实验一面向微分方程的数值积分法仿真 2.docx

1、实验一 面向微分方程的数值积分法仿真 2实验一 面向微分方程的数值积分法仿真一、实验目的1掌握数值积分法的基本概念、原理及应用；2用龙格-库塔法解算微分方程，增加编写仿真程序的能力；3分析数值积分算法的计算步长与计算精度、速度、稳定性的关系；4. 对数值算法中的“病态问题”进行研究。二、实验内容1、已知系统微分方程及初值条件取步长，试分别用欧拉方程法和RK4法求时的值，并将求得的值与解析解比较(将三个解绘于同一坐标中，且用数值进行比较)，说明造成差异的原因。（编程完成；选用MATLAB ode函数完成。）程序代码如下：t0=0;tf=2;h=0.1;y1=1;y2=1;y3=1;t1=0;t2

2、=0;t3=0n=round(tf-t0)/h;for i=1:n y1(i+1)=y1(i)+h*(2*h+y1(i); t1=t1,t1(i)+h;endfor i=1:n k1=y2(i)+t2(i); k2=y2(i)+h*k1/2+t2(i)+h/2; k3=y2(i)+h*k2/2+t2(i)+h/2; k4=y2(i)+h*k3+t2(i)+h; y2(i+1)=y2(i)+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6; t2=t2,t2(i)+h;endfor i=1:n y3(i+1)=2*exp(t3(i)-t3(i)-1; t3=t3,t3(i)+h;endplot(t1,

3、y1,r,t2,y2,g,t3,y3,k)实验结果如下；分析：红线为用欧拉法得到的结果，绿线为用四阶龙格库塔法得到的结果，蓝线为根据解析方程得到的结果。其差异原因主要有两个：1、二者的方法不同，欧拉法是根据一阶微分方程计算得到的，龙格库塔法是根据四阶微分方程得到的；2、由于步长取为0.1，所以得到的图像与解析解之间存在差异，若将步长取小，则得到的解将更靠近解析解。2、已知系统的传递函数为在单位阶跃输入下，系统响应的解析解为试分别用欧拉方程法和RK4法对系统进行仿真（编程完成）： 1）比较两种数值积分解与解析解得逼近程度；（绘图）程序代码如下：a=0 1 0; 0 0 1; -22.06 -27

4、 -10;b=0;0;1;c=40.6 0 0;X1=0;0;0;t=0;Y1=0;X=0;u=1;Y2=0;Y3=0;X2=0;0;0;x=0;h=0.1;t0=0;tf=2;t1=0;t2=0;t3=0;N=(tf-t0)/h;for i=1:N k1=a*X1+b; k2=b+a*(h*k1/2+X1); k3=b+a*(h*k2/2+X1); k4=b+a*(h*k3+X1); X1=X1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6; Y1=Y1,c*X1; t1=t1,t1(i)+h;endfor i=1:N x=X2(:,i)+h*(a*X2(:,i)+b*u); y=c*x; X

5、2=X2,x; Y2=Y2,y; t2=t2,t2(i)+h;endfor i=1:N y=1.84-4.95*i*exp(-1.88*i)-1.5*exp(-1.88*i)-0.34*exp(-6.24*i); Y3=Y3,y; t3=t3,t3(i)+h;endplot(t1,Y1,r,t2,Y2,g,t3,Y3,b)当h=0.01时的结果当h=0.01时的结果分析：这是我得到的结果，发现两个方法得到的结果与实际结果都有较大差距，当是龙格库塔法更接近实际的结果。2）改变步长，分析步长对数值解精度的影响；改变步长后，发现只是两根仿真得到的曲线靠近了，但是与实际曲线仍然是差距很大，这是经过仔细

