飞机减速作业.docx

1、飞机减速作业2013 高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了全国大学生数学建模竞赛章程和全国大学生数学建模竞赛参赛规则（以下简称为“竞赛章程和参赛规则” ，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载） 。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如

2、有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等） 。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： B我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话） ：所属学校（请填写完整的全名） ：参赛队员 (打印并签名 ) ： 1.2.3.指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名 )：（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对， 提交后将不再允许做任何修改。 如填写错误，论文可能被取消评奖资格。 ）日期： 年 月

3、 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2013 高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：摘要本文在合理的假设之下，针对本文中的五个问题建立了合适的模型。在求解方面，我们充分利用计算机软件求得结果。问题一：该问题属于物理学问题。本文运用物理学知识结合数学求解方法建立微分方程模型解决。运用物理基本公式解决题目，在求解过程中运用 MATLAB数学软件进行绘图求解，既能精确计算出结果也能通过图像清晰看出飞机减速情

4、况。问题二：在问题一得基础上，同样的减速伞装备 9T 重型轰炸机上，在减速伞的阻力作用下飞机做减速运动直至停下。 已知减速伞的作用阻力与飞机的滑跑速度成正比同问题一可建立微分方程模型，并对模型进行求解。将得到的结果与实际跑道长度 1500m 作对比，当 时跑道的长度可以保障飞机安全着陆，反之则不满足要求。问题四：已知减速伞的阻力与飞机的滑跑速度的平方成正比，因此 f k2 v2 ，其他条件相对问题一二没有变化，可建立微分方程模型。问题五：在增加考虑跑道摩擦力影响的情况下，只需将跑道阻力产生的加速度加在原微分方程模型中。飞 机落地以后 , 最主要的减速手段是以下四种 :1 引擎反推； 2 减速板

5、； 3 机轮刹车； 4 减速伞。 民航喷气式飞机在接地后主要借助反推装置配合传统的主机轮刹车组件来达到最佳减速效果， 而反推的原理是利用导流板将发动机排气的方向发生偏转，从原本向后变成向前倾斜以产生拉力， 对于军用战机来说由于其速度高吨位大，而且在野战环境下战机跑道受到极大制约。因此，需要减速伞配合减速板与机轮刹车以缩短所需跑道长度。本文建立微分方程模型， 将所给的飞机接触跑道时的速度和滑跑的一段距离以及滑跑这段距离未时刻的速度等作为初始条件进行求解。 在求解的过程中我们还作出了一些图像，经分析所建模型基本符合实际，能够很好的描述了在减速伞的作用下飞机（轰炸机）在跑道上滑跑的位移的变化规律以及

6、在飞机降落滑跑的不同时刻能够较准确的预测滑跑的距离。该模型可用于飞行员判断飞机（或轰炸机）在减速伞的作用下是否可以在有限的跑道上安全着陆。关键字： MATLAB图像求解 微分方程模型一、问题重述当机场跑道长度不足时，常常使用减速伞作为飞机着陆的减速装置。当飞机接触跑道开始着陆时，由飞机尾部张开一幅减速伞， 通过增大气动阻力使飞机减少滑跑的距离，保障飞机在较短的跑道上安全着陆，见图 1。（图 1）问题 1. 一架重 4.5T 的歼击机以每小时 600km的航速开始着陆，在减速伞的作用下滑跑500m后速度减为每小时 100km。设减速伞的阻力与飞机的滑跑速度成正比，并忽略飞机所受的其他外力，试计算

7、飞机的滑跑距离。问题 2.将同样的减速伞装备在 9T 重型轰炸机上，现已知机场跑道的长为1500m，若飞机着陆速度为每小时 700m，问该跑道的长度能否保障飞机安全着陆？问题 3.就问题 1 和 2 的一般情形分别进行讨论。问题 4.若实验表明减速伞的阻力与飞机的滑跑速度的平方成正比，试讨论问题1， 2和 3，并加以比较。问题 5.若飞机除受到减速伞的阻力之外还受到跑道摩擦力的影响，模型将做怎样的修改？二、模型假设模型的基本假设：1.忽略飞机所受的其他外力， 并把飞机看成物理学上的质点， 即不计飞机长度但有质量；2.令飞机所受空气阻力为 f ，飞机的反向加速度为 a,歼击机的质量为 m mg

8、,轰炸机的质量 为 M mg ， 设飞机刚接触跑道的速度为 v0 km / h ,滑行 t 后的速度为 vt km / h ；3. 设 k1 为减速伞的阻力与飞机的滑跑速度成正比的比例系数，即 f k1v .设 k2 为减速伞的阻力与飞机的滑跑速度的平方成正比的比例系数，即 f k2v2 ；4.如果考虑摩擦力时，令重力加速度为 g ,摩擦系数为受到跑道摩擦力的影响。三、符号说明符号说明：f飞机所受空气阻力a飞机的加速度m歼击机的质量M轰炸机的质量v0飞机刚接触跑道的速度k1减速伞的阻力与飞机的滑跑速度成正比的比例系数k2减速伞的阻力与飞机的滑跑速度的平方成正比的比例系数g重力加速度摩擦系数四、

