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1、奥数之排列组合与概率讲义奥数之排列组合与概率【讲义】第十三章 排列组合与概率 一、基础知识 1(加法原理:做一件事有n类办法，在第1类办法中有m种不同的方法，在第2类办法中有m种不同的12方法，在第n类办法中有m种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m+m+m种不同的方法。 n12n2(乘法原理:做一件事，完成它需要分n个步骤，第1步有m种不同的方法，第2步有m种不同的方法，12第n步有m种不同的方法，那么完成这件事共有N=mmm种不同的方法。 n12n3(排列与排列数:从n个不同元素中，任取m(m?n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，从n个不同元素中

2、取出m个(m?n)元素的所有排列个数，叫做从n个不同n!mm元素中取出m个元素的排列数，用表示，=n(n-1)(n-m+1)=,其中m,n?N,m?n, AAnn(n,m)!0n注:一般地=1，0=1，=n!。 AAnnnAn4(N个不同元素的圆周排列数为=(n-1)!。 n5(组合与组合数:一般地，从n个不同元素中，任取m(m?n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，即从n个不同元素中不计顺序地取出m个构成原集合的一个子集。从n个不同元m素中取出m(m?n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用表示: Cn,？,，n(n1)(nm1)n!

3、m,C. n,m!m!(nm)!nmn,mmmn,1k,1k6(组合数的基本性质:(1);(2);(3);(4)C,CC,C，CC,Cn,1nnnn,1nnkn01nknkkkk，1kmn,kC，C，？，C,C,2;(5);(6)。 C，C，？，C,CCC,C,nnnnkk,1k，mk，m，1nkn,m,0kn,17(定理1:不定方程x+x+x=r的正整数解的个数为。 C12nr,1证明将r个相同的小球装入n个不同的盒子的装法构成的集合为A，不定方程x+x+x=r的正整数解12n构成的集合为B，A的每个装法对应B的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射。反之B中每一个解

4、(x,x,x),将x作为第i个盒子中球的个数，i=1,2,n，便得到A的一个装12ni法，因此为满射，所以是一一映射，将r个小球从左到右排成一列，每种装法相当于从r-1个空格中选n-1n,1个，将球分n份，共有种。故定理得证。 Cr,1r推论1 不定方程x+x+x=r的非负整数解的个数为 C.12nn，r,1推论2 从n个不同元素中任取m个允许元素重复出现的组合叫做n个不同元素的m可重组合，其组合数m为C. n，m,10n1n,12n,22rn,rrnnn8(二项式定理:若n?N,则(a+b)=Ca，Cab，Cab，？，Cab，？Cb.其+nnnnnrn,rrr中第r+1项T=叫二项式系数。

5、Cab,Cr+1nn9(随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。在大量重复进行同一试验时，事件mA发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动，这个常数叫做事件A发生的概率，记作p(A),0?np(A)?1. 10.等可能事件的概率，如果一次试验中共有n种等可能出现的结果，其中事件A包含的结果有m种，那么m事件A的概率为p(A)= .n11.互斥事件:不可能同时发生的两个事件，叫做互斥事件，也叫不相容事件。如果事件A，A，A彼12n此互斥，那么A，A，A中至少有一个发生的概率为 12np(A+A+A)= p(A)+p(A)+p(A). 12n12n12(对立事件:事件A，B为

6、互斥事件，且必有一个发生，则A，B叫对立事件，记A的对立事件为。由A定义知p(A)+p()=1. A13(相互独立事件:事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。 14(相互独立事件同时发生的概率:两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。即p(AB)=p(A)p(B).若事件A，A，A相互独立,那么这n个事件同时发生的概率为p(AA 12n12A)=p(A)p(A) p(A). n12n15.独立重复试验:若n次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果,则称这n次试验是独立的. 16.独立重复试验的概率:如果

