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1、4 数学模型4数学模型 轧制过程设定是根据中厚板轧线设备布置、检测仪表布置和过程控制系统的组成，针对不同规格的坯料和成品要求，合理地安排轧制道次，实时地计算轧机的辊缝、咬钢速度、稳定轧制速度、抛钢速度、待温时间和轧制节奏，确保最终产品的尺寸精度和力学性能。一般的轧制过程设定包括：预设定、阶段修正设定、道次修正设定和自学习计算等几部分。 为了准确地进行过程设定，需要结合轧制理论和大量实践，建立合理的数学模型。中厚板轧制过程非常复杂，涉及工艺控制、厚度控制、板形控制、温度控制等方面，是一个多目标优化系统。为了保证数学模型的计算精度，首先必须在结构上保证模型的完备性，其次需要结合自学习算法和细化层别

2、等手段再弥补模型精度上的不足。实际建模过程中，应以理论为指导，结合现场实际和操作经验，因地制宜、因厂而异地建立具有自己特色的数学模型。 下面以工艺控制、厚度控制、板形控制、温度控制过程为对象，介绍钢板轧制过程中的轧制力模型、弹跳模型、温度模型和板凸度模型等主要数学模型。41轧制力模型 中厚板轧制过程中，精轧道次产生的宽展较小，近似于平面变形轧制，其宽展量可以忽略不计。因此轧制力计算可采用Sims公式：(4-1)式中F轧制力； W一轧件宽度； R考虑弹性压扁的轧辊半径； h压下量； Qp应力状态影响函数； 平均变形抗力。411轧辊压扁半径的影响 轧辊表面受到轧制力的作用而产生压扁，使得接触弧长度

3、增大，导致轧制力的增加。其变化量一般在23左右，所以在计算轧制力时必须考虑轧辊压扁的影响。计算弹性压扁时，采用Hitchcock公式的简化形式： (4-2)式中R0轧辊初始半径； 轧件?白松比，近似等于03； E轧辊弹性模量。 在计算轧辊压扁半径时，需要预先知道轧制力的大小，而轧制力在得到最终计算结果之前是未知的。这个问题可以通过迭代计算解决。迭代法的计算流程如图4-1所示。实际计算表明，只需56次迭代过程即可获得足够的计算精度。412应力状态影响函数的影响 粗轧过程的轧制特点是轧件厚度大，虽然压下量Ah并不小，但接触弧长Z。与轧件入口厚度和出口厚度平均值危。相比较小(lc/hc(06，12)

4、，这使得接触弧上摩擦力的影响不能深入到轧件整个高度，因而轧件沿高度方向产生不均匀变形，这样在变形区两端外轧件的影响下将产生附加应力，导致接触弧上的单位压力增加。lc/hc(06，12)时的常见外端影响函数计算公式有以下几种：式中，值为0407，其大小和lc/hc有关。 各公式的计算结果如图4-2所示。 精轧过程变形区形状因子lc/hc 12，一般在157之间，此时轧件变形基本上已深入到轧件中心，沿轧“件高度方向的变形比较均匀，因此外端的影响基本不存在，而接触弧上摩擦力是影响应力状态的主要因素。大部分学者将中厚板轧制过程的摩擦条件视为黏摩擦，所以根据Sims公式可得到该影响函数的解析解，由于该解

5、析解比较繁杂，不便于计算机在线控制，因此习惯上采用其简化回归公式。目前有许多回归公式，下面仅列出两例：式中R工作辊压扁半径； H轧件人口厚度； h轧件出口厚度。 在同一轧辊半径下，针对不同的人口厚度，不同的压下率，将不同公式的计算结果加以比较，发现对于同一厚度，压下率变化造成的计算误差通过计算处理可以控制在3，而不同厚度造成的计算误差通过数学处理可以减少到1。 从上面分析可以看出，轧辊压扁和变形区形状影响函数对轧制力方程的计算精度影响不大，通过调整可以将其造成的偏差减少到5以内，所以轧制力方程的计算精度主要取决于变形抗力模型的计算精度。413变形抗力的影响 变形抗力是轧制力模型中最活跃的因子，

