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1、如何让机器人在端送东西时保持平稳咖啡杯倾斜角度标定与机器人节奏控制摘要机器人在端送咖啡时，由于受环境因素以及端送节奏的影响会致使咖啡杯产生随机震动，导致咖啡杯内的咖啡洒落，此时机器人必须重新调整端送姿势与节奏杜绝咖啡的外洒。本文针对如何让机器人在端送咖啡的整个过程中以平稳的节奏行走以及在咖啡杯发生震动的情况下如何及时调整机器人两个问题建立相应的数学模型。首先我们从机器人的四个轮子入手，采用四脚板凳模型1，根据函数g()是的非负连续函数，02且满足： ，g()=0 ； 对任意0.2，=0 ； ，g(/2)= 。则必定存在一点，0/2使h()=0 即研究如何让四轮机器人在高度连续变化的地面始终保持

2、四轮着地的稳定状态行走。其次从简单的圆柱状杯子和杯托入手，研究机器人在变速运动以及传送过程产生的随机振动对咖啡杯内咖啡液面的影响。在无变位、纵向变位的情况下分别建立空间直角坐标系，在忽略咖啡杯厚度以及系统不发生剧烈振动的情况下，根据共振原理，当液体振动频率=固有频率时，此时咖啡液面的振幅最大，运用结构力特性试验2和积分的方法求出盛放咖啡的量和测量咖啡最高液面高度的关系将计算结果与实际测量数据在同一个坐标系中作图，计算并分析所产生的误差。纵向变位中，分变速、匀速两种情况进行求解，然后将两段结果综合在一起与变位前作比较，可以得到变位对咖啡液面的影响。通过计算以及几何关系，具体列表给出了机器人变位后

3、杯口高于液面最小值为0关键词：板凳稳定性模型、 四轮共同着地、 积分、 液体振动频率与固有频率、 液面与杯口距离关系 、结构力特性试验 一、问题重述当我们想喝咖啡时，时常困惑于洒落杯外的咖啡。有的时候，当一些同事能端着咖啡冲出办公室时，你却要为了杯中的咖啡不洒出而保持一定的姿势与节奏。请用数学建模的方法找出控制咖啡洒出的方法。假设现在有一个端着咖啡迅速行走的机器人。在考虑到随机振动的情况下制定一个控制机器人节奏防止咖啡溢出的方案。二、问题分析本题是防止杯内液体受随机振动而溢出的问题，就是要做到端送者在端送过程中保持稳定，以及针对在加速、匀速、减速过程中出现振动做出的合理调整。针对使机器人如何保

4、持运送过程的稳定性,根据四脚板凳模型我们可以做到让机器人运送咖啡的整个过程中保持四个轮子同时着地的稳定传送状态针对如何杜绝咖啡杯内的咖啡洒出杯外，我们以机器人为系统，并且深入探讨咖啡在被端送的过程中所受振动频率与固有频率之间的关系，探讨出来咖啡最大振幅小于等于杯口高度的情况，使得咖啡失去溢出杯外的可能性。三、模型假设（1）机器人轮子一样大，轮子与地面的接触为一个点，四只接触点的连线呈正方形（对机器人假设）（2）地面高度是连续随机变化的，即可视为数学上的连续曲面（对地面的假设）（3）办公区的地面时相对平坦的，机器人在任何时候都能三个轮子同时着地四、符号说明 ：机器人旋转角度g()：表示轮子A、C

5、到地面距离之和f() : 表示B、D两轮子到地面距离之和 : 机器人四轮同时着地的等价点w :咖啡波纹的频率五、模型的建立与求解5.1机器人四轮着地首先通过变量表示机器人的位置，由于四个轮子的连线呈正方形，以中心点为对称点，由于地面高度是随机变化的，则正方形绕中心的旋转正好代表了机器人位置的变化，于是可以用旋转角度这一变量来表示机器人的位置（图1）图1 机器人四轮旋转示意图其次，要把轮子用数学符号表达出来，如果用某个变量表示机器人轮子与地面的竖直距离，当这个距离为0时，表示轮子着地，机器人要挪动位置则说明这个距离是位置变量的函数，由于正方形的中心对称性，只要设两个函数就行了，设g()表示轮子A

