麦克斯韦电磁场理论.docx

1、麦克斯韦电磁场理论麦克斯韦电磁场理论 几分立的带电体或电流，它们之间的一切电的及磁的作用都是通过它们之间的中间区域传递的，不论中间区域是真空还是实体物质。 电能或磁能不仅存在于带电体、磁化体或带电流物体中，其大部分分布在周围的电磁场中。 导体构成的电路若有中断处，电路中的传导电流将由电介质中的位移电流补偿贯通，即全电流连续。且位移电流与其所产生的磁场的关系与传导电流的相同。 磁通量既无始点又无终点，即不存在磁荷。 光波也是电磁波。 麦克斯韦方程组有两种表达方式。 1. 积分形式的麦克斯韦方程组是描述电磁场在某一体积或某一面积内的数学模型。表达式为： 式是由安培环路定律推广而得的全电流定律，其含

2、义是：磁场强度H沿任意闭合曲线的线积分，等于穿过此曲线限定面积的全电流。等号右边第一项是传导电流第二项是位移电流。式是法拉第电磁感应定律的表达式，它说明电场强度E沿任意闭合曲线的线积分等于穿过由该曲线所限定面积的磁通对时间的变化率的负值。这里提到的闭合曲线，并不一定要由导体构成，它可以是介质回路，甚至只是任意一个闭合轮廓。式表示磁通连续性原理，说明对于任意一个闭合曲面，有多少磁通进入盛然就有同样数量的磁通离开。即B线是既无始端又无终端的；同时也说明并不存在与电荷相对应的磷荷。式是高斯定律的表达式，说明在时变的条件下，从任意一个闭合曲面出来的D的净通量，应等于该闭曲面所包围的体积内全部自由电荷之

3、总和。 2. 微分形式的麦克斯韦方程组。微分形式的麦克斯韦方程是对场中每一点而言的。应用del算子，可以把它们写成 式是全电流定律的微分形式，它说明磁场强度H的旋度等于该点的全电流密度（传导电流密度J与位移电流密度 之和），即磁场的涡旋源是全电流密度，位移电流与传导电流一样都能产生磁场。式是法拉第电磁感应定律的微分形式，说明电场强度E的旋度等于该点磁通密度B的时间变化率的负值，即电场的涡旋源是磁通密度的时间变化率。式是磁通连续性原理的微分形式，说明磁通密度B的散度恒等于零，即B线是无始无终的。也就是说不存在与电荷对应的磁荷。式是静电场高斯定律的推广，即在时变条件下，电位移D的散度仍等于该点的自

4、由电荷体密度。 除了上述四个方程外，还需要有媒质的本构关系式 才能最终解决场量的求解问题。式中是媒质的介电常数，是媒质的磁导率，是媒质的电导率。 表达形式 编辑 积分形式 麦克斯韦方程组的积分形式如下： 这是1873年前后，麦克斯韦提出的表述电磁场普遍规律的四个方程。其中： （1）描述了电场的性质。在一般情况下，电场可以是自由电荷的电场也可以是变化磁场激发的感应电场，而感应电场是涡旋场，它的电位移线是闭合的，对封闭曲面的通量无贡献。 （2）描述了磁场的性质。磁场可以由传导电流激发，也可以由变化电场的位移电流所激发，它们的磁场都是涡旋场，磁感应线都是闭合线，对封闭曲面的通量无贡献。 （3）描述了

5、变化的磁场激发电场的规律。 （4）描述了传导电流和变化的电场激发磁场的规律。 稳恒场中的形式 当 时，方程组就还原为静电场和稳恒磁场的方程： 无场源自由空间中的形式 当 ，方程组就成为如下形式： 麦克斯韦方程组的积分形式反映了空间某区域的电磁场量(D、E、B、H)和场源(电荷q、电流I)之间的关系。 微分形式 在电磁场的实际应用中，经常要知道空间逐点的电磁场量和电荷、电流之间的关系。从数学形式上，就是将麦克斯韦方程组的积分形式化为微分形式。 注意： (1)在不同的惯性参照系中，麦克斯韦方程组有同样的形式。 (2) 应用麦克斯韦方程组解决实际问题，还要考虑介质对电磁场的影响。例如在均匀中，电磁场

6、量与介质特性量有下列关系： 在非均匀介质中，还要考虑电磁场量在界面上的边值关系。在利用t=0时场量的初值条件，原则上可以求出任一时刻空间任一点的电磁场，即E(x,y,z,t)和B(x,y,z,t)。 复数形式 对于正弦时变场，可以使用复矢量将电磁场定律表示为复数形式。 在复数形式的电磁场定律中，由于复数场量和源量都只是空间位置的函数，在求解时，不必再考虑它们与时间的依赖关系。因此，对讨论正弦时变场来说面采用复数形式的电磁场定律是较为方便的。 注记 采用不同的单位制，麦克斯韦方程组的形式会稍微有所改变，大致形式仍旧相同，只是不同的常数会出现在方程内部不同位置。 国际单位制是最常使用的单位制，整个

