函数知识点归纳.docx

1、函数知识点归纳函数知识点归纳【篇一：函数知识点归纳】1常量和变量在某变化过程中可以取不同数值的量,叫做变量在某变化过程中保持同一数值的量或数,叫常量或常数2函数设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x在某一范围的每一个值,y都有唯一的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数3自变量的取值范围(1)整式：自变量取一切实数(2)分式：分母不为零(3)偶次方根：被开方数为非负数(4)零指数与负整数指数幂：底数不为零4函数值对于自变量在取值范围内的一个确定的值,如当xa时,函数有唯一确定的对应值,这个对应值,叫做xa时的函数值5函数的表示法(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法6函数的图象

2、把自变量x的一个值和函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标,可以在平面直角坐标系内描出一个点,所有这些点的集合,叫做这个函数的图象由函数解析式画函数图象的步骤：(1)写出函数解析式及自变量的取值范围；(2)列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；(3)描点：以表中对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点；(4)连线：用平滑曲线,按照自变量由小到大的顺序,把所描各点连接起来7一次函数(1)一次函数如果ykxb(k、b是常数,k0),那么y叫做x的一次函数特别地,当b0时,一次函数ykxb成为ykx(k是常数,k0),这时,y叫做x的正比例函数(2)一次函数的图象一次函数ykxb的图象是一条经过(

3、0,b)点和 点的直线特别地,正比例函数图象是一条经过原点的直线需要说明的是,在平面直角坐标系中,“直线”并不等价于“一次函数ykxb(k0)的图象”,因为还有直线ym(此时k0)和直线xn(此时k不存在),它们不是一次函数图象(3)一次函数的性质当k0时,y随x的增大而增大；当k0时,y随x的增大而减小直线ykxb与y轴的交点坐标为(0,b),与x轴的交点坐标为 (4)用函数观点看方程(组)与不等式任何一元一次方程都可以转化为axb0(a,b为常数,a0)的形式,所以解一元一次方程可以转化为：一次函数ykxb(k,b为常数,k0),当y0时,求相应的自变量的值,从图象上看,相当于已知直线yk

4、xb,确定它与x轴交点的横坐标二元一次方程组 对应两个一次函数,于是也对应两条直线,从“数”的角度看,解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数值相等,以及这两个函数值是何值；从“形”的角度看,解方程组相当于确定两条直线的交点的坐标任何一元一次不等式都可以转化axb0或axb0(a、b为常数,a0)的形式,解一元一次不等式可以看做：当一次函数值大于0或小于0时,求自变量相应的取值范围8反比例函数(1)反比例函数如果 (k是常数,k0),那么y叫做x的反比例函数(2)反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线(3)反比例函数的性质当k0时,图象的两个分支分别在第一、三象限内,在各自的象限内,y随x的

5、增大而减小当k0时,图象的两个分支分别在第二、四象限内,在各自的象限内,y随x的增大而增大(4)k的两种求法若点(x0,y0)在双曲线 上,则kx0y0k的几何意义：若双曲线 上任一点a(x,y),abx轴于b,则saob(5)正比例函数和反比例函数的交点问题若正比例函数yk1x(k10),反比例函数 ,则当k1k20时,两函数图象无交点；当k1k20时,两函数图象有两个交点,坐标分别为 由此可知,正反比例函数的图象若有交点,两交点一定关于原点对称1二次函数如果yax2bxc(a,b,c为常数,a0),那么y叫做x的二次函数几种特殊的二次函数：yax2(a0)；yax2c(ac0)；yax2b

6、x(ab0)；ya(xh)2(a0)2二次函数的图象二次函数yax2bxc的图象是对称轴平行于y轴的一条抛物线由yax2(a0)的图象,通过平移可得到ya(xh)2k(a0)的图象3二次函数的性质二次函数yax2bxc的性质对应在它的图象上,有如下性质：(1)抛物线yax2bxc的顶点是 ,对称轴是直线 ,顶点必在对称轴上；(2)若a0,抛物线yax2bxc的开口向上,因此,对于抛物线上的任意一点(x,y),当x 时,y随x的增大而减小；当x 时,y随x的增大而增大；当x ,y有最小值 ；若a0,抛物线yax2bxc的开口向下,因此,对于抛物线上的任意一点(x,y),当x ,y随x的增大而增大