6、、C到地面距离之和；表示B、D两轮子到地面距离之和。由假设（2），函数g()是的非负连续函数，02;由假设（3），对任意0.2，=0，不妨设， ，g()=0当机器人转动/2时，则AC与BD互换位置，由假设（1）， ，g(/2)=机器人四轮同时着地等价于存在一点，g(0)=0，。令 h()=，且在0./2上连续且 h()=，h()=由闭区间上连续函数的介质定理可知，必定存在一点，0/2使h()=0 即，因为 至少有一个为0，所以 =0综上可以类推出机器人在运送咖啡的过程中保持四轮都着地的稳定状态。5.2应对随机振动造成咖啡溢出5.2.1首先我们从机器人的一些典型结构出发，5.2.1.1运动部分的

7、轮子采用上图所示轮子，设置万向轮轴，这样可以最大化提高轮子的能动性、灵活性，图5。万向轮轴，提高了机器人的能动性图2.万向轮 5.2.1.2机器人的运动部分和杯托部分之间采用如图所示的缓冲装置，降低以机器人为系统的振动，从而降低咖啡洒出来的风险，图6。缓冲带的设置有效控制了以机器人为系统的振动图3.缓冲带 5.2.1.3实验表明,当系统受迫振动时，如果驱动力的平率十分接近系统的固有频率，系统的振幅会最大，图7。如果驱动力的频率可以调节，把振幅相同但频率不同的驱动力先后作用与同一个振动系统，其受迫振动的振幅将不同。图7曲线表示振动系统受迫振动的振幅A随驱动力频率f的关系。可以看出：驱动力频率f等

8、于系统的固有频率f。时，受迫振动的振幅最大。图4.共振曲线 5.2.2综上各组数据，我们可以看出固有频率对咖啡是否会溢出起到了至关重要的作用，以下便应用建筑结构动力特性来反映结构本身所固有的动力性能来求取结构的自振、频率、阻尼系数和振型等一些基本参数。5.2.2.1人工激振法测量结构动力特性 5.2.2.1.1结构自振频率测量 (1)自由振动法 在试验中采用初位移或初速度的突卸或突加荷载的方法，使结构受一冲击荷载作用而产生有阻尼的自由振动。通过测量仪器的记录，可以得到结构的有阻尼自由振动曲线(图1851)。根据记录纸带速度或时间坐标，量取振动波形的周期，由此求得结构的自振频率f=1/T。为精确

9、起见，可多取几个波形，以求得其平均值。 (2)强迫振动法 强迫振动法也称共振法。采用偏心激振器对结构施加周期性的简谐振动，在模型试验时可采用电磁激振器激振，使结构和模型产生强迫振动。， 利用激振器可以连续改变激振频率的特点，当干扰力的频率与结构自振频率相等时，结构产生共振，振幅出现极大值，这时激振器的频率即是结构的自振频率。对于多自由度体系结构具有连续分布的质量系统，当激振器连续改变激振频率，由共振曲线(图6)的振幅最大值(峰点)对应的频率，即可相应得到结构的第一频率(基频)和其他高阶频率。 5.2.2.1.2结构阻尼的测量 (1)自由振动法 上式中n为衰减系数。所以，结构的阻尼系数 5.2.