7、工程学领域都采用这种单位制，大多数化学家也都使用这种单位制，大学物理教科书几乎都采用这种单位制。其它常用的单位制有高斯单位制、洛伦兹-赫维赛德单位制（Lorentz-Heaviside units）和普朗克单位制。由厘米-克-秒制衍生的高斯单位制，比较适合于教学用途，能够使得方程看起来更简单、更易懂。洛伦兹-赫维赛德单位制也是衍生于厘米-克-秒制，主要用于粒子物理学；普朗克单位制是一种自然单位制，其单位都是根据自然的性质定义，不是由人为设定。普朗克单位制是研究理论物理学非常有用的工具，能够给出很大的启示。在本页里，除非特别说明，所有方程都采用国际单位制。 这里展示出麦克斯韦方程组的两种等价表述

8、。第一种表述如下： 这种表述将自由电荷和束缚电荷总和为高斯定律所需要的总电荷，又将自由电流、束缚电流和电极化电流总合为麦克斯韦-安培定律内的总电流。这种表述采用比较基础、微观的观点。这种表述可以应用于计算在真空里有限源电荷与源电流所产生的电场与磁场。但是，对于物质内部超多的电子与原子核，实际而言，无法一一纳入计算。事实上，经典电磁学也不需要这么精确的答案。 第二种表述见前所述”积分形式“中的”一般形式“。它以自由电荷和自由电流为源头，而不直接计算出现于电介质的束缚电荷和出现于磁化物质的束缚电流和电极化电流所给出的贡献。由于在一般实际状况，能够直接控制的参数是自由电荷和自由电流，而束缚电荷、束缚

9、电流和电极化电流是物质经过极化后产生的现象，采用这种表述会使得在介电质或磁化物质内各种物理计算更加简易。 表面上看，麦克斯韦方程组似乎是超定的（overdetermined）方程组，它只有六个未知量（矢量电场、磁场各拥有三个未知量，电流与电荷不是未知量，而是自由设定并符合电荷守恒的物理量），但却有八个方程（两个高斯定律共有两个方程，法拉第定律与安培定律是矢量式，各含有三个方程）。这状况与麦克斯韦方程组的某种有限重复性有关。从理论可以推导出，任何满足法拉第定律与安培定律的系统必定满足两个高斯定律。1 另一方面，麦克斯韦方程组又是不封闭的。只有给定了电磁介质的特性，此方程组才能得到定解。 麦克斯韦

10、方程组乃是由四个方程共同组成的： 1、 ：该定律描述电场与空间中电荷分布的关系。开始于，终止于。计算 穿过某给定闭曲面的电场线数量，即其电通量，可以得知包含在这闭曲面内的总电荷。更详细地说，这定律描述穿过任意闭曲面的电通量与这闭曲面内的电荷之间的关系。 2、 高斯磁定律：该定律表明，磁单极子实际上并不存在。所以，没有孤立磁荷，磁场线没有初始点， 也没有终止点。磁场线会形成循环或延伸至无穷远。换句话说，进入任何区域的磁场线，必需从那区域离开。以术语来说，通过任意闭曲面的磁通量等于零，或者，磁场是一个无源场。 - 麦克斯韦方程组的积分形式: （1）描述了电场的性质。 电荷是如何产生电场的高斯定理。

11、 （静电场的高斯定理） 电场强度在一封闭曲面上的面积分与封闭曲面所包围的电荷量成正比。 电场 E （矢量）通过任一闭曲面的通量，即对该曲面的积分等于4乘以该曲面所包围的总电荷量。 静电场（见电场）的基本方程之一，它给出了电场强度在任意封闭曲面上的面积分和包围在封闭曲面内的总电量之间的关系。 根据库仑定律可以证明电场强度对任意封闭曲面的通量正比于该封闭曲面内电荷的代数和 通过任意闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的所有电荷量的代数和与电常数之比。 电场强度对任意封闭曲面的通量只取决于该封闭曲面内电荷的代数和，与曲面内电荷的分布情况无关，与封闭曲面外的电荷亦无关。 在真空的情况下,q是包围在封闭

12、曲面内的自由电荷的代数和。 当存在介质时,q应理解为包围在封闭曲面内的自由电荷和极化电荷的总和。 在静电场中，由于自然界中存在着独立的电荷，所以电场线有起点和终点，只要闭合面内有净余的正（或负）电荷，穿过闭合面的电通量就不等于零，即静电场是有源场； 高斯定理反映了静电场是有源场这一特性。 凡是有正电荷的地方，必有电力线发出；凡是有负电荷的地方，必有电力线会聚。 正电荷是电力线的源头，负电荷是电力线的尾闾。 高斯定理是从库仑定律直接导出的，它完全依赖于电荷间作用力的二次方反比律。 把高斯定理应用于处在静电平衡条件下的金属导体，就得到导体内部无净电荷的结论，因而测定导体内部是否有净电荷是检验库仑定