7、；当 时,y随x的增大而减小；当x 时,y有最大值 ；(3)抛物线yax2bxc与y轴的交点为(0,c)；(4)在二次函数yax2bxc中,令y0可得到抛物线yax2bxc与x轴交点的情况：当?b24ac0,抛物线yax2bxc与x轴有两个不同的公共点,它们的坐标分别是 和 ,这两点的距离为 ；当?0时,抛物线yax2bxc与x轴只有一个公共点,即为此抛物线的顶点 ；当?0时,抛物线yax2bxc与x轴没有公共点4抛物线的平移抛物线ya(xh)2k与yax2形状相同,位置不同把抛物线yax2向上(下)、向左(右)平移,可以得到抛物线ya(xh)2k平移的方向、距离要根据h、k的值来决定1常量和

8、变量在某变化过程中可以取不同数值的量,叫做变量在某变化过程中保持同一数值的量或数,叫常量或常数2函数设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x在某一范围的每一个值,y都有唯一的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数3自变量的取值范围(1)整式：自变量取一切实数(2)分式：分母不为零(3)偶次方根：被开方数为非负数(4)零指数与负整数指数幂：底数不为零4函数值对于自变量在取值范围内的一个确定的值,如当xa时,函数有唯一确定的对应值,这个对应值,叫做xa时的函数值5函数的表示法(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法6函数的图象把自变量x的一个值和函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标

9、,可以在平面直角坐标系内描出一个点,所有这些点的集合,叫做这个函数的图象由函数解析式画函数图象的步骤：(1)写出函数解析式及自变量的取值范围；(2)列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；(3)描点：以表中对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点；(4)连线：用平滑曲线,按照自变量由小到大的顺序,把所描各点连接起来7一次函数(1)一次函数如果ykxb(k、b是常数,k0),那么y叫做x的一次函数特别地,当b0时,一次函数ykxb成为ykx(k是常数,k0),这时,y叫做x的正比例函数(2)一次函数的图象一次函数ykxb的图象是一条经过(0,b)点和 点的直线特别地,正比例函数图象是一条经过原点的

10、直线需要说明的是,在平面直角坐标系中,“直线”并不等价于“一次函数ykxb(k0)的图象”,因为还有直线ym(此时k0)和直线xn(此时k不存在),它们不是一次函数图象(3)一次函数的性质当k0时,y随x的增大而增大；当k0时,y随x的增大而减小直线ykxb与y轴的交点坐标为(0,b),与x轴的交点坐标为 (4)用函数观点看方程(组)与不等式任何一元一次方程都可以转化为axb0(a,b为常数,a0)的形式,所以解一元一次方程可以转化为：一次函数ykxb(k,b为常数,k0),当y0时,求相应的自变量的值,从图象上看,相当于已知直线ykxb,确定它与x轴交点的横坐标二元一次方程组 对应两个一次函

11、数,于是也对应两条直线,从“数”的角度看,解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数值相等,以及这两个函数值是何值；从“形”的角度看,解方程组相当于确定两条直线的交点的坐标任何一元一次不等式都可以转化axb0或axb0(a、b为常数,a0)的形式,解一元一次不等式可以看做：当一次函数值大于0或小于0时,求自变量相应的取值范围8反比例函数(1)反比例函数如果 (k是常数,k0),那么y叫做x的反比例函数(2)反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线(3)反比例函数的性质当k0时,图象的两个分支分别在第一、三象限内,在各自的象限内,y随x的增大而减小当k0时,图象的两个分支分别在第二、四象限内,在各

