下，作 PML AC于M,BP交AC于N,下面两个结论：(MQ+AC)/PM的值不变； (MQ-AC)/PM的值不变，期中只有一个正确结论，请选择并加以证明。2.(本题满分12分)如图所示，直线 L： y mx 5m与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点。(1)当OA=OB寸，试确定直线 L的解析式;作 AM! OQT M BNIOQT N,

4、若 AM=4 BN=3,求 MN的长。(3)当m取不同的值时，点 B在y轴正半轴上运动，分别以 OB AB为边，点B为直角顶 点在第一、二象限内作等腰直角 OB环口等腰直角 ABE连EF交y轴于P点，如图。问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想 PB的长是否为定值，若是，请求出其值，若 不是，说明理由。第2题图考点：一次函数综合题；直角三角形全等的判定.专题：代数几何综合题.分析：(1 )是求直线解析式的运用，会把点的坐标转化为线段的长度;(2)由OA=OB得到启发，证明， AMOA ONB ,用对应线段相等求长度;(3)通过两次全等，寻找相等线段，并进行转化，求 PB的长.解答：解：(1)

5、直线 L： y=mx+5m ,A (-5, 0) , B (0, 5m),由 OA=OB 得 5m=5 , m=1 ,，直线解析式为：y=x+5 .(2)在AAMO 和OBN 中 OA=OB , / OAM= / BON , / AMO= / BNO , .AMO AONB .AM=ON=4 , BN=OM=3 .(3)如图，作 EKy轴于K点.先证 ABO BEK ,OA=BK , EK=OB . 再证 PBFA PKE ,PK=PB .PB= -BK= -OA= 5 . 2 2 2点评：本题重点考查了直角坐标系里的全等关系， 充分运用坐标系里的垂直关系证明全等，本题也涉及一次函数图象的实际

6、应用问题.3、如图，直线与x轴、y轴分别交于 A B两点，直线与直线h关于x轴对称，已知直线l1的解析式为y x 3 (1)求直线12的解析式；(3分)(3) 4ABC沿y轴向下平移，AB边交x轴于点P,过P点的直线与AC边 的延长线相交于点 Q,与y轴相交与点 M,且B之CQ在 ABC平移的过 程中，OM为定值；MC为定值。在这两个结论中，有且只有一个是正 确的，请找出正确的结论，并求出其值。 (6分)y考点：轴对称的性质；全等三角形的判定与性质.分析：(1)根据题意先求直线11与x轴、y轴的交点A、B的坐标，再根据轴对称的性质求直线 12的上点C的坐标，用待定系数法求直线12的解析式；(2

7、)根据题意结合轴对称的性质，先证明 BEAA AFC , 再根据全等三角形的性质，结合图形证明 BE+CF=EF ;(3)首先过 Q点作QHy轴于H,证明 QCHA PBO ,然后根据全等三角形的性质和 QHM POM ,从而得HM=OM ,根据线段的和差进行计算OM的值.解答：解：(1)二直线11与x轴、y轴分别交于A、B两点,A (-3, 0) , B (0, 3), ;直线12与直线11关于X轴对称， .C (0, -3)直线12的解析式为：y=-x-3 ;(2)如图1 .答：BE+CF=EF .;直线12与直线11关于x轴对称， AB=BC , / EBA= / FAC ,. BE 1

8、3, CFX13./ BEA= /AFC=90. BEAA AFCBE=AF , EA=FC , BE+CF=AF+EA=EF ; (3)对，OM=3过Q点作QH，y轴于H ,直线12与直线1i关于x轴对称 / POB= / QHC=90BP=CQ又 AB=AC ,/ ABO= / ACB= / HCQ ,则QCH0PBO (AAS ),QH=PO=OB=CH. QHM POMHM=OMOM=BC- ( OB+CM ) =BC- ( CH+CM ) =BC-OMOM= 1 BC=3 .2点评：轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任

9、何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相(1)求直线AB的解析式;(2)若点M为直线y=mx上一点，且 ABhM以AB为底的等腰直角三角形，求 m值;过A点的直线产=履- 24交y轴于负半轴于P, N点的横坐标为-1 ,过N点的直线k k PM-PN - 2交APT点M试证明且的值为定值.考点：一次函数综合题；二次根式的性质与化简；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求正比例函数解析式；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形.专题：计算题.分析：(1)求出a、b的值得到A、B的坐标，设直线 AB的解析式是y=kx+b，代入得到方程组，求出即可;(2)当 BM，BA,且 BM=BA