6、的检查和讨论我觉得程序还是对的，不知道错在哪里了。3）不断加大步长，分析计算稳定性的变化。当取h=0.5时，得到的结果：加大步长后结果得到的结果不稳定，不能够很好的对系统进行仿真，另外，由于系统步长选择偏大，根据解析解得到的结果也与实际值有了一定的差距，但是如果步长取得不一样又无法比较。3、求下图所示系统的阶跃响应的数值解。（，）分析、对系统响应的影响。（编程用RK4求解；Simulink）程序代码如下：k=1;a=conv(1 0 0,conv(0.25 1,0.25 1) b=2*k kX0=0 0 0 0 v=1;n0=4;tf=10;h0=0.25;r=1; V=v; n=n0; T0

7、=0; Tf=tf; h=h0; R=r; b=b/a(1);a=a/a(1);A=a(2: n+1); A=rot90(rot90(eye(n-1,n);-fliplr(A); B=zeros(1,n-1),1; m1=length(b); C=fliplr(b),zeros(1,n-m1); Ab=A-B*C*V; X=X0;y=0;t=T0; N=round(Tf-T0)/h;for i=1:N k1=Ab*X+B*R; k2=Ab*(X+h*k1/2)+B*R; k3=Ab*(X+h*k2/2)+B*R; k4=Ab*(X+h*k3)+B*R; X=X+h*(k1+2*k2+2*k3+

8、k4)/6; y=y,C*X; t=t,t(i)+h;endt,yplot(t,y)得到结果如下：K=0.5,v=1时的结果如下：K=1，v=1时，K=1，V=0.5时K=1,v=5时，K=2，v=1时分析：当k取值增大，v值不变时，系统输出的波头增多，而且也变陡，稳态精度降低，当k增加到一定程度时系统便发散了（即不稳定了）。当v值增大，k值不变时，波头也是变多变陡，当v值增大到一定程度时系统便不稳定了。4、已知系统状态状态方程为采用RK4法，步长分别取，求系统的零输入响应，并绘图分析各状态变量的响应状态及产生的原因。（提示：病态系统）程序代码如下：a=-21 19 -20;19 -21 20

9、;40 -40 -40;x=1;0;-1;X=x;t=0;t0=0;tf=2;h=0.01;n=round(tf-t0)/h;for i=1:n x=X(:,i)+h*a*X(:,i); X=X,x; t=t,t(i)+h;endb=X(1,:);c=X(2,:);d=X(3,:);plot(t,b,r,t,c,g,t,d,b)当h=0.01时得到的结果当h=0.02时得到的结果当h=0.04时得到的结果分析：如图，当h=0.01时，在t=0.2s以后系统输出便趋于平稳，当取h=0.02时，系统输出振荡剧烈，趋于稳定的时间也变长，当取h=0.04后，系统输出呈发散振荡形式。当h=0.06后系统

10、仍然是发散的，即当h的取值改变时，原先稳定的系统变得不稳定了，这便是病态系统。但是这个结果与书上的不同。三、 实验报告要求 记录完成实验内容所采取的步骤、方法和结果。回答思考题。四、 预习要求及思考题要求实验前，必须预习实验知识点，按实验内容的要求的确定仿真方案，完成程序设计，以便在实验时进行调试、分析。思考题：1、在进行仿真计算时，是否选用的数值积分法的阶次越高越好？答：阶次不是越高越好。（1）阶次越高计算公式也越复杂，每一步需要计算的次数也更多，需要的时间也更长。（2）每一阶的龙格库塔法都有对应的稳定区域，当h(为系统的特征方程根)超过稳定区域时，即使阶次高得到的结果也未必是稳定的。当h得值接近稳定边界时，误差也会增大。2、选用数值积分法进行仿真的原则。答：（1）精度 仿真结果的精度主要受三项误差的影响：1）截断误差：由算法本身的精度阶次所决定。2）舍入误差：由计算机字长决定。3）累积误差：由以上两项误差随计算时间长短累积情况决定。（2）计算速度 计算速度取决于所用的数值方法和计算步长。（3）稳定性 数值稳定性主要与计算步长h有关，不同的数值方法对h都有不同的稳定性限制范围，且与被仿真对象的时间常数也有关系。