12、自的象限内,y随x的增大而增大(4)k的两种求法若点(x0,y0)在双曲线 上,则kx0y0k的几何意义：若双曲线 上任一点a(x,y),abx轴于b,则saob(5)正比例函数和反比例函数的交点问题若正比例函数yk1x(k10),反比例函数 ,则当k1k20时,两函数图象无交点；当k1k20时,两函数图象有两个交点,坐标分别为 由此可知,正反比例函数的图象若有交点,两交点一定关于原点对称1二次函数如果yax2bxc(a,b,c为常数,a0),那么y叫做x的二次函数几种特殊的二次函数：yax2(a0)；yax2c(ac0)；yax2bx(ab0)；ya(xh)2(a0)2二次函数的图象二次函数

13、yax2bxc的图象是对称轴平行于y轴的一条抛物线由yax2(a0)的图象,通过平移可得到ya(xh)2k(a0)的图象3二次函数的性质二次函数yax2bxc的性质对应在它的图象上,有如下性质：(1)抛物线yax2bxc的顶点是 ,对称轴是直线 ,顶点必在对称轴上；(2)若a0,抛物线yax2bxc的开口向上,因此,对于抛物线上的任意一点(x,y),当x 时,y随x的增大而减小；当x 时,y随x的增大而增大；当x ,y有最小值 ；若a0,抛物线yax2bxc的开口向下,因此,对于抛物线上的任意一点(x,y),当x ,y随x的增大而增大；当 时,y随x的增大而减小；当x 时,y有最大值 ；(3)

14、抛物线yax2bxc与y轴的交点为(0,c)；(4)在二次函数yax2bxc中,令y0可得到抛物线yax2bxc与x轴交点的情况：当?b24ac0,抛物线yax2bxc与x轴有两个不同的公共点,它们的坐标分别是 和 ,这两点的距离为 ；当?0时,抛物线yax2bxc与x轴只有一个公共点,即为此抛物线的顶点 ；当?0时,抛物线yax2bxc与x轴没有公共点4抛物线的平移抛物线ya(xh)2k与yax2形状相同,位置不同把抛物线yax2向上(下)、向左(右)平移,可以得到抛物线ya(xh)2k平移的方向、距离要根据h、k的值来决定1常量和变量在某变化过程中可以取不同数值的量,叫做变量在某变化过程中

15、保持同一数值的量或数,叫常量或常数2函数设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x在某一范围的每一个值,y都有唯一的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数3自变量的取值范围(1)整式：自变量取一切实数(2)分式：分母不为零(3)偶次方根：被开方数为非负数(4)零指数与负整数指数幂：底数不为零4函数值对于自变量在取值范围内的一个确定的值,如当xa时,函数有唯一确定的对应值,这个对应值,叫做xa时的函数值5函数的表示法(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法6函数的图象把自变量x的一个值和函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标,可以在平面直角坐标系内描出一个点,所有这些点的集合,叫做这

16、个函数的图象由函数解析式画函数图象的步骤：(1)写出函数解析式及自变量的取值范围；(2)列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；(3)描点：以表中对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点；(4)连线：用平滑曲线,按照自变量由小到大的顺序,把所描各点连接起来7一次函数(1)一次函数如果ykxb(k、b是常数,k0),那么y叫做x的一次函数特别地,当b0时,一次函数ykxb成为ykx(k是常数,k0),这时,y叫做x的正比例函数(2)一次函数的图象一次函数ykxb的图象是一条经过(0,b)点和 点的直线特别地,正比例函数图象是一条经过原点的直线需要说明的是,在平面直角坐标系中,“直线”并不等价于“一

17、次函数ykxb(k0)的图象”,因为还有直线ym(此时k0)和直线xn(此时k不存在),它们不是一次函数图象(3)一次函数的性质当k0时,y随x的增大而增大；当k0时,y随x的增大而减小直线ykxb与y轴的交点坐标为(0,b),与x轴的交点坐标为 (4)用函数观点看方程(组)与不等式任何一元一次方程都可以转化为axb0(a,b为常数,a0)的形式,所以解一元一次方程可以转化为：一次函数ykxb(k,b为常数,k0),当y0时,求相应的自变量的值,从图象上看,相当于已知直线ykxb,确定它与x轴交点的横坐标二元一次方程组 对应两个一次函数,于是也对应两条直线,从“数”的角度看,解方程组相当于考虑