6、不同钢种的变形抗力差别较大。即使是同一钢种，在化学成分波动的范围内，变形抗力的变化也是不可忽略的。国内外先进的热连轧机和中厚板轧机使用的变形抗力模型，基本上都是由美坂佳助模型和志田茂模型演变来的。 美坂佳助模型：式中a1a4与钢种有关的模型系数。 大量研究表明，变形率的硬化指数对于某一特定钢种是基本不变的参数。美坂佳助模型将该硬化指数对于不同钢种全视为一个常数，计算表明，针对中厚板轧制过程，如果美坂公式中的变形率硬化指数E下波动15，变形率在0104之间时，变形抗力的变化基本在2以内。而对于志田茂模型，其硬化指数随着碳含量的多少而变化，根据计算，如果碳含量在001116之间变化，变形率在010

7、4之间时，变形抗力的变化基本在3以内。由此可以看出，不论采用哪种变形抗力模型，不同钢种之间变形率硬化指数的变化对变形抗力的影响较小。 同样的，变形速率的硬化指数对变形抗力的影响也得到大量测试。总结前人的试验结果，可以了解到变形速率硬化指数受变形温度和化学成分的影响。但是在8001050范围内，化学成分对该指数的影响比较小。美坂佳助模型将该硬化指数看成与温度和化学成分无关，因此会对计算结果造成一定的误差，而志田茂模型对该硬化指数的处理更加合理。 温度对变形抗力的影响是非常关键的，根据粗略计算，如果温度变化10，则变形抗力波动值为24，所以提高温度预测精度是提高变形抗力模型计算精度的重要前提。美坂

8、佳助模型和志田茂模型对温度在变形抗力模型中的影响的考虑基本一致。志田茂模型中还考虑了相变对变形抗力的影响。 综合各种因素，确定中厚板变形抗力模型的结构如下：(4-10)式4-10基本上属于美坂佳助类型，式中的ad与变形条件无关，但是与轧件的化学成分有关。414残余应变的影啊 在热轧过程中，变形抗力不仅与变形条件和化学成分有关，而且还受到变形历程的影响。如果钢中存在微合金元素Nb、V、Ti，它们的碳氮化物在形变过程中诱导析出，会对钢材的再结晶过程产生抑制作用，使材料的再结晶温度升高。如果在未再结晶区内变形，不仅本道次内由于材料的硬化变形抗力会明显升高，而且微合金元素碳氮化物析出会阻碍硬化奥氏体晶

9、粒道次间的再结晶软化过程，造成奥氏体软化不充分，从而会发生残余应变积累。应变积累会对下一道次的变形抗力产生重要影响。即使是普通的碳锰钢，在低温阶段如果道次间的间歇时间不是足够长，也会由于再结晶软化不充分而在后续变形中造成应变积累，同样会对变形抗力造成影响。 定义为残余应变与上一道次应变的比值，即=1，该参数是静态回复动力学的重要参数。很多学者进行了大量的实验研究，分析了不同温度下铌等微合金元素对静态回复过程的影响，得知变形温度在800950之间时，与控温时间t之间基本上呈负指数关系，即：=exp(t/) (4-11)式中时间常数。 从实验研究残余应变的角度来说，目前基本上采用双道次压缩试验研究

10、热轧残余应变的影响。试样选取的是两个典型的低合金钢，其化学成分见表4-1。 双道次压缩实验工艺如图4-3所示。将试样以10s速度加热到1200、1130，保温5min后以5s速度冷却到不同温度进行双道次压缩变形。道次间隔时间为21000s，变形温度范围为9001000，应变速率为10s，道次变形量为真应变035，记录变形过程中的应力应变曲线。采用off-set法计算软化率，off-set法真应变值取0002，计算公式如下： (4-12)式中m第一次卸载时对应的应力值； 0第一次变形时的屈服应力值； r第二次变形时的屈服应力值。两次变形的屈服应力均定义为产生0002真应变永久变形时对应的应力值。

