CT6图像重建2.ppt

1、CT图像重建2（CT Image Reconstruction）,主讲：马建华,学习内容（Learning objects）,迭代法（Iterative algorithm）傅立叶变换法（Fourier transformation）反投影法（Back projection）滤波反投影法（Filter back projection）,知识回顾（Review）,Radon变换 投影与弦图 采样几何形状 Shepp-Logan体模 图像重建,Radon 变换揭示了函数和投影之间的关系，若函数为f(x,y)，则不同角度下的投影可写为,一个无限薄的切片内相对线性衰减系数的分布是由它的所有线积分的集合

2、唯一决定,投影,理想图像,投影 与 弦图,弦图,理想图像,投影,投影,采样几何形状,Shepp-Logan体模,r的单位是角度，为负值时表示削弱原有椭圆的衰减系数,S-L体模是CT图像重建领域用于仿真计算的经典头部模型，于1974年由L.A.Shepp和B.F.Logan首次提出，可生成2D或者3D的标准投影数据。S-L体模通过椭圆来表征不同的形状，不同的灰度用来模拟不同组织的衰减系数，例如最外层的椭圆模拟头骨，内部的两个小椭圆模拟大脑内部特征或者肿瘤。,由弦图重建图像,直接矩阵求解法（Direct matrix inversion）迭代法（iterative）傅里叶重建法（Fourier r

3、econstruction）反投影法（Back-projection）滤波反投影法（Filtered back projection）,Algorithms,直接矩阵求解法,2x2 matrix,A11+A12=3A21+A22=7A11+A21=4A12+A22=6,1 1 0 0 A1130 0 1 1 A12 71 0 1 0 A2141 0 0 1 A226 F*A=PA=P F(-1),=,迭代法,x,y,wx,wy,s,g(s,1,2,8),1D-Fourier transform Fg(s),(x,y),中心切片定理(Central Slice Theorem),1D Fouri

4、er transforms Fg(s,1,2,64)of 64 projections,2D Inverse Fourier transform,中心切片定理(Central Slice Theorem),学习内容（Learning objects）,迭代法（Iterative algorithm）傅立叶变换法（Fourier transformation）反投影法（Back projection）滤波反投影法（Filter back projection）,实例:反投影算法（Back projection）,反投影,滤波后图像,弦图,实例:滤波反投影算法（Filtered back proj

5、ection）,滤波反投影图像,理想图像,反投影图像,反投影法(Back projection),在一个“空白”图像里，把投影值从各个角度重新加进去,反投影法(Back projection),由投影重建图像的算法很多，而反投影法是其中最简单、最粗略，也是最基本的算法原理：“断层平面中某一点的密度值可看作这一平面内所有经过该点的射线投影之和（的平均值）”,反投影过程(重建),第一步（first guess）,把90角度的投影值加进空白图像,实 例,第二步（second guess）,+,第三步（third guess）,+,第四步（fourth guess）,+,所有反投影的和,算法举例,1,

6、2,3,4,5,6,算法举例,根据反投影算法x1=p5=5x6=p2+p3+p5=18平均化处理，除以投影线数目xi=xi/6,反投影重建后,原像素值,再除以投影线数，平均化,断层平面中某一点的密度值可看作这一平面内所有经过该点的射线投影之和的平均值,1,2,3,4,5,6,算法举例,反投影重建后，原来为0的点不再为0，形成伪影,原像素值,除以投影线数的平均化,星状伪影,考虑孤立点源反投影重建中心点A经n条投影线投影后，投影值均为1：p1=p2=.=pn=1因此重建后而其他点均为1/n 这类伪迹成为星状伪影,反投影重建的本质是把取自有限物体空间的射线投影均匀地回抹(反投影)到射线所及的无限空间

7、的各点之上，包括原先像素值为零的点,反投影法的图示,星状伪影,反投影法的缺陷,图像产生模糊,反投影法的改进,后处理方法:用2D滤波函数对反投影法所得图像进行处理，可实现图像质量的提升，但不能改变换准确重建,反投影法的改进,前处理方法:在反投影之前先滤波，即先对1D投影进行滤波，再进行反投影重建（理论基础：在线性系统中滤波算子可以交换顺序）,滤波反投影法,学习内容（Learning objects）,迭代法（Iterative algorithm）傅立叶变换法（Fourier transformation）反投影法（Back projection）滤波反投影法（Filter back proje

8、ction）,滤波反投影法（FBP）的思想,反投影法和滤波反投影法的区别：滤波运算或卷积运算的引入在时域中相卷积相当于在频域中相乘，故滤波反投影法亦被称为卷积方法(convolution method),FBP的图形解释,FBP公式推导,目标函数 f(x,y)可由傅立叶函数F(u,v)的逆变换获得，即,雅可比行列式,FBP公式推导,频域中的笛卡尔坐标与极坐标的关系为：,FBP公式推导,Let:F(cos,sin)=P(,),FBP公式推导,FBP公式推导,FBP公式推导,P(,)表示对应于角度的单位投影的傅立叶变换；里层的积分是P(,)|的逆傅立叶变换，记为g(t,)，在空间域，它表示单位投影

9、被一频域响应为|的函数做滤波运算，故称之为滤波反投影,1D Fourier transform,inverse 1D Fourier transform,backprojection for all angles,filter,FBP公式推导,FBP的计算机实现,滤波（Filter）或卷积（Convolution）,影像滤波，即为与一个适当的核（kernel）作卷积（convolution）运算 3x3 averaging kernel 7x7 Gaussian kernel,卷积为一个积分运算，通常用符号表示,卷 积,对两个函数进行运算获得第三个函数的过程，其中一个输入函数被称之为卷积核,卷