18、自变量为何值时两个函数值相等,以及这两个函数值是何值；从“形”的角度看,解方程组相当于确定两条直线的交点的坐标任何一元一次不等式都可以转化axb0或axb0(a、b为常数,a0)的形式,解一元一次不等式可以看做：当一次函数值大于0或小于0时,求自变量相应的取值范围8反比例函数(1)反比例函数如果 (k是常数,k0),那么y叫做x的反比例函数(2)反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线(3)反比例函数的性质当k0时,图象的两个分支分别在第一、三象限内,在各自的象限内,y随x的增大而减小当k0时,图象的两个分支分别在第二、四象限内,在各自的象限内,y随x的增大而增大(4)k的两种求法若点(x0,

19、y0)在双曲线 上,则kx0y0k的几何意义：若双曲线 上任一点a(x,y),abx轴于b,则saob(5)正比例函数和反比例函数的交点问题若正比例函数yk1x(k10),反比例函数 ,则当k1k20时,两函数图象无交点；当k1k20时,两函数图象有两个交点,坐标分别为 由此可知,正反比例函数的图象若有交点,两交点一定关于原点对称1二次函数如果yax2bxc(a,b,c为常数,a0),那么y叫做x的二次函数几种特殊的二次函数：yax2(a0)；yax2c(ac0)；yax2bx(ab0)；ya(xh)2(a0)2二次函数的图象二次函数yax2bxc的图象是对称轴平行于y轴的一条抛物线由yax2

20、(a0)的图象,通过平移可得到ya(xh)2k(a0)的图象3二次函数的性质二次函数yax2bxc的性质对应在它的图象上,有如下性质：(1)抛物线yax2bxc的顶点是 ,对称轴是直线 ,顶点必在对称轴上；(2)若a0,抛物线yax2bxc的开口向上,因此,对于抛物线上的任意一点(x,y),当x 时,y随x的增大而减小；当x 时,y随x的增大而增大；当x ,y有最小值 ；若a0,抛物线yax2bxc的开口向下,因此,对于抛物线上的任意一点(x,y),当x ,y随x的增大而增大；当 时,y随x的增大而减小；当x 时,y有最大值 ；(3)抛物线yax2bxc与y轴的交点为(0,c)；(4)在二次函

21、数yax2bxc中,令y0可得到抛物线yax2bxc与x轴交点的情况：当?b24ac0,抛物线yax2bxc与x轴有两个不同的公共点,它们的坐标分别是 和 ,这两点的距离为 ；当?0时,抛物线yax2bxc与x轴只有一个公共点,即为此抛物线的顶点 ；当?0时,抛物线yax2bxc与x轴没有公共点4抛物线的平移抛物线ya(xh)2k与yax2形状相同,位置不同把抛物线yax2向上(下)、向左(右)平移,可以得到抛物线ya(xh)2k平移的方向、距离要根据h、k的值来决定【篇二：函数知识点归纳】文章来 源课件 w w课件 w w上一篇教案： 下一篇教案：【篇三：函数知识点归纳】高一数学函数知识点一

22、 (一)、映射、函数、反函数1、对应、映射、函数三个概念既有共性又有区别，映射是一种特殊的对应，而函数又是一种特殊的映射.2、对于函数的概念，应注意如下几点：(1)掌握构成函数的三要素，会判断两个函数是否为同一函数.(2)掌握三种表示法 列表法、解析法、图象法，能根实际问题寻求变量间的函数关系式，特别是会求分段函数的解析式.(3)如果y=f(u)，u=g(x)，那么y=fg(x)叫做f和g的复合函数，其中g(x)为内函数，f(u)为外函数.3、求函数y=f(x)的反函数的一般步骤：(1)确定原函数的值域，也就是反函数的定义域;(2)由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y);(3)将x，y对换

