完整全等三角形的提高拓展经典题教师版.docx

1、完整全等三角形的提高拓展经典题教师版全等三角形的提高拓展训练知识点睛全等三角形的性质： 对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角 的角平分线相等，面积相等寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角(3)有公共边的，公共边常是对应边(4)有公共角的，公共角常是对应角(5)有对顶角的，对顶角常是对应角( 6)两个全等的不等边三角形中一对最长边 (或最大角 )是对应边 ( 或对应角 ) ，一对最短边 ( 或最小角 ) 是对应边 (或对应角 ) 要想

2、正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键全等三角形的判定方法：(1)边角边定理 (SAS) ：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(2)角边角定理 (ASA) ：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(3)边边边定理 (SSS) ：三边对应相等的两个三角形全等(4)角角边定理 (AAS) ：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(5)斜边、直角边定理 (HL) ：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等全等三角形的应用： 运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过 程中，注意有时会添加辅助线拓展关键点： 能通过判定两个三角形全等进而证明两条线

3、段间的位置关系和大小关系 而证明两条 线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础例题精讲板块一、截长补短【例1】 已知 ABC中， A 60o， BD 、 CE分别平分 ABC和. ACB， BD 、 CE交于点 O，试 判断 BE、 CD、 BC的数量关系，并加以证明例 2】 如图，点 M 为正三角形 ABD的边 AB 所在直线上的任意一 点（点 B除外 ），作 DMN 60 ，射线 MN 与DBA外角 的平分线交于点 N ， DM 与 MN 有怎样的数量关系 ?【变式拓展训练】如图，点 M为正方形 ABCD的边 AB上任意一点， MN DM 且与 ABC外角的平分线交于点 N， MD

4、 与 MN 有怎样的数量关系？例 3】 已知：如图， ABCD 是正方形， FAD= FAE. 求证： BE+DF=AE.例 4】 以 ABC 的 AB 、AC 为边向三角形外作等边 ABD 、 ACE ，连结 CD 、BE 相交于点 O 求证： OA平分 DOE 例 5】 如图所示， ABC 是边长为 1 的正三角形， 点作一个 60 的 MDN ，点 M 、 N 分别在 BDC 是顶角为 120 的等腰三角形， 以 D 为顶 AB、 AC上，求 AMN的周长C ABC+AED=180，例 6】 五边形 ABCDE 中， AB=AE，BC+DE=CD ， 求证： AD 平分 CDEBC，板块

5、二、全等与角度【例 7】如图，在 ABC 中， BAC 的度数 .例 8】在等腰 ABC中， AB AC，顶角 A 20 ，在边 AB上取点 D，使 AD 求 BDC .例 9】 如图所示，在 ABC 中， AC BC ， BAN 50 ， ABM 60 ，求 NMB.C 20 ，又 M 在 AC 上， N 在 BC 上，且满足例 10】 在四边形 ABCD 中，已知 AB AC， 的度数 .例 11】 如图所示，在四边形 ABCD 中，求 ACD 的度数 .例 12】 在 正 ABC 内取一点D ，使 DA DB ，在ABC外取一点 E ，使 DBE DBC ，且BE BA ，求 BED.例

6、13】如图所示，在 ABC中， BAC BCA 44 ，M 为 ABC内一点，使得 MCA 30 ， MAC 16 ，求 BMC 的度数 .全等三角形证明经典 50 题含答案）1. 已知： AB=4 ，AC=2 ，D是BC中点， AD 是整数，求 AD延长 AD 到 E,使 DE=AD, 则三角形 ADC 全等于三角形 EBD 即 BE=AC=2 在三角形 ABE 中 ,AB-BEAEAB+BE 即:10-22AD10+2 4AD6 又 AD 是整数 , 则 AD=512. 已知： D 是 AB 中点， ACB=90 ，求证： CD AB23. 已知： 证明：连接 BF 和 EF。 因为 BC

7、=ED,CF=DF, BCF= EDF。 所以 三角形 BCF 全等于三角形 EDF（ 边角边 ）。 所以 BF=EF,CBF= DEF。连接 BE 。 在三角形 BEF 中,BF=EF 。 所以 EBF=BEF。 又因为 ABC= AED 。 所以 ABE= AEB。 所以 AB=AE 。BC=DE，B=E，C=D，F是CD 中点，求证：1=2在三角形 ABF 和三角形 AEF 中，AB=AE,BF=EF, ABF= ABE+ EBF=AEB+BEF=AEF。 所以 三角形 ABF 和三角形 AEF 全等。所以 BAF= EAF (1=2)。4. 已知： 1= 2，CD=DE ，EF/AB

8、，求证： EF=AC 证明：过 E 点，作 EG/AC ，交 AD 延长线于 G则 DEG= DCA ， DGE= 2 又 CD=DE ADC GDE (AAS ) EG=AC EF/AB DFE= 1 1= 2 DFE= DGE EF=EG EF=AC5. 已知： AD 平分 BAC ，AC=AB+BD ，求证： B=2 C证明：在 AC 上截取 AE=AB ，连接 ED AD 平分 BAC EAD= BAD又 AE=AB ， AD=AD AED ABD (SAS) AED= B，DE=DB AC=AB+BDAC=AE+CE CE=DE C= EDC AED= C+ EDC=2C B=2 C

9、12.如图，四边形 ABCD 中，ABDC，BE、CE 分别平分 ABC 、 BCD ，且点 E在AD上。求证： BC=AB+DC 。证明 :在 BC 上截取 BF=BA, 连接 EF. ABE= FBE,BE=BE, 则ABEFBE(SAS),EFB=A;AB 平行于 CD,则: A+D=180;又 EFB+EFC=180,则 EFC=D;又 FCE=DCE,CE=CE, 故 FCEDCE(AAS),FC=CD.所以 ,BC=BF+FC=AB+CD.13.已知： AB/ED ， EAB= BDE ， AF=CD ，EF=BC ，求证： F=C AB/ED,AE/BD 推出 AE=BD, 又有