7、在一次试验中,某事件发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中,这个事件kkn-k恰好发生k次的概率为p(k)=p(1-p). Cnn17(离散型随机为量的分布列:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫随机变量，例如一次射击命中的环数就是一个随机变量，可以取的值有0,1,2,10。如果随机变量的可能取值可以一一列出，这样的随机变量叫离散型随机变量。 一般地，设离散型随机变量可能取的值为x,x,x,取每一个值x(i=1,2,)的概率p(=x)=p，12iiii则称表 x x x x 123ip p p p p 123i为随机变量的概率分布，简称的分布列，称E=xp+xp+xp+为

8、的数学期望或平均值、均值、1122nn简称期望，称D=(x-E)2p+(x-E)2p+(x-E)2p+为的均方差，简称方差。叫随机D,1122nn变量的标准差。 18(二项分布:如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中，这个事件恰好发kkn,k生k次的概率为p(=k)=, 的分布列为 Cpqn 0 1 x N i00n11n,1kkn,knnp CpqCpqCpqCpnnnn此时称服从二项分布，记作,B(n,p).若,B(n,p)，则E=np,D=npq,以上q=1-p. 19.几何分布:在独立重复试验中，某事件第一次发生时所做试验的次数也是一个随机变量，若在一次试1k-

9、1验中该事件发生的概率为p，则p(=k)=qp(k=1,2,)，的分布服从几何分布，E=，Dpq=(q=1-p). 2p二、方法与例题 1(乘法原理。 例1 有2n个人参加收发电报培训，每两个人结为一对互发互收，有多少种不同的结对方式, 解 将整个结对过程分n步，第一步，考虑其中任意一个人的配对者，有2n-1种选则;这一对结好后，再从余下的2n-2人中任意确定一个。第二步考虑他的配对者，有2n-3种选择，这样一直进行下去，经n步恰好结n对，由乘法原理，不同的结对方式有 (2n)!(2n-1)(2n-3)31= .n,2(n!)2(加法原理。 例2 图13-1所示中没有电流通过电流表，其原因仅因

10、为电阻断路的可能性共有几种, 2解 断路共分4类:1)一个电阻断路，有1种可能，只能是R;2)有2个电阻断路，有-1=5种可C443能;3)3个电阻断路，有=4种;4)有4个电阻断路，有1种。从而一共有1+5+4+1=11种可能。 C43(插空法。 例3 10个节目中有6个演唱4个舞蹈，要求每两个舞蹈之间至少安排一个演唱，有多少种不同的安排节目演出顺序的方式, 6解 先将6个演唱节目任意排成一列有种排法，再从演唱节目之间和前后一共7个位置中选出4个A6464安排舞蹈有种方法，故共有=604800种方式。 A，AA7674(映射法。 例4 如果从1，2，14中，按从小到大的顺序取出a,a,a使同

11、时满足:a-a?3,a-a?3，那么所有1232132符合要求的不同取法有多少种, 解 设S=1,2,14，=1，2，10;T=(a,a,a)| a,a,a?S,a-a?3,a-a?S12312321323,T=()?,若，令S|a,a,a,S,a,a,a(a,a,a),Ta,a,a123123123123，则(a,a,a)?T,这样就建立了从T到T的映射，它显然是单射，a,a,a,a，2,a,a，4123112233其次若(a,a,a)?T,令，则，从而此映射也是a,a,a,a,2,a,a,4(a,a,a),T1231122331233满射，因此是一一映射，所以|T|=120，所以不同取法有

12、120种。 |T|,C105(贡献法。 例5 已知集合A=1，2，3，10，求A的所有非空子集的元素个数之和。 99解 设所求的和为x，因为A的每个元素a，含a的A的子集有2个，所以a对x的贡献为2，又|A|=10。9所以x=102. k另解 A的k元子集共有个，k=1,2,10，因此，A的子集的元素个数之和为C1012100199102。 C，2C，？，10C,10(C，C，？，C),1010109996(容斥原理。 例6 由数字1，2，3组成n位数(n?3)，且在n位数中，1，2，3每一个至少出现1次，问:这样的n位数有多少个, n123解 用I表示由1，2，3组成的n位数集合，则|I|=