10、2.1.3结构振型测量 结构振动时，结构上各点的位移、速度和加速度都是时间和空间的函数。结构在某一固有频率振动时，将各点位移连接起来形成一定形式的曲线，就是结构在对应某一固有频率下的一个不变的振动型式，称为对应该频率时的结构振型。 为了实测结构的振型曲线，当结构在按某一阶固有频率振动时需要沿结构高度或跨度方向连续布置水平或垂直方向的测振传感器，一般至少要布置五个测点。对于整体结构试验时经常是在各层楼面及屋面上布置测点。对于高层建筑和高耸构筑物，测点的数量只要满足能获得完整的振型曲线即可。 试验时各测点仪器必须要严格同步。在量取各点位移值时必须注意振动曲线的相位，以确定位移值的正负。 对于采用自

11、由振动法时，则多数用初位移或初速度法在结构可能产生最大位移值的位置进行激振，随后在自由振动状态下测取结构振型，一般情况下自由振动法只能测得结构的基频与第一主振型。 图10所示为上海五层砌块房屋整体结构动力特性试验中，采用反冲激振器激振，由布置在屋面和各层楼面的磁电式测振传感器经放大器后将信号输入光线振子示波器记录所得的相应于基本频率时的主振型曲线。振型曲线是倒三角形分布，以剪切型为主。 采用强迫振动法激振时，是将机械式偏心激振器安装于结构顶层，连续进行频率扫描，通过共振可以测得结构的几阶固有频率和相应的振型。石家庄KQ79型框架轻板建筑三层空框架整体试验中，利用两台同步偏心激振器安 装于结构屋

12、面的V1，V2位置(图11)进行同步激振。根据布置在各层及屋面的测振  传感器Xl，X2和X3的记录，可以测得结构的一二阶固有频率和振型。在第二振型图上由于一二层楼面的位移与屋面位移在相位上正好相差180，所以在振型图上测点2、3之间出现了位移为“零”的不动点。5.2.2.2环境随机振动法测量结构动力特性人们在试验观测中发现，建筑结构由于受外界的干扰而经常处于微小而不规则的振动之中，其振幅一般在10微米以下(001mm)称之为脉动。建筑物的脉动与地面脉动、风或气压变化有关，特别是受城市车辆、机器设备等所产生的扰动和附近地壳内部小的破裂以及远处地震传来的影响尤为显著，其脉动周期为010

13、8秒，由于在任何时候都存在着环境随机振动，从而引起建筑物的响应。建筑物的脉动源都是不规则的随机变量，在随机理论中这种无法用确定的时间函数描述的变量称为随机过程，因此建筑物的脉动也必定是一个随机过程。由于地面脉动所包含的频谱是相当丰富的，这样，建筑物的脉动就有一个重要的特性，即是它能明显地反映出建筑物的固有频率和自振特性。采用环境随机振动激振测定结构动力特性的最大优点是不再需要用人工激振，因此就特别适用于量测整体结构的动力特性。但必须对量测的随机信号进行数据处理，通过频谱分析才能得到高阶振型的自振周期。随着计算机技术的发展和快速富里哀变换方法(FFT)的出现，专用计算机和频谱分析仪为数据的快速处

14、理提供了分析手段。5.2.2.2.3模态分析法，建筑物的脉动是由随机的地面脉动源所引起的响应，它也是一种随机过程。随机振动是一个复杂的过程，每重复一次所取得的每一个样本都是不同的，如果单个样本在全部时间上所求得的统计特性与在同一时刻对振动历程的全体所求得的统计特性相等，则称这种随机过程为各态历经的。另外由于建筑物脉动的主要特征与时间的起点选择关系不大，它在时刻t1到t2这一段随机振动的统计信息与t1+，到t2+这一段的统计信息是相关的，并且差别不大，即具有相同的统计特性，因此，建筑物脉动又是种平稳随机过程。实践证明，对于这样一种各态历经的平稳随机过程，只要我们有足够长的记录时间，就可以用单个样

15、本函数来描述随机过程的所有特性。与一般振动问题相类似，随机振动问题也是讨论系统的输入(激励)、输出(响应)以及系统的动态特性三者之间的关系。假设x(t)是脉动源为输入的振动过程，结构本身称之为系统，当脉动源作用于系统后，结构在外界激励下就产生响应，即是建筑物脉动反应y(t)，称为输出的振动过程，这时系统的响应输出必然反应了结构的动力特性。图12说明了输入、系统与输出三者的关系。由以上关系可知，当已知输入输出时，即可得到传递函数。 在测试工作中通过测振传感器测量地面自由场的脉动源x(t)和结构反应的脉动信号y(t)的记录，将这符合平稳随机过程的样本由专用信号处理机(频谱分析仪)通过使用具有传递函