13、律的重要方法。 对于某些对称分布的电场,如均匀带电球的电场,无限大均匀带电面的电场以及无限长均匀带电圆柱的电场，可直接用高斯定理计算它们的电场强度。 电位移对任一面积的能量为电通量，因而电位移亦称电通密度。 （2）描述了变化的磁场激发电场的规律。 磁场是如何产生电场的法拉第电磁感应定律。 （静电场的环路定理） 在没有自由电荷的空间，由变化磁场激发的涡旋电场的电场线是一系列的闭合曲线。 在一般情况下，电场可以是库仑电场也可以是变化磁场激发的感应电场，而感应电场是涡旋场，它的电位移线是闭合的，对封闭曲面的通量无贡献。 麦克斯韦提出的涡旋电场的概念，揭示出变化的磁场可以在空间激发电场，并通过法拉第电

14、磁感应定律得出了二者的关系，上式表明，任何随时间而变化的磁场，都是和涡旋电场联系在一起的。 （3）描述了磁场的性质。 论述了磁单极子的不存在的高斯磁定律 （稳恒磁场的高斯定理） 在磁场中，由于自然界中没有单独的磁极存在，N极和S极是不能分离的，磁感线都是无头无尾的闭合线，所以通过任何闭合面的磁通量必等于零。 由于磁力线总是闭合曲线，因此任何一条进入一个闭合曲面的磁力线必定会从曲面内部出来，否则这条磁力线就不会闭合起来了。如果对于一个闭合曲面，定义向外为正法线的指向，则进入曲面的磁通量为负，出来的磁通量为正，那么就可以得到通过一个闭合曲面的总磁通量为0。 这个规律类似于电场中的高斯定理，因此也称

15、为高斯定理。 （4）描述了变化的电场激发磁场的规律。 电流和变化的电场是怎样产生磁场的麦克斯韦-安培定律。 （磁场的安培环路定理） 变化的电场产生的磁场和传导电流产生的磁场相同，都是涡旋状的场，磁感线是闭合线。因此，磁场的高斯定理仍适用。 在稳恒磁场中，磁感强度H沿任何闭合路径的线积分，等于这闭合路径所包围的各个电流之代数和。 磁场可以由传导电流激发，也可以由变化电场的位移电流所激发，它们的磁场都是涡旋场，磁感应线都是闭合线，对封闭曲面的通量无贡献。 麦克斯韦提出的位移电流的概念，揭示出变化的电场可以在空间激发磁场，并通过全电流概念的引入，得到了一般形式下的安培环路定理在真空或介质中的表示形式

16、，上式表明，任何随时间而变化的电场，都是和磁场联系在一起的。 合体： 式中H为磁场强度,D为电通量密度,E为电场强度，B为磁通密度。 在采用其他单位制时,方程中有些项将出现一常数因子,如光速c等。 上面四个方程组成： 描述电荷如何产生电场的高斯定律、 描述时变磁场如何产生电场的法拉第感应定律、 论述磁单极子不存在的高斯磁定律、 描述电流和时变电场怎样产生磁场的麦克斯韦-安培定律。 综合上述可知，变化的电场和变化的磁场彼此不是孤立的，它们永远密切地联系在一起，相互激发，组成一个统一的电磁场的整体。 麦克斯韦方程组的积分形式 反映了空间某区域的电磁场量(D、E、B、H)和场源(电荷q、电流I)之间

17、的关系。 麦克斯韦方程组微分形式： 式中J为电流密度,，为电荷密度。 H为磁场强度,D为电通量密度,E为电场强度，B为磁通密度。 上图分别表示为： （1）磁场强度的旋度（全电流定律）等于该点处传导电流密度 与位移电流密度 的矢量和； （2）电场强度的旋度（法拉第电磁感应定律）等于该点处磁感强度变化率的负值； （3）磁感强度的散度处处等于零 （磁通连续性原理） 。 （4）电位移的散度等于该点处自由电荷的体密度 （高斯定理） 。 在电磁场的实际应用中，经常要知道空间逐点的电磁场量和电荷、电流之间的关系。 从数学形式上，就是将麦克斯韦方程组的积分形式化为微分形式。 上面的微分形式分别表示： （1）电