13、3，用A，A，A分别表示不含1，不含2，不含3n，2，3组成的n位数的集合，则|A|=|A|=|A|=2，|AA|=|AA|=|AA|=1。|AAA|=0。 的由1:1231223131233n所以由容斥原理|AAA|=32-3.所以满足条件:|A|,|A:A|，|A:A:A|123,iij123i,i,j1nn的n位数有|I|-|AAA|=3-32+3个。 :1237(递推方法。 例7 用1，2，3三个数字来构造n位数，但不允许有两个紧挨着的1出现在n位数中，问:能构造出多少个这样的n位数, 解 设能构造a个符合要求的n位数，则a=3，由乘法原理知a=33-1=8.当n?3时:1)如果n位数

14、n12的第一个数字是2或3，那么这样的n位数有2a;2)如果n位数的第一个数字是1，那么第二位只能是n-122或3，这样的n位数有2a，所以a=2(a+a)(n?3).这里数列a的特征方程为x=2x+2，它的两根为n-2nn-1n-2n2332，,nn,x=1+,x=1-,故a=c(1+)+ c(1+),由a=3,a=8得，所3333c,c,12n12121223231n，2n，2以a,(1，3),(1,3). n438(算两次。 r0r1r,12r,2r0例8 m,n,r?N，证明: ? C,CC，CC，CC，？，CC.+n，mnmnmnmnmr证明 从n位太太与m位先生中选出r位的方法有种

15、;另一方面，从这n+m人中选出k位太太与C，nmkr,kr-k位先生的方法有种，k=0,1,r。所以从这n+m人中选出r位的方法有CCnm0r1r,1r0种。综合两个方面，即得?式。 CC，CC，？，CCnmnmnm9(母函数。 例9 一副三色牌共有32张，红、黄、蓝各10张，编号为1，2，10，另有大、小王各一张，编号均k为0。从这副牌中任取若干张牌，按如下规则计算分值:每张编号为k的牌计为2分，若它们的分值之和为2004，则称这些牌为一个“好牌”组，求好牌组的个数。 022解 对于n?1,2,2004,用a表示分值之和为n的牌组的数目，则a等于函数f(x)=(1+)xnn110011222

16、233n(1+)(1+)的展开式中x的系数(约定|x|1)，由于f(x)= (1+)(1+)xxxx1，x1011111122233 3(1+)=。 (1,x)(1,x)x223(1，x)(1,x)(1,x)(1,x)111n而0?20042，所以a等于的展开式中x的系数，又由于n22(1,x)(1,x)1112322k2k=(1+x+x+x2k+)1+2x+3x+(2k+1)x+,所以x在展22221,x(1,x)(1,x)(1,x)22开式中的系数为a=1+3+5+(2k+1)=(k+1),k=1,2,从而，所求的“好牌”组的个数为a=1003=1006009. 2k2004k10(组合数

17、的性质。 Cnk是奇数(k?1). 例10 证明:Cm2,1mmmmmm,k，,k(21)(22)？(211)21222k证明 =令C,？m2,1,kk12？12tmt,miimpp2,22,i2,tiiii=2p(1?i?k)，p为奇数，则，它的分子、分母均为奇数，,iitiipp2iik因是整数，所以它只能是若干奇数的积，即为奇数。 Cm2,1nnn例11 对n?2,证明: 2,C,4.2nk222kk证明 1)当n=2时，2=64;2)假设n=k时，有24,当n=k+1时，因为CC24k2(k，1)!2，(2k，1)!2(2k，1)k1k，C,C. 2(k1)2k，(k，1)!(k，1)

18、!(k，1)!,k!k，12(2k，1)kk，1kk，1k+12,又4，所以2. 2C,C,4C,42k2(k，1)2kk，1所以结论对一切n?2成立。 11(二项式定理的应用。 n1,例12 若n?N, n?2，求证:2,1，,3. ,n,n1111,012nCCC？C证明 首先1，,，,，,，,2,其次因为,nnnn2nnnnn,n1n(n,1)(n,k，1)11111？,kC,(k,2)1，所以，, ,nkknk!k(k,1)k,1knn,k!,1111111112n2+得证。 C,，？，C,2，,，,，？，,3,3.nn2n1223n,1nnnnnm,hhm，1例13 证明: C,C,