16、数等的功率谱程序进行计算处理，得到结构的动力特性一频率、振幅、相位等，运算结果可以在处理机上直接显示，也可用xy记录仪将结果绘制出来。图13是利用专用计算机把时程曲线经过富里哀变换，由数据处理结果得到的频谱图。从频谱曲线上用峰值法很容易定出各阶频率，结构固有频率处必然出现突出的峰值，一般基频处非常突出，而在第二第三频率处也有相应明显的峰值。5.2.2.2.5主谐量法： 从频谱分析法人们可以利用功率谱得到建筑物的白振频率。如果输入功率谱是已知的话，除了可以得到基频外，还可以得到高阶频率、振型和阻尼，但用上述方法研究建筑动力特性参数须要专门的频谱分析设备及专用程序。在实践中人们从记录得到的脉动信号

17、图中有时可以明显地发现它反映出结构的某种频率特性。由环境随机振动法的基本原理可知，既然建筑物的基频谐量是脉动信号中最主要的成分，那么在记录里就应有所反映。事实上在脉动记录里有多次出现酷似“拍”的现象，波形光滑，振幅最大，周期相同，这一周期往往即是建筑物的基本周期。见图14。在结构脉动记录中出现这种现象是不难理解的，因为地面脉动是一种随机 现象，它的频率是多种多样的。当这些信号输入到具有滤波器作用的结构时，由于结构本身的动力特性，使得远离结构自振频率的信号被抑制，而与结构自振频率接近的信号则被放大，而这些被放大的信号恰恰为我们揭示结构动力特性提供了线索。 很明显在“拍”上的周期是脉动记录里出现次

18、数最多的一个周期，所以功率谱上在这一周期附近或就对应于这一周期一定有峰值，而在频谱曲线上这一周期一定对应有最大的峰值。既然如此，就不再需要去求功率谱或频谱曲线了，而可以直接从记录图上量出建筑物的基本周期。在出现“拍”的瞬时，可以理解为在此刻建筑物的基频谐量处于最大，其他谐量处于最小，因此表现有建筑物基本振型的性质。利用脉动记录读出该时刻同一瞬间各点的振幅，即可以确定建筑物的基本振型。 对于一般建筑物用环境随机振动法确定基频与主振型比较方便，但有时还能测出第二频率及相应振型，然而高阶振动的脉动信号在记录曲线中出现的机会很少，振幅也小，这样测得的结构动力特性误差较大。另外这种主谐量法无法确定结构的

19、阻尼特性。5.2.3根据结构动力特性试验我们可以大致推算出杯子内咖啡的固有频率5.2.3.1当咖啡杯受到振动时，咖啡杯重心发生偏转出现图15的情况 图15.咖啡杯发生倾斜 此时杯托出现图16的情况 yNx2 1图16.杯托在倾斜时的集合模型则液面会出现图17、图18的震荡情况图17 图185.2.3.2运动模型和杯托模型均设计为双平面模型。运动模型如图一所示，我们将轮子固定在平面2，且使轮子的运动不要影响到下面的平面1，杯托模型如图二所示，我们假设机器人将杯子拿起后杯子与平面2是一体的，而且平面2的活动不影响平面1，即固定平面1和平面1，始终保持平面1和平面1平行。5.2.3.3当运动部分发生

