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1、离散数学课后习题答案1-1，1-2（1） 解：a) 是命题，真值为T。b) 不是命题。c) 是命题，真值要根据具体情况确定。d) 不是命题。e) 是命题，真值为T。f) 是命题，真值为T。g) 是命题，真值为F。h) 不是命题。i) 不是命题。（2） 解：原子命题：我爱北京天安门。A（3） 解：a) (P R)Qb) QRc) P d) PQ（4） 解：a)设Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。Q (RP):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。b)设R:我在看电视。Q:我在吃苹果。RQ:我在看电视边吃苹果。c) 设Q:一个数是奇数。R:一个数不能被2除。（QR）(RQ):一个数

2、是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。(5) 解：a) 设P：王强身体很好。Q：王强成绩很好。PQ b) 设P：小李看书。Q：小李听音乐。PQc) 设P：气候很好。Q：气候很热。PQd) 设P： a和b是偶数。Q：a+b是偶数。PQe) 设P：四边形ABCD是平行四边形。Q ：四边形ABCD的对边平行。PQf) 设P：语法错误。Q：程序错误。R：停机。（P Q） R(6) 解：a) P:天气炎热。Q:正在下雨。 PQb) P:天气炎热。R:湿度较低。 PRc) R:天正在下雨。S:湿度很高。 RSd) A:刘英上山。B:李进上山。 ABe) M:老王是革新者。N:小李是革

3、新者。 MNf) L:你看电影。M:我看电影。 LMg) P:我不看电视。Q:我不外出。 R:我在睡觉。 PQRh) P:控制台打字机作输入设备。Q:控制台打字机作输出设备。PQ1-3（1）解：a) 不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b) 是合式公式c) 不是合式公式（括弧不配对）d) 不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e) 是合式公式。 （2）解： a） A是合式公式，(AB)是合式公式，(A(AB) 是合式公式。这个过程可以简记为：A；(AB)；(A(AB) 同理可记b） A；A ；(AB) ；(AB)A)c） A；A ；B；(AB) ；(BA) ；(

4、AB)(BA)d） A；B；(AB) ；(BA) ；(AB)(BA)（3）解：a） (AC)(BC)A)(BC)A)(AC)b） (BA)(AB)。（4）解： a) 是由c) 式进行代换得到，在c) 中用Q代换P, (PP)代换Q. d) 是由a) 式进行代换得到，在a) 中用 P(QP)代换Q. e) 是由b) 式进行代换得到，用R代换P, S代换Q, Q代换R, P代换S.（5）解：a) P: 你没有给我写信。 R: 信在途中丢失了。 P Qb) P: 张三不去。Q: 李四不去。R: 他就去。 (PQ)Rc) P: 我们能划船。 Q: 我们能跑步。 (PQ)d) P: 你来了。Q: 他唱歌

5、。R: 你伴奏。 P(QR)（6）解：P:它占据空间。 Q:它有质量。 R:它不断变化。 S:它是物质。这个人起初主张：(PQR) S后来主张：(PQS)(SR)这个人开头主张与后来主张的不同点在于：后来认为有PQ必同时有R，开头时没有这样的主张。（7）解：a) P: 上午下雨。 Q:我去看电影。 R:我在家里读书。 S:我在家里看报。(PQ)(P(RS)b) P: 我今天进城。Q:天下雨。QPc) P: 你走了。 Q:我留下。QP1-4 （4）解：a) P Q RQRP(QR)PQ(PQ)RT T TT T FT F TT F FF T TF T FF F TF F FTFFFTFFFTFF

6、FFFFFTTFFFFFFTFFFFFFF所以，P(QR) (PQ)Rb) P Q R QR P(QR) PQ (PQ)R T T T T T F T F T T F F F T T F T F F F T F F F所以，P(QR) (PQ)R）（）（）（）所以，P(QR) (PQ)(PR)）P QPQPQ(PQ)PQ(PQ)T TT FF TF FFFTTFTFTFTTTFTTTFFFTFFFT所以，(PQ) PQ, (PQ) PQ（5）解：如表，对问好所填的地方，可得公式F1F6，可表达为 P Q R F1 F2 F3 F4 F5 F6 T T T T F T T F F T T F F

7、 F T F F F T F T T F F T T F T F F F T F T T F F T T T F F T T F F T F T F F F T F F F T T F T T T F F F F F T F T T TF1:(QP)RF2:(PQR)(PQR)F3:(PQ)(QR)F4:(PQR)(PQR)F5:(PQR)(PQR)F6:(PQR)(6)PQ1 234 5678910111213141516FF FTF TFTFTFTFTFTFTFTFFTTFFTTFFTT FFTTTFFFFFTTTTFFFFTTTTTTFFFFFFFFTTTTTTTT解：由上表可得有关公式