19、C(h,m,n).,n,kkn，1k,0m,hn-k证明 首先，对于每个确定的k，等式左边的每一项都是两个组合数的乘积，其中是(1+x)的展Cn,khm,hhm-hkkn-kk开式中x的系数。是(1+y)的展开式中y的系数。从而就是(1+x)(1+y)的展开式中CCCkkn,km-hhxy的系数。 nn,mhhnkkm-hh于是，就是展开式中xy的系数。 C,C(1，x)(1，y),nkk,0,0kkn，1n，1kkkkCx,Cy,n，1n，1n，1n，1n(1，x),(1，y),nkkk,0k,0另一方面，= (1，x)(1，y),(1，x),(1，y)x,y,0kkkn，1n，1x,ykk

20、km，1k-1k-2k-1m-hh=(x+xy+y)，上式中，xy项的系数恰为。 CxCC,n，1n，1n，1x,yk,0k,0nm,hhm，1所以 C,C,C.,n,kkn，1k,012(概率问题的解法。 例14 如果某批产品中有a件次品和b件正品，采用有放回的抽样方式从中抽取n件产品，问:恰好有k件是次品的概率是多少, n解 把k件产品进行编号，有放回抽n次，把可能的重复排列作为基本事件，总数为(a+b)(即所有的可kkn-k能结果)。设事件A表示取出的n件产品中恰好有k件是次品，则事件A所包含的基本事件总数为ab，Cnkknk,Cabn故所求的概率为p(A)= .na，b()例15 将一

21、枚硬币掷5次，正面朝上恰好一次的概率不为0，而且与正面朝上恰好两次的概率相同，求恰好三次正面朝上的概率。 解 设每次抛硬币正面朝上的概率为p，则掷5次恰好有k次正面朝上的概率为1kk223145-k(1-p)(k=0,1,2,5)，由题设，且0p1，化简得，所以Cp(1,p),Cp(1,p)Cpp,5553321240,3恰好有3次正面朝上的概率为C，,. ,533343,例16 甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球比赛，已知每一局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，比赛时可以用三局二胜或五局三胜制，问:在哪一种比赛制度下，甲获胜的可能性大, 解 (1)如果采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下

22、获胜:A2:0(甲净胜二局)，A2:1(前二121局甲一胜一负，第三局甲胜). p(A)=0.60.6=0.36,p(A)=0.60.40.6=0.288. C212因为A与A互斥，所以甲胜概率为p(A+A)=0.648. 12122(2)如果采用五局三胜制，则甲在下列三种情况下获胜:B3:0(甲净胜3局)，B3:1(前3局甲2胜11负，第四局甲胜)，B3:2(前四局各胜2局，第五局甲胜)。因为B，B，B互斥，所以甲胜概率为3122223222p(B+B+B)=p(B)+p(B)+p(B)=0.6+0.60.40.6+0.60.40.6=0.68256. CC12312334由(1)，(2)可

23、知在五局三胜制下，甲获胜的可能性大。 例17 有A，B两个口袋，A袋中有6张卡片，其中1张写有0，2张写有1，3张写有2;B袋中有7张卡片，其中4张写有0，1张写有1，2张写有2。从A袋中取出1张卡片，B袋中取2张卡片，共3张卡片。求:(1)取出3张卡片都写0的概率;(2)取出的3张卡片数字之积是4的概率;(3)取出的3张卡片数字之积的数学期望。 1211112C,C，C,C,CC,C412231214解(1);(2);(3)记为取出的3张卡p,p,12122163C,CC,C6767片的数字之积，则的分布为 0 2 4 8 37241p 426363423724132所以 E,0，2，4，8

24、，,.4263634263三、基础训练题 1(三边长均为整数且最大边长为11的三角形有_个。 2(在正2006边形中，当所有边均不平行的对角线的条数为_。 2，3，9这九个数字可组成_个数字不重复且8和9不相邻的七位数。 3(用1，4(10个人参加乒乓球赛，分五组，每组两个人有_种分组方法。 5(以长方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是_。 10006(今天是星期二，再过10天是星期_。 10037(由展开式所得的x的多项式中，系数为有理数的共有_项。 (3x，2)8(如果凸n边形(n?4)的任意三条对角线不共点，那么这些对角线在凸n边形内共有_个交点。 9(袋中有a个黑球与b个白球，随机地每次从