20、振动的时候，需要其向杯托部分传递两个参数，第一是垂直于平面1中点的线段和垂直于平面2中点的线段之间的夹角，第二是垂直于平面2中点的线段顶点N在地面的平面1坐标系中的坐标（x1,y1）。5.2.3.4假设ON的长度为L1，ON的距离为L2，现通过一定手段将ON做出调整，使得N在平面1中的射影的坐标为（x2，y2），（x1,y1）,(x2,y2)满足：（-x1）/ x2=L1/L2（-y1）/ y2=L1/L2下面我会利用最简单的相似三角形原理去证明，只要杯托调整到了N在平面1中的射影的坐标为（x2，y2）,那么O N与中轴线（平面1和平面1平行）也为。证明：图17我们假设两个坐标系的前进方向均为

21、X轴方向，且平面1和平面1平行，顾两个坐标系是平行的，又因为取（-x1）/ x2=L1/L2，（-y1）/ y2=L1/L2，所以可以先找（x1,y1）关于原点的对称点（-x1,-y1），然后将两个坐标系置于同一个平面内，可得图三。所以只要（-x1）/ x2=L1/L2，（-y1）/ y2=L1/L2,OMN和OMN就相似，所以那么O N与中轴线（平面1和平面1平行）也为5.3 机器人在端送咖啡时，由于震动，导致咖啡杯内的咖啡洒落我们从机器人的四个轮子入手，采用四脚板凳模型，根据函数g()是的非负连续函数，02且满足： ，g()=0 ； 对任意0.2，=0 ； ，g(/2)= 。则必定存在一点

22、，0/2使h()=0 即研究如何让四轮机器人在高度连续变化的地面始终保持四轮着地的稳定状态行走。其次从简单的圆柱状杯子和杯托入手，研究机器人在变速运动以及传送过程产生的随机振动对咖啡杯内咖啡液面的影响。在无变位、纵向变位的情况下分别建立空间直角坐标系，在忽略咖啡杯厚度等细微影响下，运用积分的方法求出盛放咖啡的量和测量咖啡最高液面高度的关系，将计算结果与实际测量数据在同一个坐标系中作图，计算并分析所产生的误差。纵向变位中，分变速、匀速两种情况进行求解，然后将两段结果综合在一起与变位前作比较，可以得到变位对咖啡液面的影响。通过计算以及几何关系，具体列表给出了机器人变位后杯口高于液面最小值为0注：为

23、了能用数学语言描述，我们对机器人与地面接触的四个轮子和地面作一些必要的假设。（1） 机器人的四只脚一样长，末端为万向滑轮，轮子与地面的接触部分视为点，即图中的A,B,C,D。四只脚的连线为正方形。O点为正方形的对角线的交点。（2）地面高度是随机变化的，但是变化视为连续的，由于场景设置在办公室，所以我们假设随机振动的振幅不会超过0.5mm，且振幅越大概率越低。利用如下程序给出振幅a：（C+）#include #include main() Int a; srand(time(NULL); a=srand()%10*0.5 a的单位为毫米（mm），承认a=0情况的存在，四个点的振幅无关联且均为随机

24、的。（3） 假设地面比较平坦，四只脚中的三只总是可以同时着地。因为问题讨论设置在办公室中，所以在上述三个假设下讨论问题显然是合理的。图18H0 图19因为调整杯子需要一定的时间，用时越短，杯子里的咖啡酒越安全。杯子里的咖啡页面高度与杯子高度的差也是一个重要的参数，因为如果杯子里的咖啡高度很低的话，即H0很大的话，我们调整杯子的时间就更加充裕。限于现在所学知识的局限性和片面性，我们难以去探寻二者的关系，但是我们可以用逻辑推理去证明二者绝对有关系。因为无法去研究这种关系，所以我们采用分部去考虑的办法，即先考虑H0的关系，再去考虑调整时间的关系，然后综合讨论。 图205.3.1 H0：显而易见的是，

25、杯子里的咖啡越少，就越难洒出来，即咖啡越少，让其洒出来就需要倾斜更大的角度，我们以圆柱形杯子为例，设杯子地面直径为R，杯子高度为H，液面差为H0。作如图的处理，可以认为，只有当杯子倾斜超过时候，才会造成咖啡洒出来（无振动时）。=arctan H0/R 图215.3.2 振动方式：不同的振动方式对于咖啡是否会洒出来的风险影响是不一样的，我们可以对于不同的振动方式采取加权的方式来评估，权值即为风险指数，我们认为当风险很大的时候咖啡一定会洒出来，比如上下振动，左右振动，振幅的不同，频率的不同都会对应不同的权值，当风险很小的时候，我们可以认为无论如何咖啡都是不会洒出来的，对于振动方式的分类限于目前的知

