2群论自测练习.docx

1、2群论自测练习第二章群论自测练习一、 概念解释1.置换 2.群的方程定义 3群的公理化定义 4.群的阶 5循环群 6.群的指数二、 判断题1对于群G的任意两个元a,b来说，方程ax二b和ya二b都在G中有解。2任何一个子群都同一个变换群同构。3.设Hi, H2均为群G的子群，贝U Hi H2也为G的子群。 （ ）4.群G的不变子群N的不变子群 M未必是G的不变子群。（ ）1 2 3 4、5.S4的置换兀= 是一个4 循环置换。I2 1 4 3丿6.群G中元素a的逆元存在，但不一定唯一。三、 选择题1.下面是交换半群，但不是群的是（ ）。A. （N, ） B. （Q, ） C. （Z*,）,其中

2、是非零整数集合 D. （C,）2.设e是群G的单位元，a,b是G的两个元素，则（ ）。A. （ab） 4 = a 4b B. （ab） = a C.若 a2 = e，则 a = a D. ab = ba3.精确到同构，4阶群有（）个。A.1 B. 2 C. 3 D. 44.以下结论正确的是 （ ）。A.全体非零整数对普通乘法作成一个群B.全体奇数对普通加法作成一个群C.实数域上全体n阶矩阵对普通乘法作成一个群D.、实数域上行列式等于 1的全体n阶矩阵对普通乘法作成一个群5.若H, K分别是群G的2011阶,2012阶子群，则H K是群G的（ ）。A.1阶子群 B.2011阶子群C.2012阶子

3、群 D.2011 2012阶子群6.以下结论正确的是 （ ）。A.无限群中除了单位元外其余元的阶都是无限B.无限群中至少有一个无限阶元C有限群中阶大于2的元的个数一定是偶数D.有限群中两个有限阶元的乘积可能是无限阶元7.在4次对称群S4中，阶等于2的元的个数是（ ）。A. 2 B. 3 C.6 D.98.设N是群G的不变子群，以下结论不正确的是 （ ）。A、若G是交换群，则 G/N是交换群 B、若G是非交换群，则 G/N是非交换群C、若G是循环群，则G/N是循环群 D、若G中元的阶都有限，则G/N中元的阶都有限四、填空题1设群G中元素a的阶为m，如果ae，那么m与n存在整除关系为。2 凯莱定理

4、说：任一个子群都同一个 同构。3.设G =（a）是循环群，则 G与整数加群同构的一个充要条件是 。4.设Z是整数加群，2Z二2 n|nZ是Z的子群，则商群Z/2Z的阶是 。5.模12的剩余类加群到模18的剩余类加群的同态映射有 个。6.p（p是素数）阶群的子群有 个。一 1 + T3i 一7.在全体非零复数对普通乘法作成的群 C*中，由 生成的子群的所有元素28.若N是4次对称群S4的12阶子群，则商群S4/N的阶是 。9.在同构的意义下， p（p是素数）阶群共有 个。| 0 -1 |10.在实数域上全体 2阶可逆矩阵对普通乘法作成的群中， 由A= | 生成的子群的所J 0 一有元素是 。11

5、. 模12的剩余类加群Z12的单位元是 .12.已知群G中元素a的阶为6 ,则a4的阶等于 .13.整数加群Z的所有生成元是 .14.n次对称群Sn的阶是 .五、计算题1设G是由有理数域上全体 2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成的群，试求 G中下列各元素101、的阶：a =J0丿b = m n，故：是G到Z的同构映射。即 G= (a)与整数加群Z同构。28.整数加群Z与偶数加群2Z同态； 整数环Z不能与偶数环2Z同态29.N G= aN bN =a(Nb)N =a(bN)N =(ab)NN =(ab)N,-a,b G;充分性，-a,bG, cG，使得aN bN 二 cN = ab ：= cN 二(

6、ab)N 二 cN = aN bN =(ab)N二 一a G, n N ,(an)(a，n) aN a，N = (aa*)N = N，所以an a人N，故N G。30.(1)令 A 二h(H K )|h H , B 二xK |x K,易知(h(H 一 K)二 hK,h H1 _ 1是从A到B的映射，又因若h1h2K,h1,h H，则g h? K，从而g h? HK ,有hi(H - K)二h2(H - K),故从A至U B的单射，从而| A叮B ,|即H : H - K G _，x f (x) f (x) N并且 ker(二f) =x G | (二f )(x) = N=x G | 二(f (x) = N =x G | f (x) N = N二xG|f(x) N = N，因此由同态基本定理知， N G并且gn=G_。