函数值域的十五种求法.docx

1、函数值域的十五种求法1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域例1. 求函数的值域。解：?显然函数的值域是：2. 配方法?配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例2. 求函数的值域。解：将函数配方得：由二次函数的性质可知：当x=1时，当x=-1时，故函数的值域是：4，83. 判别式法例3. 求函数的值域。解：两边平方整理得：（1）?解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间0，2上，即不能确保方程（1）有实根，由?求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。可以采取

2、如下方法进一步确定原函数的值域。?代入方程（1）解得：?即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。4. 反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例4. 求函数值域。解：由原函数式可得：则其反函数为：，其定义域为：故所求函数的值域为：5. 函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。例5. 求函数的值域。解：由原函数式可得：，可化为：?即?即?解得：故函数的值域为6. 函数单调性法例6. 求函数的值域。解：令?则在2，10上都是增

3、函数所以在2，10上是增函数当x=2时，当x=10时，故所求函数的值域为：例7. 求函数的值域。解：原函数可化为：令，显然在上为无上界的增函数所以，在上也为无上界的增函数所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值显然y0，故原函数的值域为7. 换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作?例8. 求函数的值域。解：因即故可令故所求函数的值域为例9. 求函数的值域。解：原函数可变形为：可令，则有当时，当时，而此时有意义。故所求函数的值域为例10. 求函数，的值域。解：令，则?由?且可得

4、：当时，当时，故所求函数的值域为。例11. 求函数的值域。解：由，可得故可令?当时，当时，故所求函数的值域为：8. 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。要学习网,只做中学生最喜欢、最实用的学习论坛，地址?的值域。解：原函数可化简得：y=|x-2|+|x+8|上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B(-8)间的距离之和。由上图可知，当点P在线段AB上时，y=|x-2|+|x+8|=|AB|=10当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y=|x-2|+|x+8|AB|=10故所求函数

5、的值域为：例13. 求函数的值域。解：原函数可变形为：上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B(-2,-1)的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，故所求函数的值域为例14. 求函数的值域。解：将函数变形为：上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点B(-2,1)到点P(x,0)的距离之差。即：y=|AP|-|BP|由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P，则构成ABP，根据三角形两边之差小于第三边，有即：（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有综上所述，可知函数的值域为：注：由例13，14可知，求两距离之和时，要将函数式变形，

6、使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。如：例13的A，B两点坐标分别为：（3，2），(-2,-1)，在x轴的同侧；例14的A，B两点坐标分别为（3，2），(2,-1)，在x轴的同侧。9. 不等式法利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例15. 求函数的值域。解：原函数变形为：当且仅当tanx=cotx即当时，等号成立故原函数的值域为：例16. 求函数y=2sinxsin2x的值域。解：y=4sinxsinxcosx当且仅当，即当时，等号成立。由可得：故原函数的

7、值域为：10. 映射法原理：因为在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。例17. 求函数的值域。解：定义域为由得故或解得故函数的值域为11最值法对于闭区间a,b上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间a,b内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。要学习网,只做中学生最喜欢、最实用的学习论坛，地址?,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。解：，上述分式不等式与不等式同解，解之得1x3/2，又x+y=1，将y=

8、1-x代入z=xy+3x中，得(-1x3/2),且x-1,3/2,函数z在区间-1,3/2上连续，故只需比较边界的大小。当x=-1时，z=5；当x=3/2时，z=15/4。函数z的值域为z5z15/4。点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。12.构造法13.根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。14.例19.求函数的值域。15.点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。16.解：原函数变形为17.作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位正方形。设HK=x,则EK=2-x,KF=2+x,。1

9、8.由三角形三边关系知，AK+KCAC=5。当A、K、C三点共线时取等号。19.原函数的知域为y|y5。20.点评：对于形如函数(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。13比例法14对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。15例20.已知x,yR，且3x-4y-5=0,求函数的值域。16点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。17解：由3x-4y-5=0变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)18x=3+4k,y=1+3k,19。20当k

10、=3/5时，x=3/5,y=4/5时，。21函数的值域为z|z1.22点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。2324利用多项式的除法25例21.求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。26点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。27解：y=(3x+2)/(x+1)=31/(x+1)。281/(x+1)0，故y3。29函数y的值域为y3的一切实数。30点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。3115. 多种方法综合运用例22. 求函数的值域。解：令，则（1）当t0时，当且仅当t=1，即x=-1时取等号，所以（2）当t=0时，y=0。综上所述，函数的值域为：注：先换元，后用不等式法例23. 求函数的值域。解：令，则当时，当时，此时都存在，故函数的值域为注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用的有界性。总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。