11、具体实验参数见表4-2。 图4-4和图4-5为A钢试样和B钢试样经1130和1200奥氏体化并在不同温度变形后软化率与道次间隔时间的关系曲线。由图可见，软化曲线表现出两种类型，一种类型是当等温变形温度为1000时，在不同的奥氏体化温度下A钢和B钢在等温10s后软化率均达到90左右，软化基本完成。另一种类型是软化曲线明显地划分出三个阶段：第一阶段软化率随等温时间的延长快速增加；第二阶段软化率随等温时间的延长保持恒定不变或变化较小，软化过程受到明显的抑制；第三阶段软化率随等温时间的延长缓慢增加，此时曲线斜率明显低于第一阶段，随着变形温度的降低，软化进程受到明显抑制。A钢和B钢在900等温变形时，等

12、温10s软化率低于10，等温100s软化率低于20，等温1000软化率均低于50，说明软化过程受到明显抑制，静态再结晶很难完成。 对比A钢试样和B钢试样软化曲线可见，在不同的奥氏体化温度下，B钢在925时，软化率明显低于A钢，且B钢在此温度下软化受到明显抑制，软化率略高于900时的软化率。实验结果表明，B钢比A钢具有更高的再结晶温度。在相同的等温条件下，经1200奥氏体化后，无论A钢还是B钢，与1130奥氏体化相比，软化率均降低008左右。说明微合金元素的溶解程度及奥氏体晶粒尺寸对静态再结晶有着较大的影响。 为了在变形抗力模型中合理地考虑残余应变的影响，且满足工程应用的需要，文献4中建议根据实

13、测轧制数据来确定残余应变。具体建模方案如下： 首先根据实测轧制力来反算实际变形抗力，即： （4-13）式中m根据实测轧制力计算的变形抗力； Fm实测轧制力。 接下来需要依据变形温度确定是否考虑残余应变的影响。为此对不同钢种定义了再结晶开始临界温度Tcrt和控温临界时间tcrt当变形温度高于再结晶开始温度tcrt或控温时间超过临界值tcrt时，忽略应变积累的影响，否则需要考虑上一道次的残余应变对本道次变形抗力的影响。一般对于C-Mn钢，疋n=900，tcrt=30s；而对于微合金钢来说，Tcrt=950，tcrt=60s。 为了方便回归处理，需要将基本变形抗力模型的形式改变为： 根据定义，第n-

14、1道次的残余应变对第n道次的影响用下式表示： 如图4-7所示，对于Q460钢种，依靠常规自学习方法对最后三个道次的轧制力进行预测，轧制力的计算误差在1622之间。如果将公式419和Q460C的基本变形抗力模型相结合后进行轧制力预测，可以将终轧两个道次的轧制力计算误差控制在8以内，这个精度可以满足设定要求。 对应的轧制力预报精度对比 由上述分析可以看出，该残余应变的方案能够满足工程轧制力计算的需要，而且模型结构简单，是一种比较理想的方法。 所以中厚板控制轧制过程的在线变形抗力模型应该包含两个部分：第一部分为基本变形抗力模型，该模型不考虑累积应变的影响；第二部分为温度的时间指数模型，用于描述残余应

15、变的影响。 对于中厚板轧制过程而言，仅仅依靠轧制力模型的预测很难满足在线控制精度的要求，为此必须采用相应的轧制力修正算法。415相变的影响 在中板生产的延伸轧制过程中，如果终轧温度过低，将会发生奥氏体向铁素体的转变，此时随着温度的降低，轧制力不仅不增加，反而降低。所以对于某些特殊性能的材料，其轧制力计算模型需要作特殊处理。 相关的实验研究结果如图4-8所示。轧件变形抗剧下降；当转变结束之后，轧件变形抗力值重新随温度的降低而升高。因此，需要采用适当的表达方式，使其能反映三段间的差异。奥氏体区与铁素体区变形抗力的变化规律大致相同，因此可以采用相同形式的表达式。而在两相区，变形抗力随温度降低而降低，