26、识很难达到，但是我相信通过努力一定是可实现的。 图225.3.3 讨论对象：由上图易知，相比于水面之下的咖啡液滴（体积微元），水面上的咖啡液滴更加安全，因为粘着力只是把它向下“固定”，并没有把它排斥出去，所以我们可以认为，如果水面上的液滴没有洒出去的危险，那么水面之下的液滴也是非常安全的。那么我们就可以把研究对象仅限于水面上的液滴，这样可以大规模减少计算和分析，为我们解决问题提供更大的可能。5.3.4 讨论方法：我们可以假设水滴悬浮在液面上，只受重力，由上图可知假设合理，我们可以将这样的水滴类比为吸附在竖直玻璃上的水滴，水平方向不受力，之所以水珠在竖直的玻璃板呈珠状，是由于其表面张力所致，而水

27、珠在玻璃板上不掉落是由于水与玻璃是不完全浸润的（浸润的概念在中学物力课本上有），因此水珠可以在玻璃板上吸附并克服其本身所受重力，进而保持静止。分析一个物体在某个方向是否受力，最简单的办法就是看其在这个方向是否有运动的趋势（加速度）。显然竖直玻璃板上的水珠在水平方向没有运动趋势，因此，自然也就不受力了。这个模型就像是吸附在铁板上的小磁铁，可知液滴本身就有一种安全的“欲望”即不洒出去的趋势，所以如果我们可以利用这种趋势，将会更好的避免水滴洒出去。图235.3.5 对于系统加速和减速状态下的几点看法：杂技演员表演的“水流星”。一根细长绳的一端，系着一个盛了水的容器。以绳的另一端为圆心，使容器在竖直平

28、面内做半径为R的圆周运动。N为圆周的最高点，M为圆周 的最低点。若速度达到一定要求的话，那么容器中的水是不会洒出来的，即使杯口朝下也是安全的。可见如果整个系统具有加速度，那么若将杯子的角度做出正确的调整，那么将可以利用加速度本身来使咖啡不至于洒出去，这虽然与所举出的水流星的例子不完全相同，但是却异曲同工。六、模型的评价与推广6.1模型的评价6.1.1模型的优点 1）以机器人为系统，从保持系统稳定性到杯内咖啡的振动情况分析，条理清晰，分析严谨。 2）借鉴经典模型，确保解决方案的准确性、可行性；借鉴的同时，我们也加以创新重组，取其精华，做到与我们模型的完美结合。6.1.2模型的缺点 1）我们假设机

29、器人有四个轮子，因此只能在相对平缓的办公区运行，缺少在遇到台阶等环境因素的考虑。 2）由于是大一新生第一次参加数学建模，缺乏丰富的理论知识致使我们创新与亮点的缺少。6.2模型的推广本模型虽解决的是如何让咖啡杯内的液体在运输途中不外洒的问题，但可以推广到各种罐状容器在运送途中如何做到内装的液体不外洒，用类似方法建模求解，解决该问题时，我们计算的是如何让系统保持稳定状态以及如何协调振动频率与固有频率之间的关系。本文所建立的模型可推广到其他各种情形。建议根据结果将各种立式罐内液体固有频率列成表格，以后只要测出溶液的必要参数及盛装的容器，即可根据相应表格快速计算出如何在快速运输的途中杜绝液体的外洒。 七、参考文献1. 林军 陈翰林 数学建模教程 科学出版社 第一章 第四页2. 中国建筑文摘 结构动力特性试验3. 苏金明，王永利，MATLAB7.0使用指南，北京：电子工业出版社，2004