第七章 第五节 直线平面垂直的判定及其性质.docx

1、第七章 第五节 直线平面垂直的判定及其性质8.5直线、平面垂直的判定与性质2015高考会这样考1.考查垂直关系的命题的判定；2.考查线线、线面、面面垂直关系的判定和性质；3.考查平行和垂直的综合问题；4.考查空间想象能力，逻辑思维能力和转化思想复习备考要这样做1.熟记、理解线面垂直关系的判定与性质定理；2.解题中规范使用数学语言，严格证题过程；3.重视转化思想的应用，解题中要以寻找线线垂直作为突破1 直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法定义法利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线和此平面垂直推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直

2、这个平面(2)直线和平面垂直的性质直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线垂直于同一个平面的两条直线平行垂直于同一条直线的两平面平行2 斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角3 平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法定义法利用判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直(2)平面与平面垂直的性质两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面4 二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角(2)二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角难点正本

3、疑点清源1 两个平面垂直的性质定理两个平面垂直的性质定理，即如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面是作点到平面距离的依据，要过平面外一点P作平面的垂线，通常是先作(找)一个过点P并且和垂直的平面，设l，在内作直线al，则a.2 两平面垂直的判定(1)两个平面所成的二面角是直角；(2)一个平面经过另一平面的垂线1 一平面垂直于另一平面的一条平行线，则这两个平面的位置关系是_答案垂直解析由线面平行的性质定理知，该面必有一直线与已知直线平行，再根据“两平行线中一条垂直于一平面，另一条也垂直于该平面”得出结论2. ABC中，ABC90，PA平面ABC，则图中直角三角形的

4、个数是_答案43 、是两个不同的平面，m、n是平面及之外的两条不同的直线，给出四个论断：mn；n；m，以其中三个论断作为条件，剩余的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题_答案可填与中的一个4 设a，b，c是三条不同的直线，是两个不同的平面，则ab的一个充分条件是()Aac，bc B，a，bCa，b Da，b答案C解析对于选项C，在平面内作cb，因为a，所以ac，故ab；A，B选项中，直线a，b可能是平行直线，也可能是异面直线；D选项中一定有ab.5 (2011辽宁)如图，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是 ()AACSBBAB平面SCDCSA与平面S

5、BD所成的角等于SC与平面SBD所成的角DAB与SC所成的角等于DC与SA所成的角答案D解析易证AC平面SBD，因而ACSB，A正确；ABDC，DC平面SCD，故AB平面SCD，B 正确；由于SA，SC与平面SBD的相对位置一样，因而所成的角相同.题型一直线与平面垂直的判定与性质例1如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点证明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.思维启迪：第(1)问通过DC平面PAC证明；也可通过AE平面PCD 得到结论；第(2)问利用线面垂直的判定定理证明直线PD与平面ABE内的两条相交直线 垂直证明(

6、1)在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD.ACCD，PAACA，CD平面PAC.而AE平面PAC，CDAE.(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中点，AEPC.由(1)，知AECD，且PCCDC，AE平面PCD.而PD平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，PAAB.又ABAD且PAADA，AB平面PAD，而PD平面PAD，ABPD.又ABAEA，PD平面ABE.探究提高破解此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础由于“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”之间

7、可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在 (2012陕西)(1)如图所示，证明命题“a是平面内的一条直线，b是外的一条直线(b不垂直于)，c是直线b在上的投影，若ab，则ac”为真；(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)(1)证明方法一如图，过直线b上任一点作平面的垂线n，设直线a，b，c，n的方向向量分别是a，b，c，n，则b，c，n共面根据平面向量基本定理，存在实数，使得cbn，则aca(bn)(ab)(an)因为ab，所以ab0.又因为a，n，所以an0.故ac0，从而ac.方法二如图，记cbA，P为直线b上异于点A的任

8、意一点，过P作PO，垂足为O，则Oc.因为PO，a，所以直线POa.又ab，b平面PAO，PObP，所以a平面PAO.又c平面PAO，所以ac.(2)解逆命题为a是平面内的一条直线，b是外的一条直线(b不垂直于)，c是直线b在上的投影，若ac，则ab.逆命题为真命题题型二平面与平面垂直的判定与性质例2(2012江苏)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且ADDE，F为B1C1的中点求证：(1)平面ADE平面BCC1B1；(2)直线A1F平面ADE.思维启迪：(1)证明两个平面垂直，关键是在一个平面内找到另一个平面的一条直线

9、；(2)两个平面垂直的性质是证明的突破点证明(1)因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.又AD平面ABC，所以CC1AD.又因为ADDE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1DEE，所以AD平面BCC1B1.又AD平面ADE，所以平面ADE平面BCC1B1.(2)因为A1B1A1C1，F为B1C1的中点，所以A1FB1C1.因为CC1平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，所以CC1A1F.又因为CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1B1C1C1，所以A1F平面BCC1B1.由(1)知AD平面BCC1B1，所以A1FAD.又AD平面ADE，A1F平面ADE，所以A1F平