16、与奥氏体区和铁素体区都不同。 通过模型分析可见，温度对变形抗力的影响函数exp(a+bT)是一个直接与温度有关且对材料变形抗力计算值有重要影响的参量，对a和b进行修正，能直接有效地实现对变形抗力计算结果的修正。修正后的表达式为：b=exp(kt1a+ kt2bT)(420)式中kt1，kt2修正系数。 确保模型精度的关键是确定Ar3和Ar1。一般情况下在单相区，kt20。42温度模型 中厚板轧制过程的温度预测模型是中厚板轧制过程重要的基础数学模型之一。中厚板的温度制度特别是终轧温度对钢板的力学性能和使用性能影响很大，同时温度模型的计算精度制约着变形抗力模型的计算精度，最终会影响轧件的厚度精度和

17、板形精度。所以，人们对热轧过程中温度的控制给予特殊的关注。但是，由于温度计算精度的影响因素较多，且难以精确控制，温度模型中的边界换热条件很难精确给出，测温仪的测量精度经常受氧化铁皮和水汽的干扰，难以得出合理的结果，所以建立精确的温度预测模型难度甚大。 中厚板轧制过程的温度范围变化比较大，一般开轧温度在11001250，而终轧温度依钢种不同有很大差别。与带钢热连轧过程不同，中厚板轧制时轧件比较厚，轧件表层和中心层温度差较大，但是其从头至尾的温度梯度不太明显。 实际轧制过程中，钢板上下表面与环境产生的热交换占整个热交换过程绝大部分，而侧表面与环境产生的热交换很有限，所以假设： (1)轧件侧表面产生

18、的热交换近似为零； (2)轧件长度方向的温度变化很小，基本上是均匀分布； (3)只有厚度方向存在温差，热流由厚度中心单向流向表面； (4)轧件上下表面和宽度方向的温度分布是对称的。 根据假设，在轧件上取一个小单元体(图4-9)，其厚度等于轧件厚度的一半，即H2。关于该单元体的热交换过程只考虑以下两个因素：在单元体内发生热传导；而在单元体表面发生与外界或者其他单元的热交换。 另外，假定钢板中心到表面的温度分布可用二次曲线拟合，所有热计算可以归结为二次温度曲线变化的计算。温度曲线的变化是由于轧件与环境之间存在热交换，其变化过程如图410所示。由图4-10可以看出，在初始状态下，轧件内外温度是一致的

19、。随着时间的增加，轧件表层因热损失形成温度降，而此时轧件中心部分尚未冷却。当经过比较长的一段时间后，轧件中心部分也会得到有效冷却，自此轧件内外温度的分布近似于一个二次曲线。 温度模型二次曲线的建模通常采用有限差分法。根据前面的假设可以将中厚板轧制过程视为一维热传导方程： (4-21) 式中导温系数； 时间； T温度； x厚度方向尺寸。 该方程的求解可以利用有限差分法。如图4-11所示，用节点i(i=l，2，L)将厚度进行均匀离散化0xH/2，每份的厚度均为缸。同样对时间区域r进行离散化。将ix处n时刻的温度计为。总的来说，中厚板轧制过程的温度变化主要受以下几个因素的共同作用：(1)钢材的热辐射

20、和与周围环境之间的对流；(2)高压水除鳞造成的温降；(3)与轧辊接触产生的热传导；(4)轧件塑性变形功转变而来的热量。下面分别讨论。421钢材的热辐射和与周围环境之间的对流 钢板表面热辐射产生的热流密度qr与传热系数hr分别为： (4-27)式中钢板的黑度； 热辐射常数； Ts钢板表面温度； Ts环境温度。 钢板黑度的准确设定对热辐射造成的温度变化起着决定性作用。从图4-12中可以看出钢板表面热辐射传热系数hr与钢板温度和黑度的关系。轧件的黑度与氧化铁皮、表面温度及表面粗糙度有关。根据在热轧线上测定的结果，加热炉出炉后轧件黑度为08左右，粗轧机轧制后轧件黑度为06，而精轧机轧制后轧件黑度为05