8、为1.F 2.(PQ) 3.(QP) 4.P 5.(PQ) 6.Q 7.(PQ) 8.(PQ) 9.PQ 10.PQ 11.Q 12.PQ 13.P 14.QP 15.PQ 16.T(7) 证明：a) A(BA) A(BA) A(AB) A(AB) A(AB)b) (AB) (AB)(AB) (AB)(AB)(AB)(AB) 或 (AB) (AB)(BA)(AB)(BA)(AB)(AA)(BB)(BA)(AB)(BA)(AB)(AB) (AB)(AB)c) (AB) (AB) ABd) (AB)(AB)(BA)(AB)(BA)(AB)(AB)e) (ABC)D)(C(ABD) (ABC)D)(

9、C(ABD) (ABC)D)(ABC)D) (ABC)(ABC)D (ABC)(ABC)D (AB)(AB)C)D (C(AB)D)f) A(BC) A(BC) (AB)C(AB)C (AB)Cg) (AD)(BD)(AD)(BD) (AB)D (AB)D (AB)Dh) (AB)C)(B(DC) (AB)C)(B(DC) (AB)(BD)C(AB) (DB)C(AB)(DB)C (AD)B)C (B(DA)C（8）解：a) (AB) (BA)C (AB) (BA)C (AB) (AB)CTCCb) A(A(BB) (AA)(BB) TF Tc) (ABC)(ABC) (AA) (BC)T(B

10、C)BC（9）解：1）设C为T，A为T，B为F，则满足ACBC，但AB不成立。 2）设C为F，A为T，B为F，则满足ACBC，但AB不成立。 3）由题意知A和B的真值相同，所以A和B的真值也相同。 习题 1-5（1） 证明：a) (P(PQ)Q(P(PQ)Q(PP)(PQ)Q(PQ)Q(PQ)QPQQPTTb) P(PQ)P(PQ) (PP)QTQTc) (PQ)(QR)(PR)因为(PQ)(QR)(PR)所以(PQ)(QR)为重言式。d) (ab)(bc) (ca)(ab)(bc)(ca)因为(ab)(bc)(ca)(ac)b)(ca)(ac)(ca)(b(ca)(ac)(bc)(ba)所以

11、(ab)(bc) (ca)(ab)(bc)(ca) 为重言式。（2） 证明：a)(PQ)P(PQ)解法1：设PQ为T（1）若P为T，则Q为T，所以PQ为T，故P(PQ)为T（2）若P为F，则Q为F，所以PQ为F，P(PQ)为T命题得证解法2：设P(PQ)为F，则P为T，(PQ)为F，故必有P为T，Q为F，所以PQ为F。解法3：(PQ) (P(PQ)(PQ)(P(PQ)(PQ)(PP)(PQ)T所以(PQ)P(PQ)b)(PQ)QPQ设PQ为F，则P为F，且Q为F，故PQ为T，(PQ)Q为F，所以(PQ)QPQ。c)(Q(PP)(R(R(PP)RQ设RQ为F，则R为T，且Q为F，又PP为F所以Q

12、(PP)为T，R(PP)为F所以R(R(PP)为F，所以(Q(PP)(R(R(PP)为F即(Q(PP)(R(R(PP)RQ成立。（3） 解：a) PQ表示命题“如果8是偶数，那么糖果是甜的”。b) a)的逆换式QP表示命题“如果糖果是甜的，那么8是偶数”。c) a)的反换式PQ表示命题“如果8不是偶数，那么糖果不是甜的”。d) a)的逆反式QP表示命题“如果糖果不是甜的，那么8不是偶数”。（4） 解：a) 如果天下雨，我不去。设P：天下雨。Q：我不去。PQ 逆换式QP表示命题:如果我不去，则天下雨。逆反式QP表示命题:如果我去，则天不下雨b) 仅当你走我将留下。设S：你走了。R：我将留下。RS

13、逆换式SR表示命题：如果你走了则我将留下。逆反式SR表示命题：如果你不走，则我不留下。c) 如果我不能获得更多帮助，我不能完成个任务。设E：我不能获得更多帮助。H：我不能完成这个任务。EH逆换式HE表示命题：我不能完成这个任务，则我不能获得更多帮助。逆反式HE表示命题：我完成这个任务，则我能获得更多帮助（5） 试证明PQ，Q逻辑蕴含P。证明：解法1：本题要求证明(PQ) QP, 设(PQ) Q为T，则(PQ)为T，Q为T，故由的定义，必有P为T。所以(PQ) QP解法2：由体题可知，即证(PQ)Q)P是永真式。 (PQ)Q)P (PQ) (PQ) Q)P (PQ) (PQ) Q) P (PQ)

14、 (PQ) Q) P (QPQ) (QPQ) P (QP) T) PQPPQT T（6） 解：P：我学习 Q：我数学不及格 R：我热衷于玩扑克。如果我学习，那么我数学不会不及格： PQ如果我不热衷于玩扑克，那么我将学习: RP 但我数学不及格: Q因此我热衷于玩扑克。 R即本题符号化为：(PQ)(RP)QR证：证法1：(PQ)(RP)Q)R (PQ)(RP)Q) R (PQ)(RP)QR (QP)(QQ)(RR)(RP) QPRP T所以，论证有效。证法2：设(PQ)(RP)Q为T，则因Q为T，(PQ) 为T，可得P为F，由(RP)为T，得到R为T。故本题论证有效。（7） 解：P：6是偶数 Q