10、 时，过 M 作 MN，丫 轴于 N,证 BMN ABO (AAS ),求出M的坐标即可；当 AM BA,且AM=BA时，过M作MN XX轴于N ,同法求出 M的坐标；当 AM BM,且 AM=BM 时，过 M作MN，X轴于N, MH Y轴于H ,证 BHM9 AMN ,求出M的坐标即可.(3)设NM与x轴的交点为 H,分别过M、H作x轴的垂线垂足为 G, HD交MP于D点, 求出 H、G 的坐标，证 AMG ADH , AMG ADH DPC NPC ,推出 PN=PD=AD=AM 代入即可求出答案.解答：解：(1)要使b=9一3-4=0有意义, 必须(a-2 ) 2=0 , v/b - 4

11、 =0 ,a=2 , b=4 ,A (2, 0) , B (0, 4),设直线AB的解析式是y=kx+b ,代入得：0=2k+b , 4=b ,解得：k=-2 , b=4 ,，函数解析式为：y=-2x+4 ,答：直线AB的解析式是y=-2x+4 .(2)如图2,分三种情况：如图(1)当BM，BA ,且BM=BA 时，过 M作MN，Y轴于N , BMNA ABO (AAS),MN=OB=4 , BN=OA=2 ,ON=2+4=6 ,M的坐标为(4,6 ),代入y=mx得：m=,2如图(2)当 AM BA ,且 AM=BA 时，过 M 作 MNX 轴于 N, ABOAAANM (AAS ),同理求

12、出M的坐标为(6, 2) , m= 1 ,3当 AM LBM ,且 AM=BM 时，过 M 作 MNLX 轴于 N, MH Y 轴于 H,则4 BHM AMN , MN=MH ,设 M (x, x)代入 y=mx 得：x=mx , ( 2)m=1 ,答：m的值是3或1或1.2 3(3)解：如图3,结论2是正确的且定值为 2,设NM与x轴的交点为H,分别过M、H作x轴的垂线垂足为 G, HD交MP于D点,由y= k x- k与x轴交于H点，2 2H (1 , 0),由y= k x- k 与y=kx-2k 交于 M 点,2 2M (3, K),而 A (2, 0),.A为HG的中点，AMG AAD

13、H (ASA),又因为N点的横坐标为-1,且在y=Kx-k上，2 2可得N的纵坐标为-K,同理P的纵坐标为-2K, ND平行于x轴且N、D的横坐标分别为-1、1 .N与D关于y轴对称， AMG ADH DPC NPC ,PN=PD=AD=AM ,PM -PN =2.AM求正比例函数的解析式，全等三角形的性质和判定，二次根式的性质等知识点的理解和掌握, 综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键.5.如图，直线 AB： y=-x-b分别与x、y轴交于A (6, 过点B的直线交x轴负半轴于 C,且OB OC3： 1。(1)求直线BC的解析式：(2)直线EF: y=kx-k (kw0)交AB于E,

14、交BC于点F,交x轴于D,是否存在这样的 直线EF,使得SebfSfbd?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由？(3)如图，P为A点右侧x轴上的一动点，以 P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等 腰直角 BPQ连接QA并延长交y轴于点K,当P点运动时，K点的位置是否发现变化？若不 变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由。考点：一次函数综合题；一次函数的定义；正比例函数的图象；待定系数法求一次函数解析专题：计算题.分析：代入点的坐标求出解析式 y=3x+6 ,利用坐标相等求出 k的值，用三角形全等的相等关系求出点的坐标.解答：解：(1)由已知：0=-6-b ,b=-6 ,1. AB : y=

15、-x+6 .-B (0, 6)OB=6OC= OB =2 ,3C (2 0)设BC的解析式是 Y=ax+c，代入得；6=0?a+c, 0=-2a+c ,解得：a=3, c=6 ,BC : y=3x+6 .直线BC的解析式是：y=3x+6 ;(2)过 E、F 分别作 EMx 轴，FNx 轴，则/ EMD= / FND=90- SaEBD=S AFBD ,DE=DF .又. / NDF= / EDM , . NFDA EDM ,FN=ME .联立 y=kx-k, y=-x+65k信 yE= ,k 1联立 y=kx-k , y=3x+6/曰 9k得yF二k-3FN=-y f, ME=y e,5k =

16、-9kk 1 k-35 (k-3) =-9 (k+1).k=3;7(3)不变化 K (0, -6). 过Q作QH，x轴于H , BPQ是等腰直角三角形,/ BPQ=90 , PB=PQ , / BOA= / QHA=90 , / BPO= / PQH ,. BOPA HPQ , PH=BO , OP=QH , PH+PO=BO+QH , 即 OA+AH=BO+QH , 又 OA=OB ,AH=QH ,. AHQ是等腰直角三角形, / QAH=45 ,.Z OAK=45 ,.AOK为等腰直角三角形, OK=OA=6 , K (0, -6).点评：此题是一个综合运用的题，关键是正确求解析式和灵活运