18、位移的散度等于该点处自由电荷的体密度 （高斯定理） 。 （2）磁感强度的散度处处等于零 （磁通连续性原理） 。 （3）电场强度的旋度（法拉第电磁感应定律）等于该点处磁感强度变化率的负值； （4）磁场强度的旋度（全电流定律）等于该点处传导电流密度 与位移电流密度 的矢量和； 利用矢量分析方法，可得： (1)在不同的惯性参照系中，麦克斯韦方程有同样的形式。 (2) 应用麦克斯韦方程组解决实际问题，还要考虑介质对电磁场的影响。 例如在各向同性介质中，电磁场量与介质特性量有下列关系： 在非均匀介质中，还要考虑电磁场量在界面上的边值关系。 在利用t=0时场量的初值条件，原则上可以求出任一时刻空间任一点的

19、电磁场，即E(x,y,z,t)和B(x,y,z,t)。 科学意义 经典场论是19世纪后期麦克斯韦在总结电磁学三大实验定律 并把它与力学模型进行类比的基础上创立起来的。 但麦克斯韦的主要功绩恰恰是他能够跳出经典力学框架的束缚： 在物理上以场而不是以力作为基本的研究对象，在数学上引入了有别于经典数学的矢量偏微分运算符。 这两条是发现电磁波方程的基础。 这就是说，实际上麦克斯韦的工作已经冲破经典物理学和经典数学的框架，只是由于当时的历史条件，人们仍然只能从牛顿的经典数学和力学的框架去理解电磁场理论。 现代数学，Hilbert空间中的数学分析是在19世纪与20世纪之交的时候才出现的。 而量子力学的物质

20、波的概念则在更晚的时候才被发现，特别是对于现代数学与量子物理学之间的不可分割的数理逻辑联系至今也还没有完全被人们所理解和接受。 从麦克斯韦建立电磁场理论到现在，人们一直以欧氏空间中的经典数学作为求解麦克斯韦方程 组的基本方法。 我们从麦克斯韦方程组的产生,形式,内容和它的历史过程中可以看到： 第一，物理对象是在更深的层次上发展成为新的公理表达方式而被人类所掌握，所以科学的进步不会是在既定的前提下演进的，一种新的具有认识意义的公理体系的建立才是科学理论进步的标志。 第二，物理对象与对它的表达方式虽然是不同的东西，但如果不依靠合适的表达方法就无法认识到这个对象的存在。 第三，我们正在建立的理论将决

21、定到我们在何种层次的意义上使我们的对象成为物理事实,这正是现代最前沿的物理学所给我们带来的困惑。 麦克斯韦方程组揭示了电场与磁场相互转化中产生的对称性优美，这种优美以现代数学形式得到充分的表达。 但是，我们一方面应当承认，恰当的数学形式才能充分展示经验方法中看不到的整体性(电磁对称性)，但另一方面，我们也不应当忘记，这种对称性的优美是以数学形式反映出来的电磁场的统一本质。 因此我们应当认识到应在数学的表达方式中发现或看出 了这种对称性，而不是从物理数学公式中直接推演出这种本质。 - Maxwell方程的作用量形式： 根据自然得到(） 对作用量做变分得到 Maxwell方程有三种对称性： 洛伦兹

22、对称性 规范对称性 在无源情况下，电与磁的对偶： - 本人不幸，本科读的跟题主一样也是个数学简（la）单（ji）的经（quan）济（tui）类学科（我自己都特么嫌low）。然而一些基本的多元微分学和偏微分方程的知识就能让我们领略麦克斯韦方程组之美。 作为外行，回答这个答案是真心带着欣赏美的角度来看的，各位知乎专家容我这曾经的物理爱好者从方程的良好形式出发抒发瞻仰一下,说的不好请指正。 高度的对称和统一美，尤其是在真空中方程组的高度对称美。这一个方程组把电、磁、时 间、空间，这四个度量完整归一了，而且还对称！ 梯度，所谓一维二维三维坐标的全微分，把方程组的形式统一到了一个一般的波动偏微分形式：

23、可以是杆： 可以是面： 可以是空间： 在真空中，电流密度J=0，电荷密度rho =0。 如果是静态的： 从数学的语言上，电场强度E和磁场强度H,在空间里各个方向以各种方式趋近的微小变化量都为0（全微分的要求，各个方向，以各种方式趋近），描述了一个电和磁“你不动我就不动”的静态。 然后漂亮的用电场和磁场强度对于时间的导数当作了个“产生速度”，有了动态的两组： 以真空电容率和 真空词导系数 相转化的过程。 作为“媒介”，诠释了一个电和磁在时间和空间上互 而上面这些，又统统可以化成代表各个方向电场和磁场量的波动方程： 完美，工整，统一，形象。 我自己最倾佩的就是形象，这些公式本身就是在形象的描述现象，让我这个没学过理论物理的外行人都能直观的感受到这些物理量之间的微妙互动。这个方程本身就像个艺术品。 - 改造一下： 再改造一下，更简洁了：