9、问题分析及模型的建立与求解问题一：由于飞机的质量 m4.5t 4500kg ，降落初速度 v0600 km1000 m，滑跑距离h3s为 s1500m 时速度为 v1100 km, 假设减速伞的阻力与飞机的滑跑速度成正比，并忽h略飞机所受的其他外力，计算飞机的滑跑距离，本文将该问题理解成较为理想化的物理学问题，利用相应的微分知识解决。fma由相关物理公式：adv和题意得出以下关系式 :dtvdsdtf 阻 = k 1 vs (0)0v(0)v 0v( t 1 )v 1对其求解，得到相应微分方程：d 2sds，求解得 s。m4.5tm dt 2k1dts ( t1 )s1具体求解过程如下：m d

10、 2 sk1dsdt 2dt是二阶线性齐次微分方程， 通过对微分方程求解， 得到它的通解为：k 1ts ( t )cc 2 em1k 1 t根据条件 :s(0)0，可得到其方程的一个特解：s ( t )c 2 e mc 2 ；因此可得微分方程组：s(t )k1 tcc e m22v(t )dsc2k1 tk1 e mdtm根据初始条件：(2)；v(0) v0s(t1 ) s1 ；v(t1 ) v1s(0) 0得到：c2s1 v0, k1m( v0 v1 ) ；v0v1s1求解模型：s1 v0v 0v1 ts1 v 0s( t )esv0v1v 0v1v 0v1 t；v ( t )v 0 es1

11、由初始条件：500v( 0)3s(t1 ) 500v( t1 )2509s( 0)0m4500解得： k1 1250 , c 2600当飞机停止运动时，求得所用时间为： t-18 ln329.60s ；5500000000利用 matlab 作图 ( 见附录一 ),飞机滑跑位移图像600500400轴 300 s20010000 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100t轴飞机滑跑位移图像601600.5X: 29.6600Y: 599.8轴s599.559929.4 29.45 29.5 29.55 29.6 29.65 29.7 29.75 t轴得飞机滑跑距离为 s 5

12、99.9m 。问题二：同样的减速伞装备装置在 9T 重型轰炸机上，在减速伞的阻力作用下飞机做减速运动直至停下。减速伞的作用阻力与飞机的滑跑速度成正比，因此建立微分方程模型进行求解。将得到的结果与实际跑道长度 1500m 作对比，当 s 1500m 时跑道的长度可以保障飞机安全着陆，反之则不能。d2 sdsm dt 2k1 dt根据牛顿第二定律 fma 可建立下列微分方程： v(0)v0v(t1) v1mM 2由问题一可知 k1 1250 ， M 29000kg ，又由问题一种所求得的 c2 ，可知 c2 1400s(t)5 t14001400e 36于是有微分方程组5 t；v(t)625e 3

13、6由物理知识可知减速伞的阻力与飞机的滑跑速度成正比，当速度越来越小，阻力就会越来越小，这样飞机就会永远运动下去。结合实际的运动情况我们可以假定当速度v0.000001m / s 时，飞机停止 运动 。 所以当飞机 停止 运动 时，可求 得时 间 t 为36，由此可求得 s 1400m 1500m。说明该跑道的长度能保障飞机安全tln62500000 05着陆。利用 matlab 软件作出如下图像（具体见附录二） ：飞机滑跑位移图像140012001000800轴s60040020000 50 100 150t轴问题三：飞机滑跑速度图像600500400轴 300 v20010000 50 10

14、0 150 200 250 300t 轴飞机滑跑位移图像15001000轴s5000501001502002503000t 轴根据以上图形可知，一般情况下，飞机滑行距离不超过 1500m,滑行时间不超过 300s。问题四：已知减速伞的阻力与飞机的滑跑速度的平方成正比，因此f k2 v2 ，其他条件相对问题一二没有变化，可建立同问题一二的微分方程模型。m d 2 sk2 ( ds )2dt 2dts(0)0根据牛顿第二定律 fma 可得微分方程：v(0)v0；v(t1 ) v1s(t1)s1mM 1d 2 sk2ds2微分方程：；dt 2mdt求得其微分方程的解为：s(t )m(k2 c1t k