10、积核通常为3x3的小矩阵,卷积核(Kernel),卷积核(Kernel),卷积核(Kernel),卷积核(Kernel),卷积核(Kernel),以下依此推.,卷积核(Kernel),滤过器的设计和选择,在空域中，与P(,)对应的函数是测量得到的平行投影p(t,)，滤波器|与对应的冲击响应(t)之间是一个傅立叶变换对：,将t0代入上式计算得到(0)，即曲线|以下的面积。当时，(0)，所以上式是无法直接计算的，必须另想它法，引入限带函数（band-limiting function）,滤波器是个无限频带的滤波函数,由于即积分是发散的,根据佩利-维纳准则,这一理想滤波器是不可实现的。实际数值计算通

11、常采用加窗的滤波函数。运用不同的窗函数可以得到不同的滤波器,滤过器的设计和选择,滤过器的设计和选择,Ram-Lak:using the rectangular window矩形窗Shepp-Logan:using a sinc window正弦窗Cosine:using a cosine window余弦窗Hamming:using a generalized Hamming window通用Hamming窗,滤过器的设计和选择,滤过器的设计和选择-Ramp滤波,频率与幅度成正比关系,(a)图为理想滤波器(b)图为修正后滤波器,亦,理论上滤波器亦称为Ramp滤波器，其高频分量是无限延伸的，但实

12、际实现时必须截断处理，如图(b)图中虚线所示，相当于在带宽之外突然衰减为零，在重建图像的边缘时会出现环状震荡条纹，称之为Gibbs现象。为有效地消除此现象，我们需对Ramp滤波器稍作平滑处理，如将之与作卷积，得到Shepp-Logan滤波器；,滤过器的设计和选择-Ramp滤波,滤过器的设计和选择-Shepp-Logan滤波器,平滑了图像，损失了部分高频信息,滤过器的设计和选择-Hamming滤波器,降低了高频噪声,可得到Hamming滤波器和Hanning滤波器,骨滤过器和软组织滤过器,GE LightSpeed Soft软组织 Standard标准 Detail细节,根据诊断需求可选用不同的

13、滤波函数 平滑用于观察软组织 锐利用于观察高分辨力影像,Lung肺 Bone骨 Edge边缘,FBP中的补0运算,原始滤波运算包含一个非周期卷积运算,变到频域后就是周期卷积，直接计算将产竹干涉伪影，即所谓的warp-around效应。因此必须在傅立叶变换和滤波操作之前给每一个投影补0，才能避免伪影产生,由于补零前后数据长度不一样，它们的分辨率（分别为df1，df2）不一样，在频域中谱线所代表的频率也不一样，所以这两个频谱所描述的对象也不相同特殊情况：M=（2n)N时，补零后的频谱相当于在补零前的频谱中插入（2n)-1条谱线。与补零前的频谱中相重合的谱线，它们的幅值和相位完全一致,FBP中的补0

14、运算,这里举一个例子，fs=1000HZ，补零前后数据长度N=500和M=800，对应的df1=2，df2=1.25。补零前的频谱是对应于0,2,4,.,500HZ的频谱，而补零后的频谱是对应于0,1.25,2.5,.,500HZ的频谱，所以两频谱中对应频率不同，描述当然不同,FBP实现步骤（平行束）,扇形束重建(Fan beam Reconstruction),学习内容（Learning objects）,扇形束到平行束的转换 等角线束重建 等距线束重建,扇形束重建,成像几何,扇形束重建,扇束情况下的重建算法较为复杂，但实质没有改变。可采用平行束情况下的算法实现，只需加以适当地修正即可,重排

15、算法:把一个视图中采得的扇形数据重新组合成平行的 射线投影数据，然后采用平行束重建算法重建直接重建算法:不必数据重排，只需适当加权即可运用与平 行束类似的算法重建,扇形束重建-从扇形束向平行束转换,横轴表示X射线离开中心点的距离，纵轴表示X射线与x轴形成的夹角在平行投影重建中，射线由两参数t和唯一决定，其中t是射线到等中心的距离，是投影角一条投影线映射到弦空间中就是一个点,一个投影集在弦空间就映射成一个均匀排列的网格网格中的某一行表示其中一个投影，如a图中虚线长方形所示。如果把一个扇形投影集映射到同一弦空间，那么每一扇形投影映射成倾斜的一行点阵，如b图中虚线矩形所示。每个样本的角度不同。扇形束

16、投影射线与等中心点的距离也不是按照固定的规律增减的。,扇形束重建-从扇形束向平行束转换,扇形束重建-EA等角扇形束重建,当同样大小的探测器单元沿着中心为X射线焦点的弧排列时，就形成等角采样扇形束的每一条射线可由和确定，其中是射线与中心射线（假想的通过X射线源和等中心的直线）的夹角，称为探测器角；是中心射线与y轴的夹角，称为投影角,扇形束重建-EA等角扇形束重建,投影乘以探测器角的余弦，滤波后的样本随着到光源的距离的增长而增长,重建公式可由用(t,)坐标确定(,)坐标上的每个样本来得到。扇形投影中的投影样本q(,)就转化为平行投影中的投影样本p(t,),平行线束重建 vs 扇形束重建,与平行投影重建不同，扇形投影重建在滤波操作之前先乘以Dcos，它独立于投影角，所以可在重建之前先进行计算并保存 第二个区别是扇形投影重建中用到了加权反投，反投影沿扇形进行，尺度因子L2随着像素的不同而不同,等角扇形线束重建流程图,平行束 vs 等角扇束,对单个滤波投影做反投影实验图示，扇形束反投影重建的图像不但其形状随离开X射线源的距离而改变（图中是6点位置），而且强度也在变化,平行束 扇形束,扇形束重建-