21、8左右，式4-29将钢板黑度考虑成钢板厚度的函数： (4-28)式中钢板的黑度；热辐射常数；Ts钢板表面温度；Ta环境温度。 (4-29)式中H0钢板出炉厚度； H钢板当前厚度。 钢板表面对流产生的热流密度可用公式4-30表示：qn=hn(TsTa) (4-30)式中hn对流传热系数。 由于中厚板精轧过程轧制速度不是很高，故可以将钢板表面的对流传热简化为水平平板表面自然对流传热。这样有式4-31和式4-32：式中Nu钢板表面的努塞尔数； Pr普朗特数； Gr格拉晓夫数； g重力加速度； 空气的体膨胀系数； d钢板尺寸特征数，等于钢板表面积除以钢板周长； 空气的动力黏度； s空气的热导率。 如果

22、2m宽、10m长的钢板，其表面温度Ts =1000，空气温度Ta =25，Pr、及取温度500对应的数值，则有： (4-34) (4-35)其对流状态属于紊流，所以有： (4-36) 将该对流传热系数与图4-12所示的热辐射传热系数进行比较，可以看出对流传热基本上为热辐射传热的710左右。为了简化计算，可以将对流传热系数与热辐射传热系数综合考虑为一个边界传热系数后进行计算。 轧件黑度的设定对薄板轧制的温度计算精度影响较大，但对于厚板轧制过程，黑度系数的变化对温度计算精度影响较小。利用有限差分法计算轧件黑度在0608之间波动时，轧件温度对变化中厚板轧制过程成形展宽轧制类似于热连轧的初轧，而精轧机

23、(开轧温度为9701020，终轧温度为830870)类似于热连轧精轧机组(开轧温度基本上为950，终轧温度为840左右)，具有很强的可比性。422高压水除鳞造成的温降 中厚板在加热和轧制过程中，其温度较高，在其表面会形成一次或二次氧化铁皮，所以需要利用高压水击破氧化铁皮。因为钢板温度很高，高压水与钢板之间接触后会在钢板表面形成一层很薄的蒸汽膜，同时由于高压水的压力很大，所以可以假设钢板表面被冲击区域在很短的时间内温度从高温降到与蒸汽膜相同的温度。这种传热方式近似于半无限大平板的瞬态热传导，其热流密度的计算公式为：式中Tw蒸汽膜的温度； t高压水与钢板接触时间； H钢板厚度； Tw钢板平均温度的

24、变化量； kcoff高压水除鳞有效系数。 假设初始温度为1015，则来料厚度与平均除鳞温降之间的关系如图4-13所示。423与轧辊接触产生的热传导 轧制过程中，温度较高的钢板和温度较低的轧辊发生接触，钢板热量流向轧辊，使得钢板温度降低。一般钢板与轧辊的接触弧长与轧辊的半径相比很小，则这两者之间的热传导问题可以简化成两个半无限体之间的热传导过程。同时假设钢板和轧辊之间是全黏着接触，不考虑两者之间摩擦功转换的热。 假设钢板一侧的温度为T，其初始温度为T0，厚度方向的坐标为x；而轧辊一侧的温度为，其初始温度为吼，轧辊接触面的垂直方向坐标为l，钢板的物理常数后面添加下标1，轧辊的物理常数后面添加下标2

25、，则可以得到下面的基本传热方程和边界条件： (4-40) 上述边界条件忽略了轧件与轧辊之间的热阻，因而由式445计算的由轧件向轧辊转移的热量比实际转移的热量大得多，为此需要将解析结果乘以小于1的系数，由此得出钢板与轧辊接触产生的平均温降TR为： (4-46)式中Hm钢板平均厚度； 修正系数。424塑性变形功转变而来的热量 变形区内单位体积产生的变形能为： (4-47)由此而造成的温升为： (4-48)式中 K平均变形抗力； Hk入口厚度； Hk+1出口厚度； TE塑性加工热产生的平均温度变化； 功转化为热的有效系数。43板凸度模型和平直度计算 要控制板带材的板形与板凸度，必须精确预测在特定轧制