10、面ADE.探究提高面面垂直的关键是线面垂直，线面垂直的证明方法主要有判定定理法、平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)、面面垂直性质定理法，本题就是用的面面垂直性质定理法，这种方法是证明线面垂直、作线面角、二面角的一种核心方法 (2011江苏)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABAD，BAD60，E，F分别是AP，AD的中点求证：(1)直线EF平面PCD；(2)平面BEF平面PAD.证明(1)如图，在PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EFPD.又因为EF平面PCD，PD平面PCD，所以直线EF平面PCD.(2)连接BD.因为AB

11、AD，BAD60，所以ABD为正三角形因为F是AD的中点，所以BFAD.因为平面PAD平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以BF平面PAD.又因为BF平面BEF，所以平面BEF平面PAD.题型三线面、面面垂直的综合应用例3如图所示，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等边三角形，已知BD2AD8，AB2DC4.(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD平面PAD；(2)求四棱锥PABCD的体积思维启迪：(1)因为两平面垂直与M点位置无关，所以在平面MBD内一定有一条直线垂直于平面PAD，考虑证明BD平面PAD.(2)四棱锥底面为一梯形，高为

12、P到面ABCD的距离(1)证明在ABD中，AD4，BD8，AB4，AD2BD2AB2.ADBD.又面PAD面ABCD，面PAD面ABCDAD，BD面ABCD，BD面PAD.又BD面BDM，面MBD面PAD.(2)解过P作POAD，面PAD面ABCD，PO面ABCD，即PO为四棱锥PABCD的高又PAD是边长为4的等边三角形，PO2.在底面四边形ABCD中，ABDC，AB2DC，四边形ABCD为梯形在RtADB中，斜边AB边上的高为，此即为梯形的高S四边形ABCD24.VPABCD24216.探究提高当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证

13、明线线垂直 如图所示，已知长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD为正方形，E为线段AD1的中点，F为线段BD1的中点，(1)求证：EF平面ABCD；(2)设M为线段C1C的中点，当的比值为多少时，DF平面D1MB？并说明理由(1)证明E为线段AD1的中点，F为线段BD1的中点，EFAB.EF平面ABCD，AB平面ABCD，EF平面ABCD.(2)解当时，DF平面D1MB.ABCD是正方形，ACBD.D1D平面ABC，D1DAC.AC平面BB1D1D，ACDF.F，M分别是BD1，CC1的中点，FMAC.DFFM.D1DAD，D1DBD.矩形D1DBB1为正方形F为BD1的中点，DFBD1

14、.FMBD1F，DF平面D1MB.题型四线面角、二面角的求法例4如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；(2)证明AE平面PCD；(3)求二面角APDC的正弦值思维启迪：(1)先找出PB和平面PAD所成的角，线面角的定义要能灵活运用；(2)可以利用线面垂直根据二面角的定义作角(1)解在四棱锥PABCD中，因PA底面ABCD，AB平面ABCD，故PAAB.又ABAD，PAADA，从而AB平面PAD，故PB在平面PAD内的射影为PA，从而APB为PB和平面PAD所成的角在RtPAB中，ABPA

15、，故APB45.所以PB和平面PAD所成的角的大小为45.(2)证明在四棱锥PABCD中，因PA底面ABCD，CD平面ABCD，故CDPA.由条件CDAC，PAACA，CD平面PAC.又AE平面PAC，AECD.由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中点，AEPC.又PCCDC，综上得AE平面PCD.(3)解过点E作EMPD，垂足为M，连接AM，如图所示由(2)知，AE平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AMPD.因此AME是二面角APDC的平面角由已知，可得CAD30.设ACa，可得PAa，ADa，PDa，AEa.在RtADP中，AMPD，AMPDPAAD，则AMa.

16、在RtAEM中，sinAME.所以二面角APDC的正弦值为.探究提高(1)求直线与平面所成的角的一般步骤：找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角 正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为 ()A. B. C. D. 答案D解析如图，连接BD交AC于O，连接D1O，由于BB1DD1，DD1与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD

17、1所成的角易知DD1O即为所求设正方体的棱长为1，则DD11，DO，D1O，cos DD1O.BB1与平面ACD1所成角的余弦值为.解答过程要规范典例：(12分)如图所示，M，N，K分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点求证：(1)AN平面A1MK；(2)平面A1B1C平面A1MK.审题视角(1)要证线面平行，需证线线平行(2)要证面面垂直，需证线面垂直，要证线面垂直，需证线线垂直规范解答证明(1)如图所示，连接NK.在正方体ABCDA1B1C1D1中，四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，AA1DD1，AA1DD1，C1D1CD，C1D1CD.2分N，K分别

18、为CD，C1D1的中点，DND1K，DND1K，四边形DD1KN为平行四边形3分KNDD1，KNDD1，AA1KN，AA1KN.四边形AA1KN为平行四边形ANA1K.4分A1K平面A1MK，AN平面A1MK，AN平面A1MK.6分(2)如图所示，连接BC1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，ABC1D1，ABC1D1.M，K分别为AB，C1D1的中点，BMC1K，BMC1K.四边形BC1KM为平行四边形MKBC1.8分在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1B1平面BB1C1C，BC1平面BB1C1C，A1B1BC1.MKBC1，A1B1MK.四边形BB1C1C为正方形，BC1B1C.10