15、2c2 )；k2lnms(t ) m ln( k2 (c1tc2 ) / m) / k2则建立微分方程组为：v(t)dsmc1 /( c1t c2 ) / k2(3)；dtv(0) v0s(t1 ) s1其初始条件： v(t1 ) v1 ；ms(0) 0求得： c1 v0 , c2s1k 2mlnv0；v0s1v1lnv1s1v0 ln v0s(t )ln(v11)v0s1则求得其微分方程组为：ln；v1v(t)v0 s1v0 )tv0 (lns1v1v(0)5003s(t1 ) 500根据此题给的初始条件：v(t1 )250；9m4500s(0) 0500c25009 ln 6 ；可求出（具

16、体过程见附录四） ： c1k23ln 6我们知道此问题中说飞机只受减速伞的作用，即阻力只和速度有关系，而且减速伞的阻力与飞机的滑跑速度的平方成正比，当速度 v 1m / s 时，速度越小，则速度的平方更小，阻力也就越来越小，这样飞机就会永远的运动下去，因此，结合实际我们假定当速度 v 1m / s 时飞机则停止运动。根据以上求出时间 t 为： t497277.38s；ln 6可求得飞机滑跑距离为： s1430m ；d 2 sd s2mdt 2k2 (dt )对于问题二初始条件也没有变化，由牛顿第二定律建立微分方程：v(0)v0；v(t1 ) v1mM 2s(t ) m ln( k1( c1t

17、c2 ) / m) / k1微分方程组为 :dsmc1 / (c1t；v(t )c2 ) / k1dts( 0)0根据其初始条件：v(0)1750 ；9m 9000s(t )1000 ln( 7 (ln 6)t1)可得方程组：ln 636；ds175000v(t)dt175(ln 6)t900求出时间 t 为： t6964 ln 6 ；7可求得轰炸机的滑跑距离为： s2900m 1500m；因此，该跑道长度不能保障轰炸机的安全着陆。飞机在不同阻力下的飞行降落速度v以及位移 s图像如下：180v1=500/3*exp(-5*t./18)600s1=-600*exp(-5*t/18)+600160

18、5001401204001003008060200401002005005010001000v2=250000/(500*t/3+500/log(6)/3*log(6)s2=500*log(log(6)*t/3+1)/log(6)6001200500 1000400 800300 600200 400100 20005010005010000问题五：飞机除了受到减速伞的阻力，还受到跑道的摩擦力，建立模型过程中应该将飞机受力改为阻力和摩擦力的合力。五、模型的应用与评价经过分析本文所建模型基本符合实际，能够很好的描述了在减速伞的作用下飞机（轰炸机）在跑道上滑跑的位移的变化规律以及在飞机降落滑跑的不

19、同时刻能够较准确的预测滑跑的距离。该模型在实际生活中可用于飞行员判断飞机（或轰炸机）在减速伞的作用下是否可以在有限的跑道上安全着陆。六、参考文献1徐金明 , 张孟喜，丁涛 .MATLAB实用教程 . 北京：清华大学出版社北京交通大学出版社。2赵静，但琦，数学建模于数学实验（第 2 版），北京：高等教育出版社。3胡运权，郭耀煌，运筹学教程 ( 第四版 ). 北京：清华大学出版社， 2012。4徐玖平、胡知能、李军，运筹学（ II 类），北京：科学出版社， 2004。附录：附录一：t=0:0.05:100;s=-600*exp(-5*t./18)+600;plot(t,s,+)xlabel(t 轴

20、 );ylabel(s 轴 );title( 飞机滑跑位移图像 )飞机滑跑位移图像600500400轴 300 s20010000 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100t轴飞机滑跑位移图像601600.5X: 29.6600Y: 599.8轴s599.559929.4 29.45 29.5 29.55 29.6 29.65 29.7 29.75 t轴附录二： t=0:0.5:150;s=-1400*exp(-5*t./36)+1400;plot(t,s,+)xlabel(t 轴 );ylabel(s 轴 );title( 飞机滑跑位移图像 )飞机滑跑位移图像140012

21、001000800轴s60040020000 50 100 150t轴附录三：t=0:0.1:300;v=250000./(500*t./3+500./log(6)./3*log(6);plot(t,v)xlabel(t 轴 );ylabel(v 轴 );title( 飞机滑跑速度图像 )飞机滑跑速度图像600500400轴 300 v20010000 50 100 150 200 250 300t轴t=0:0.1:300;s=500*log(log(6)*t/3+1)./log(6);plot(t,s)xlabel(t 轴 );ylabel(s 轴 );title( 飞机滑跑位移图像 )飞机滑跑位移图像15001000轴s50000 50 100 150 200 250 300t轴附录四：t=0:0.1:100;v=175000./(175*(log(6)*t+900);plot(t,v,+)xlabel(t轴 );ylabel(v轴 );title(飞机滑跑速度图像 )200飞机滑跑速度