26、条件下板形和板凸度的变化规律。轧制过程是一个非常复杂的金属成形过程，无论是金属本身的变形，还是作为工具的轧辊的变形，都受到众多因素的影响，非常复杂。板形与板凸度的求解必须综合分析轧辊弹性变形和轧件变形，是一个更为复杂的问题。 影响函数法可以得到比较接近实际的轧辊弹性变形的数值解，所以目前广泛应用于板凸度的计算。但是该法涉及烦琐的迭代过程，计算量大，不适于直接在线应用。 新日铁在20世纪80年代初，在HC轧机和普通四辊轧机上进行了大量试验，提出了新的在线板凸度预测模型，如式4-49： (4-49)式中Cb出LI板凸度； CH入口板凸度； C0轧制力均匀分布时的轧辊凸度，也称为机械凸度；机械凸度对

27、轧件出口凸度的影响系数，也称为机械凸度转化系数，并有；入口板凸度对出口板凸度的影响系数，也称为板凸度遗传系数，并有。 下面分析该模型的推导过程。通过理论计算和实践应用，轧件的出口侧板凸度一般可以用式4-50表示： Ch=KFF+KBFB十KcwCc+KcbCb (4-50) 但是式4-50没有考虑人口板凸度的影响，如果考虑到入口板凸度的存在造成宽度方向伸长率的差异，可以将式4-50进行如下的处理：式中KF轧机横刚度0F轧制力； KB弯辊系数； FB弯辊力；Kcw，Kcb分别为工作辊和支撑辊的凸度影响系数；Cw，Cb分别为工作辊和支撑辊凸度；Ch轧件出口凸度； CH轧件人口凸度； 出人口比例凸度

28、差异对轧件凸度的影响系数。 将式4-54进行变形，得式4-55： Ch=C0+(1)(1r)CH (4-55)其中 1r=hH。式中Dw工作辊直径； h轧件出口厚度； W一轧件宽度。 根据以上分析，并考虑轧制过程的实际情况，可以很方便地计算出轧件的出口凸度值，关键是需要合理确定参数孝。大量的在线应用已经证明了该方法的正确性和方便性。图4-14给出国内某中厚板厂3500mm轧机受力分析及受力模型，轧机参数见表4-3。根据图4-15所示的影响函数法计算程序进行理论计算，然后对计算结果进行数学处理。根据分析和实验得到如下板凸度计算模型：C0=KFF+KBFB+CXBT (4-57)式中 KF轧制力影

29、响系数； KB弯辊力影响系数； CXBT轧辊凸度影响项； F轧制力； FB弯辊力。 经过回归处理，得到式4-58式4-60的数学模型：式中W轧件宽度； L轧辊辊身长度；Rw，Rb分别为工作辊和支撑辊的半径。 虽然该模型结构看上去比较复杂，但实际展开后是一个多元线性数学公式，只要按照合理的方法进行处理，即可得到相应的模型参数。 根据轧辊凸度计算式4-58式4-60和凸度遗传系数计算式4-49，可以很便捷地计算轧件出口凸度的数值。 作为板形的纵、横向表征指标，板凸度与平直度之间的关系密切，板平直度的控制最终还要归结到板凸度的控制上。为了获得良好的板形，要求板带材沿横向有均匀的延伸，板带材的轧前与轧

30、后断面各处尺寸比例恒定，即板带材轧前比例凸度要等于轧后比例凸度。但在中厚板生产中，由于轧件存在一定的横向流动，在一定范围内比例凸度发生变化也不会产生板形缺陷，故而在实际轧制时可以根据产品凸度方面的要求进行轧件凸度的修正。 在轧制过程中，轧件比例凸度的变化不是100地转化为伸长率的变化。为了评价轧件比例凸度变化量和伸长率变化量之间的关系，可以定义板形干扰因子。假设轧件轧制过程中，体积为常数，则根据文献22，24可以得到如图4-16所示的结果一级关系式(4-61)：(4-61) 可以采用矢量分析法分析轧制过程板形的变化。试验和理论分析表明，轧件比例凸度变化量C和伸长率差值变化量之间是线性相关的。图4-17所示的矢量图中，将矢量的实部和虚部分别用Ci和i表示，矢量的倾斜角正切为i。假定第i1道次轧件的变形状态为A(Ci1，i1)，Ci1为轧件入口比例凸度，i1为轧件人