25、中取出一球(不放回)，第k(1?k?a+b)次取到黑球的概率为_。 10(一个箱子里有9张卡片，分别标号为1，2，9，从中任取2张，其中至少有一个为奇数的概率是_。 11(某人拿着5把钥匙去开门，有2把能打开。他逐个试，试三次之内打开房门的概率是_。 12(马路上有编号为1，2，3，10的十盏路灯，要将其中三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法种数是_。 13(a,b,c,d,e五个人安排在一个圆桌周围就坐，若a,b不相邻有_种安排方式。 iiiinm14(已知i,m,n是正整数，且1(1+n). nA,mAmnn15.一项“过关游戏”规定:在第n

26、关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所得到的点数之和大于2，则算过关。问:(1)某人在这项游戏中最多能过几关,(2)他连过前三关的概率是多少,(注:骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6点数的均匀正方体) 四、高考水平训练题 1(若n?1,2,100且n是其各位数字和的倍数，则这种n有_个。 22(从-3,-2,-1,0,1,2,3,4中任取3个不同元素作为二次函数y=ax+bx+c的系数，能组成过原点，且顶点在第一或第三象限的抛物线有_条。 3(四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中任取4个不共面的点，有_种取法。 4(三个人传球，从甲开始发球，每次接球后将球传给另外两人中的任意

27、一个，经5次传球后，球仍回到甲手中的传法有_种。 5(一条铁路原有m个车站(含起点，终点)，新增加n个车站(n1)，客运车票相应地增加了58种，原有车站有_个。 n,16(将二项式的展开式按降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的幂指数,x，,42x,是整数的项有_个。 7(从1到9这九个自然数中任取两个分别作为对数的真数和底数，共可得到_种不同的对数值。 58(二项式(x-2)的展开式中系数最大的项为第_项，系数最小的项为第_项。 9(有一批规格相同的均匀圆棒，每根被划分成长度相同的5节，每节用红、黄、蓝三色之一涂色，可以有_种颜色不同的圆棒,(颠倒后相同的算同一种) 10(在1，

28、2，2006中随机选取3个数，能构成递增等差数列的概率是_。 111(投掷一次骰子，出现点数1，2，3，6的概率均为，连续掷6次，出现的点数之和为35的概率6为_。 12(某列火车有n节旅客车厢，进站后站台上有m(m?n)名旅客候车，每位旅客随意选择车厢上车，则每节车厢都有旅客上车的概率是_。 13(某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%，如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精确到1公顷),(粮食单产总产量=) 耕地面积五、联赛一试水平训练题 1(若0abcd500，有_个有序的四元数组(a,b,c,d)满足a

29、+d=b+c且bc-ad=93. 2.已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合-3,-2,-1,0,1,2,3中的3个不同的元素，并且该直线倾斜角为锐角，这样的直线条数是_。 3(已知A=0，1，2，3，4，5，6，7，映射f:A?A满足:(1)若i?j，则f(i)?f(j);(2)若i+j=7，则f(i)+f(j)=7，这样的映射的个数为_。 4(1，2，3，4，5的排列a,a,a,a,a具有性质:对于1?i?4,a,a,a不构成1，2，i的某个排1234512i列，这种排列的个数是_。 5(骰子的六个面标有1，2，6这六个数字，相邻两个面上的数字之差的绝对值叫变差，变差的总和叫全变差V，则全变差V的最大值为_，最小值为_。 6(某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行50场，上述三名选手之间比赛场数为_。 7(如果a,b,c,d都属于1,2,3,4且a?b,b?c,c?d, d?a;且a是a,b,c,d中的最小值，则不同的四位数的个数为_。 abcd8(如果自然数a各位数字之和等于7，那么称a为“吉祥数”，将所有的吉祥数从小到大排成一列a,a,a,123若a=2005，则a=_。 nn