10、 AF=CD,EF=BC 所以三角形 AEF 全等于三角形 DCB ， 所以 :C=F14.已知： AB=CD ，A= D ，求证： B=C证明：设线段 AB,CD 所在的直线交于 E（，当 ADBC 时，E 点是射线 AB,DC 的交点）。则： AED 是等腰三角形。所以： AE=DE而 AB=CD所以： BE=CE （ 等量加等量，或等量减等量） 所以： BEC 是等腰三角形 所以：角 B= 角 C.15.P 是 BAC 平分线 AD 上一点， ACAB ，求证： PC-PBAC-AB作 B 关于 AD 的对称点 B，因为 AD 是角 BAC 的平分线， B 在线段 AC 上（在 AC 中

11、间，因为 AB 较短）因 为 PCPB+BC,PC-PBBC, 而 BC=AC-AB=AC-AB, 所 以 PC-PB 三角形 ADC 全等于三角形 ABC. 所以 BC 等于 DC，角 3 等于角 4,EC=EC三角形 DEC 全等于三角形 BEC所以 5= 634已知ABDE，BCEF，D，C在AF 上，且ADCF，求证：ABCDEF因为 D,C 在 AF 上且 AD=CF所以 AC=DF又因为 AB 平行 DE ，BC 平行 EF所以角 A+角EDF，角 BCA=角 F（两直线平行，内错角相等） 然后 SSA（角角边）三角形全等F，求证：BE=CD35已知：如图，AB=AC，BD AC，

12、CE AB，垂足分别为 D 、E，BD、CE 相交于点证明：因为 AB=AC ，所以 EBC= DCB因为 BD AC ， CEAB所以 BEC= CDBBC=CB （ 公共边 ）则有 三角形 EBC 全等于三角形 DCB 所以 BE CD（ 1）证明： ACB=90 ， ACD+ BCE=90 ，而 AD MN 于 D ， BEMN 于 E， ADC= CEB=90 ， BCE+CBE=90， ACD= CBE在RtADC 和RtCEB中，ADC=CEBACD=CBE AC=CB ，RtADC RtCEB（AAS）， AD=CE ， DC=BE ， DE=DC+CE=BE+AD ； （ 2）

13、不成立，证明：在 ADC 和 CEB中， ADC= CEB=90 ACD= CBE AC=CB ， ADC CEB（AAS）， AD=CE ， DC=BE ， DE=CE-CD=AD-BE ；41如图所示， 已知 AE AB，AF AC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）ECBF （ 1）证明 ;因为 AE 垂直 AB所以角 EAB= 角 EAC+ 角 CAB=90 度 因为 AF 垂直 AC所以角 CAF= 角 CAB+ 角 BAF=90 度 所以角 EAC= 角 BAF 因为 AE=AB AF=AC 所以三角形 EAC 和三角形 FAB 全等 所以 EC=BF 角 EC

14、A= 角 F（ 2）（2）延长 FB 与 EC 的延长线交于点 G 因为角 ECA= 角 F（已证）所以角 G=角 CAF因为角 CAF=90 度 所以 EC 垂直 BF1）AM=AN ；（ 2） AM AN。42如图： BEAC，CFAB，BM=AC ， CN=AB 。求证： 证明：（1）BEAC ，CF AB ABM+ BAC=90 ， ACN+ BAC=90 ABM= ACN BM=AC ，CN=AB ABM NAC AM=AN（2） ABM NAC BAM= N N+ BAN=90 BAM+ BAN=90即 MAN=90AM AN43如图 ,已知 A= D,AB=DE,AF=CD,BC

15、=EF. 求证 :BC EF 连接 BF 、CE，证明 ABF 全等于 DEC（ SAS ）， 然后通过四边形 BCEF 对边相等的证得平行四边形 BCEF 从而求得 BC 平行于 EF44如图,已知 ACBD，EA、EB分别平分 CAB 和 DBA ，CD 过点 E，则 AB 与AC+BD 相等 吗？请说明理由在 AB 上取点 N , 使得 AN=ACCAE=EAN ,AE 为公共边 ,所以三角形 CAE 全等三角形 EAN 所以 ANE= ACE又 AC 平行 BD所以 ACE+ BDE=180 而 ANE+ ENB=180 所以 ENB= BDENBE= EBNBE 为公共边 ,所以三角

16、形 EBN 全等三角形 EBD 所以 BD=BN所以 AB=AN+BN=AC+BD,且 DF=DE 求证 :BE CF45、（10分） 如图,已知: AD 是BC上的中线 证明： AD 是中线 BD=CD DF=DE ， BDE= CDF BDE CDF BED= CFDBECF46、(10 分)已知：如图， ABCD，DEAC，BFAC，E，F 是垂足， 求证： AB CD 证明： DEAC，BFAC ， DEC= AFB=90，在 RtDEC 和 RtBFA 中， DE=BF ，AB=CD ， RtDECRtBFA， C= A ，DE BF AB CD47、（10 分） 如图，已知1= 2， 3= 4，求证：AB=CD待定】48、 （10分）如图，已知 ACAB，DBAB，ACBE，AEBD，试猜想线段 CE与 DE 的大小 与位置关系，并证明你的结论 .结论： CEDE 。当 AEB 越小，则 DE越小。 证明：过D作 AE平行线与 AC交于 F，连接 FB由已知条件知 AFDE 为平行四边形， ABEC 为矩形 ，且 DFB 为等腰三角 形。RT BAE 中， AE