15、：7被2除尽 R：5是素数如果6是偶数，则7被2除不尽 PQ或5不是素数，或7被2除尽 RQ5是素数 R所以6是奇数 P即本题符号化为：（PQ）（RQ）R P证：证法1：(PQ)(RQ)R)P (PQ) (RQ) R) P (PQ) (RQ) R) P (PP) (PQ) (RR) (RQ) (PQ) (RQ)T所以，论证有效，但实际上他不符合实际意义。证法2：(PQ)(RQ)R为T，则有R为T，且RQ 为T，故Q为T，再由PQ为T，得到P为T。（8） 证明：a) P(PQ)设P为T，则P为F，故PQ为Tb) ABCC假定ABC为T，则C为T。c) CABB因为ABB为永真，所以CABB成立。

16、d) (AB) AB 设(AB)为T，则AB为F。若A为T，B为F，则A为F，B为T，故AB为T。若A为F，B为T，则A为T，B为F，故AB为T。若A为F，B为F，则A为T，B为T，故AB为T。命题得证。e) A(BC)，DE，(DE)ABC设A(BC)，DE，(DE)A为T，则DE为T，(DE)A为T，所以A为T又A(BC)为T，所以BC为T。命题得证。f) (AB)C，D，CDAB设(AB)C，D，CD为T，则D为T，CD为T，所以C为F又(AB)C为T，所以AB为F，所以AB为T。命题得证。（9）解：a) 如果他有勇气，他将得胜。P：他有勇气 Q：他将得胜 原命题：PQ 逆反式：QP 表

17、示：如果他失败了，说明他没勇气。b) 仅当他不累他将得胜。P：他不累 Q：他得胜 原命题：QP 逆反式：PQ 表示：如果他累，他将失败。习题 1-6(1)解：a) (PQ)P(PP)Q(TQ)b) (P(QR) PQ (P(QR)PQ(PPQ)(QPQ)(RPQ)(PQ)(PQ)(PRQ)PQ(PQ)c) PQ(RP)PQ(RP) (PQR)(PQP)(PQR)FPQR(PQR)(2) 解：a)P PPb)PQ(PQ) (PQ)(PQ)c)PQPQ (PP)(QQ)(3)解：P(PQ)P(PQ)TPP (PP)(PP)P(PP) P(PQ)P(PQ)TPP(PP)(PP)P)(PP)P)(PP

18、)P)(4)解：PQ(PQ)(PP)(QQ) (PP)(QQ)(PP)(QQ)(5)证明：(BC)(BC) BC(BC)(BC)BC(6)解：联结词“”和“”不满足结合律。举例如下：a)给出一组指派：P为T，Q为F，R为F，则(PQ)R为T，P(QR)为F故 (PQ)R P(QR).b)给出一组指派：P为T，Q为F，R为F，则(PQ) R为T，P(QR)为F故(PQ)R P(QR).(7)证明：设变元P，Q，用连结词,作用于P，Q得到：P，Q，P，Q，PQ，PP，QQ，QP。但PQQP，PPQQ，故实际有：P，Q，P，Q，PQ，PP（T） （A）用作用于（A）类，得到扩大的公式类（包括原公式类

19、）：P，Q，P，Q，（PQ）， T，F， PQ （B）用作用于（A）类，得到：PQ，PPF，PQ（PQ），P（PQ）Q，P（PP）P，QP（PQ），QQF，Q（PQ）P，QTQ, PQPQ，P（PQ）Q，PTP, Q（PQ）P，QTQ,（PQ）（PQ）PQ.因此，（A）类使用运算后，仍在（B）类中。对（B）类使用运算得：P，Q，P，Q， PQ， F，T，（PQ）， 仍在（B）类中。对（B）类使用运算得：PQ，PPF，PQ（PQ），P（PQ）Q，PTP，PFP，P（PQ）Q， QP（PQ），QQF，Q（PQ）P，QTQ, QFQ， Q（PQ）P， PQPQ，P（PQ）Q，PTP, PFP,P（P

20、Q）Q， Q（PQ）P，QTQ, QTQ,Q（PQ）P，（PQ）T（PQ），（PQ）FPQ，（PQ）（PQ）FTFF，T（PQ） PQF（PQ） （PQ）（PQ）（PQ）PQ.故由（B）类使用运算后，结果仍在（B）中。由上证明：用,两个连结词，反复作用在两个变元的公式中，结果只能产生（B）类中的公式，总共仅八个不同的公式，故,不是功能完备的，更不能是最小联结词组。已证,不是最小联结词组，又因为P Q （PQ），故任何命题公式中的联结词，如仅用 , 表达，则必可用,表达，其逆亦真。故 , 也必不是最小联结词组。(8)证明，和不是最小联结词组。证明：若，和是最小联结词，则 P（PP） P（PP） PP(P(P)对所有命题变元指派T，则等价式左边为F，右边为T，与等价表达式矛盾。所以，和不是最小联结词。(9)证明,和, 是最小联结词组。证明：因为,为最小联结词组，且PQPQ所以,是功能完备的联结词组，又,都不是功能完备的联结词组。