17、用解析式去解.6.如图，直线AB交X轴负半轴于B (m, 0),交Y轴负半轴于A (0, mj), OCLAB 于 C (-2,-2)。(1)求m的值;过G彳OB的垂线，垂足为GOB OAAOB为等腰直角三角形CBO 45CGB, CGO, OCB都是等腰直角三角形GB OG CG 2m -4(2)直线AD交OCT D,交X轴于E,过B作BF, AHBO FAH （同角的余角相等）OE ODOED ODEFEB OED, ADC ODE（对顶角相等）ADC FEBHBO CADCAD FAH在AFB和AFH中AFB AFH 90AF AF （公共边）BAF FAH （E证）AFB AFH （A

18、SA）BF HF （全等三角形对应边相等）在BOH和AOE中，HBO EAO （已证）BO AO （已知）BOH AOE 90BOH AOE （ASA）BH AE （全等三角形对应边相 等）BH BF BH 2BFBF BF BF 1AE BH 2BF 2 如图，P为x轴上B点左侧任一点，以AP为边作等腰直角 APM其中PA=PM 直线M皎y轴于Q,当P在x轴上运动时，线段OQfe是否发生变化？若不变，求 其值；若变化，说明理由。解 0Q的长不发生变化过P作PN垂直于笈轴交AB于N.垂足为PAAPM为等腰直角三角形，.PM = PA, 1通A =号又一.七AOB为等腰直角三角形，ZALC =4

19、511Z1TBP = /矣。=45%时顶角相等）ANPR是等腰直角三角形：.PN = PEZNPA=二 90 十/5F工二 月十 QBPA= 4PB在&NTA? 口 ABPM 中.PN = 己证) ZNPA = ZMPB (已证)AP = MP (己知)L 一AHPA 兰 ABPM ( SAS)- JPNAZPBM = 45又 v ZABO = 45.ZABM = 1800-ZOBA-ZPSM= lS0o-45o-45a=M0MB AB丁过一点有且只有一条直线与已知直线垂直直线MP喳一rZQBO=450.AOBQ为等腰直角三角形.0Q = 0B=4与y轴交于点C,与直线y=kx交于点P,且PO

20、=PA(1)求a+b的值;(2)求k的值；(3)D为PC上一点，DF，x轴于点F,交OPT点E,若DE=2EF,求D点坐标.考点：一次函数与二元一次方程(组).专题：计算题；数形结合；待定系数法.分析：(1)根据题意知，一次函数 y=ax+b的图象过点B (-1,5 )和点 A (4, 0),把 A、2B代入求值即可;(2)设P (x, y),根据PO=PA ,列出方程，并与 y=kx组成方程组，解方程组;(3)设点 D (x, - x+2),因为点 E 在直线 y= x 上，所以 E (x, x) , F (x, 0),2 2 2再根据等量关系DE=2EF列方程求解.解答：解：(1)根据题意

21、得：=-a+b20=4a+b解方程组得：a= 1, b=22a+b=- +2= 3 ,即 a+b=;2 2 2(2)设P (x, y),则点P即在一次函数y=ax+b上，又在直线 y=kx上,由(1)得：一次函数 y=ax+b的解析式是y=- x+2 ,2又 PO=PA ,x2+y2=(4-x) 2+y2y=kxy= 1 x+2 ,2解方程组得：x=2 , y=1 , k= 1 ,2k的值是1 ;2(3)设点 D (x,x+2),则 E (x, 1x) , F (x, 0),2 2 DE=2EF ,-1 x+2- 1 x=2 X1 x,22 2解得：x=1 ,则-1x+Z= 1 X1+2= 3

22、 ,32 2D (1 , 3).2点评：本题要求利用图象求解各问题，要认真体会点的坐 标，一次函数与一元一次方程组之间的内在联系.8.在直角坐标系中，B、A分别在x, y轴上，B的 坐标为(3, 0), /ABO=3(J , AC平分/OAB交 x 轴于C(1)求C的坐标；解：. ZAOB=9(J /ABO=30 / OAB=3(J又AC是/ OAB的角平分线/ OAC4 CAB=30.OB=3OA= 3 OC=1即 C(1, 0)(2)若D为AB中点，/ EDF=60 ,证明: 证明：取CB中点H,连CD,DH. AO= 3 CO=1.AC=2又D,H分别是AB,CD中点DH=1 AC AB