23、，得反函数的习惯表达式y=f-1(x)，并注明定义域.注意：对于分段函数的反函数，先分别求出在各段上的反函数，然后再合并到一起.熟悉的应用，求f-1(x0)的值，合理利用这个结论，可以避免求反函数的过程，从而简化运算.(二)、函数的解析式与定义域1、函数及其定义域是不可分割的整体，没有定义域的函数是不存在的，因此，要正确地写出函数的解析式，必须是在求出变量间的对应法则的同时，求出函数的定义域.求函数的定义域一般有三种类型：(1)有时一个函数来自于一个实际问题，这时自变量x有实际意义，求定义域要结合实际意义考虑;(2)已知一个函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可.如：分式的分母不得为零

24、;偶次方根的被开方数不小于零;对数函数的真数必须大于零;指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;三角函数中的正切函数y=tanx(x r，且k z)，余切函数y=cotx(x r，x k ，k z)等.应注意，一个函数的解析式由几部分组成时，定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部分(即交集).(3)已知一个函数的定义域，求另一个函数的定义域，主要考虑定义域的深刻含义即可.已知f(x)的定义域是a，b，求fg(x)的定义域是指满足a g(x) b的x的取值范围，而已知fg(x)的定义域a，b指的是x a，b，此时f(x)的定义域，即g(x)的值域.2、求函数的解析式一般有四种情况(1)根

25、据某实际问题需建立一种函数关系时，必须引入合适的变量，根据数学的有关知识寻求函数的解析式.(2)有时题设给出函数特征，求函数的解析式，可采用待定系数法.比如函数是一次函数，可设f(x)=ax+b(a 0)，其中a，b为待定系数，根据题设条件，列出方程组，求出a，b即可.(3)若题设给出复合函数fg(x)的表达式时，可用换元法求函数f(x)的表达式，这时必须求出g(x)的值域，这相当于求函数的定义域.(4)若已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其他未知量(如f(-x)，等)，必须根据已知等式，再构造其他等式组成方程组，利用解方程组法求出f(x)的表达式.(三)、函数的值

26、域与最值1、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域，求函数值域常用方法如下：(1)直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域.(2)换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元.(3)反函数法：利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如(a 0)的函数值域可采用此法求得.(4)配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问

27、题可考虑用配方法.(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b a，b (0，+ )可以求某些函数的值域，不过应注意条件 一正二定三相等 有时需用到平方等技巧.(6)判别式法：把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程，利用 0 求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式.(7)利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性，可采用单调性法求出函数的值域.(8)数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域.2、求函数的最值与值域的区别和联系求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的，事实

28、上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同，因而答题的方式就有所相异.数无最大值和最小值，只有在改变函数定义域后，如x 0时，函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响.3、函数的最值在实际问题中的应用函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上，从文字表述上常常表现为 工程造价最低 ， 利润最大 或 面积(体积)最大(最小) 等诸多现实问题上，求解时要特别关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最值.(四)、函数的奇偶性1、函数的奇偶性的定义：对于函数f(x)，如果对于函数定义域内的任

29、意一个x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数(或偶函数).正确理解奇函数和偶函数的定义，要注意两点：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.(奇偶性是函数定义域上的整体性质).2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。为了便于判断函数的奇偶性，有时需要将函数化简或应用定义的等价形式：注意如下结论的运用：(1)不论f(x)是奇函数还是偶函数，f(|x|)总是偶函数;(2)f(x)、g(x)分别是定义域d1、d2上的奇函数，那么在d1 d2上，f(x)+g(x)是奇函数，f(x) g(x)是偶函数，类似地有 奇 奇=奇 奇 奇=偶 ， 偶 偶=偶 偶 偶=偶 奇 偶=奇(3)奇偶函数的复合函数的奇偶性通常是偶函数;(4)奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数。3、有关奇偶性的几个性质及结论(1)一个函数为奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数为偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称.(2)如要函数的定义域关于