19、分MKB1C.A1B1平面A1B1C，B1C平面A1B1C，A1B1B1CB1，MK平面A1B1C.又MK平面A1MK，平面A1MK平面A1B1C.12分温馨提醒(1)步骤规范是答题得满分的最后保证，包括使用定理的严谨性，书写过程的流畅性(2)本题证明常犯错误：定理应用不严谨如：要证AN平面A1MK，必须强调AN平面A1MK.解题过程不完整，缺少关键步骤，如第(1)问中，应先证四边形ANKA1为平行四边形第(2)问中，缺少必要的条件，使思维不严谨，过程不流畅方法与技巧1 证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义：a与内任何直线都垂直a；(2)判定定理1： l；(3)判定定理2：ab，ab；(4)

20、面面平行的性质：，aa；(5)面面垂直的性质：，l，a，ala.2 证明线线垂直的方法(1)定义：两条直线所成的角为90；(2)平面几何中证明线线垂直的方法；(3)线面垂直的性质：a，bab；(4)线面垂直的性质：a，bab.3 证明面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a，a.4 转化思想：垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决失误与防范1在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化2面面

21、垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1 设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是 ()A若lm，m，则lB若l，lm，则mC若l，m，则lmD若l，m，则lm答案B解析若lm，m，则l与可能平行、相交或l；若l，lm，则m；若l，m，则l与m可能平行或异面；若l，m，则l与m可能平行、相交或异面，故只有B选项正确2 已知平面与平面相交，直线m，则 ()A内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B内不一定存在直

22、线与m平行，不一定存在直线与m垂直C内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直D内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直答案C解析如图，在平面内的直线若与，的交线a平行，则有m与之垂直但却不一定在内有与m平行的直线，只有当时才存在3 已知m是平面的一条斜线，点A，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是 ()Alm，l Blm，lClm，l Dlm，l答案C解析设m在平面内的射影为n，当ln且与无公共点时，lm，l.4 正方体ABCDABCD中，E为AC的中点，则直线CE垂直于()AAC BBD CAD DAA答案B解析连接BD，BDAC，BDCC，且ACCCC，BD平面CCE

23、.而CE平面CCE，BDCE.又BDBD，BDCE.二、填空题(每小题5分，共15分)5. 如图，BAC90，PC平面ABC，则在ABC，PAC的边所在的直线中：与PC垂直的直线有_；与AP垂直的直线有_答案AB，BC，ACAB解析PC平面ABC，PC垂直于直线AB，BC，AC；ABAC，ABPC，AB平面PAC，ABPC.与AP垂直的直线是AB.6. 如图，PA圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的正投影，给出下列结论：AFPB；EFPB；AFBC；AE平面PBC.其中正确结论的序号是_答案解析由题意知PA平面ABC，PABC.又ACBC，PAA

24、CA，BC平面PAC.BCAF.AFPC，BCPCC，AF平面PBC，AFPB，AFBC. 又AEPB，AEAFA，PB平面AEF.PBEF.故正确7 已知平面，和直线m，给出条件：m；m；m；.当满足条件_时，有m.(填所选条件的序号)答案解析若m，则m.三、解答题(共22分)8 (10分)如图所示，在斜三棱柱A1B1C1ABC中，底面是等腰三角形，A1B1A1C1，侧面BB1C1C底面A1B1C1.(1)若D是BC的中点，求证：ADCC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AMMA1， 求证：截面MBC1侧面BB1C1C.证明(1)ABAC，D是BC的中点，ADBC

25、.底面ABC侧面BB1C1C，AD侧面BB1C1C，ADCC1.(2)如图，延长B1A1与BM的延长线交于点N，连接C1N.AMMA1，MA1綊BB1，NA1A1B1.A1B1A1C1，A1C1A1NA1B1，NC1C1B1.底面NB1C1侧面BB1C1C，C1N侧面BB1C1C，截面C1NB侧面BB1C1C，即截面MBC1侧面BB1C1C.9 (12分)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是CD、A1D1的中点(1)求证：AB1BF；(2)求证：AEBF；(3)棱CC1上是否存在点P，使BF平面AEP？若存在，确定点P的位置，若不存在，说明理由(1)证明连接A1B，则AB1A

26、1B，又AB1A1F，且A1BA1FA1，AB1平面A1BF.又BF平面A1BF，AB1BF.(2)证明取AD中点G，连接FG，BG，则FGAE，又BAGADE，ABGDAE.AEBG.又BGFGG，AE平面BFG.又BF平面BFG，AEBF.(3)解存在取CC1中点P，即为所求连接EP，AP，C1D，EPC1D，C1DAB1，EPAB1.由(1)知AB1BF，BFEP.又由(2)知AEBF，且AEEPE，BF平面AEP.D为，平面DCC1D1为，平面A1B1C1D1为，又平面A1B1CD平面DCC1D1CD，平面A1B1C1D1平面DCC1D1C1D1，则CD与C1D1所在的直线分别表示a，b，因为CDC1D1，但平面A1B1CD与平面A1B1C1D1不平行，即与不平行，故错误因为a、b相交