23、=2 321 . DB=- AB=V3 BC=2 / ABC=30 2:.BC=2 CD=2 /CDB=60 CD=1=DH. /EOF玄 EDC吆 CDF=60 / EDC玄 FDH.AC=BC=2CD AB ADC=90o _ _ o CBA=30/ ECD=60. HD=HB=1/ DHF=6(J在ADCE和4DHF中/ EDC=/ FDH / DCE=/ DHF DC=DHCE+CF=OC/ CDB4CDF吆 FDH=60ADCE DHF(AAS).CE=HF. CH=CF+FH=CF+CE=1 OC=1. CH=OCOC=CE+CF(3)若D为AB上一点, EBC的度数是否发生变化;

24、 解：不变 /EBC=60设DB与CE交与点以 D 作 ADEC 使 DC=DE /EDC=120 ,连 BE,试问 /若不变，请求值。 DC=DE /EDC=120 / DECW DCE=30 ADGCffiA DCB 中J/CDG4 BDC / DCG4 DBC=30 .DGC s ADCBDC _ DBDG - DCDC=DEDE DB = DG DE 在EDG和BDE中DE =DBDG DE/ EDG=/ BDE.EDG s ABDE/DEG=/ DBE=30/EBD=/ DBE+/ DBC=609、如图，直线 AB交x轴正半轴于点 A (a, 0),交y轴正半轴于点 B (0, b)

25、,且a、b满足,a 4 + |4 b|=0(1)求A、B两点的坐标；(2) D为OA的中点，连接 BQ过点O作OaBD于F,交AB于E,求证/ BDO/EDA(3)如图，P为x轴上A点右侧任意一点，以 BP为边作等腰 RtPBM其中PB=PM直线MA 交y轴于点Q,当点P在x轴上运动时，线 段OQ勺长是否发生变化？若不变, 求其值； 若变化，求线段 OQ勺取值范围.考点：全等三角形的判定与性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根.专题：证明题；探究型.分析：首先根据已知条件和非负数的性质得到关于 a、b的方程，解方程组即可求出 a, b的值，也就能写出 A, B的坐标；作出/ AO

26、B的平分线，通过证 BOG OAE得到其对应角相等解决问题；过M作x轴的垂线，通过证明 PBOA MPN得出MN=AN ,转化到等腰直角三角形中去就很好解决了.解答：解：: a4+|4-b|=0a=4 , b=4 ,A (4, 0) , B (0, 4);(2)作/ AOB的角平分线，交 BD于G, / BOG= / OAE=45 , OB=OA ,/ OBG= / AOE=90 -/ BOF ,. BOG AOAE , OG=AE . / GOD= /A=45 , OD=AD , GOD EDA ./ GDO= / ADE .(3)过M作MN，x轴，垂足为 N./BPM=9 0 , / BP

27、O+ / MPN=90 . / AOB= / MNP=90 ,/ BPO= / PMN , / PBO= / MPN . BP=MP ,. PBOA MPN ,MN=OP , PN=AO=BO ,OP=OA+AP=PN+AP=AN , MN=AN , / MAN=45 . / BAO=45 ,.Z BAO+ / OAQ=90. BAQ是等腰直角三角形.OB=OQ=4 .，无论P点怎么动OQ的长不变.点评：(1)考查的是根式和绝对值的性质.(2)考查的是全等三角形的判定和性质.(3)本题灵活考查的是全等三角形的判定与性质， 还有特殊三角形的性质.10、如图，平面直角坐标系中，点 A、B分别在x、

28、y轴上，点B的坐标为(0, 1),/ BAB30。.(1)求 AB 的长度； (2)以AB为一边作等边 ABE作OA的垂直平分线 M竣 AB的垂线AD于点D.求证：BD=OE考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；含 30度角的直角三角形.专题：计算题；证明题.分析：(1)直接运用直角三角形 30。角的性质即可.(2)连接OD,易证 ADO为等边三角形，再证 ABDA AEO即可.(3)作 EH XAB 于 H,先证 ABO AEH ,得 AO=EH ,再 证 AFDA EFH 即可.解答：(1)解：二在 RtAABO 中，/ BAO=30 ,AB=2BO=2 ;(2)证明：连接OD, .ABE为等边三角形，AB=AE , / EAB=60 ,BAO=30 ,作OA的垂直平分线 MN交AB的垂线AD于点D, / DAO=60 ./ EAO= / NAB又 DO=DA ,.ADO为等边三角形.DA=AO .在 ABD与 AEO中， AB=AE , / EAO= / NAB , DA=AOABDA AEO .BD=OE .(3)证明：作EHXAB于H.,. AE=BE , AH= -1 AB,2BO= 1 AB,