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1、随机过程题库随机过程综合练习题一、填空题(每空 3 分)第一章1 X1,X2, X n是独立同分布的随机变量， Xi 的特征函数为 g(t)，则X1 X2 Xn 的特征函数是 。2 E E(X Y) 。3 X 的特征函数为 g(t)，Y aX b，则 Y的特征函数为 。4条件期望 E(X Y)是 的函数， (是 or不是)随机变量。5 X1,X2, X n是独立同分布的随机变量， Xi 的特征函数为 gi(t)，则X1 X 2 X n 的特征函数是 。6n 维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性 。第二章7宽平稳过程是指协方差函数只与 有关。8在独立重复试验中， 若每次试验时事件 A 发生的

2、概率为 p(0 p 1)，以 X(n)记进行 到 n次试验为止 A 发生的次数， 则X(n),n 0,1,2, 是 过程。 9正交增量过程满足的条件是 。10正交增量过程的协方差函数 C X (s,t) 。第三章11 X(t), t 0为具有参数 0 的齐次泊松过程，其均值函数为 ；方差函数为 。12设到达某路口的绿、黑、灰色的汽车的到达率分别为 1， 2 ， 3且均为泊松过程，它们相互独立，若把这些汽车合并成单个输出过程 (假定无长度、无延时 )，相邻绿色汽车之间的不同到达时间间隔的概率密度是 ，汽车之间的不同到达时刻间隔的 概率密度是 。n 0,1,P X(t s) X(s) n14设 X

3、(t), t 0 是具有参数 0的泊松过程，泊松过程第 n 次到达时间 W n的数学期望15在保险的索赔模型中，设索赔要求以平均 2 次 /月的速率的泊松过程到达保险公司若每次赔付金额是 均值为 10000 元的正态分布，求一年中保险公司的平 均赔付 金 额。16到达某汽车总站的客车数是一泊松过程， 每辆客车内乘客数是一随机变量 设各客车内 乘客数独立同分布，且各辆车乘客数与车辆数 N(t) 相互独立，则在 0 ， t内到达汽车总站的乘客总数是 (复合 or 非齐次)泊松过程17设顾客以每分钟 2 人的速率到达，顾客流为泊松流，求在 2min 内到达的顾客不超过 3 人的概率是 第四章18 无

4、限制随机游动各状态的周期是 。19非周期正常返状态称为 。20设有独立重复试验序列 Xn,n 1。以 Xn 1记第 n次试验时事件 A发生，且nYn Xk,n 1，则 Yn,n 1是 链。k1答案一、填空题n4Y;是 5 gi(t) ； 6等价i17时间差； 8独立增量过程；9 E X(t2) X(t1) X(t4)X(t3)0210 X2 (min s,t)11 t; t ； 12f (t)1e 1t t0f (t) ( 1 23)e ( 1 2 3)t t 00t00 t 0182；19遍历状态； 20齐次马尔科夫链；二、判断题（每题 2 分）第一章1gi(t) (in1,2, n）是特征

5、函数， gi （t ）不是特征函数。 （i1）2n 维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性等价。 （ ）3任意随机变量均存在特征函数。 （ ）n4 gi（t） （i 1,2, n） 是特征函数， gi （t ）是特征函数。 （ ）i15设 X1,X 2,X 3,X 4 是零均值的四维高斯分布随机变量，则有E（X1X2X3X4） E（X1X2）E（X3X4）+E（X1X3）E（X2X4）+E（X1X4）E（X2X3） （ ）第二章6严平稳过程二阶矩不一定存在，因而不一定是宽平稳过程。 （ ）7独立增量过程是马尔科夫过程。 （ ）8维纳过程是平稳独立增量过程。 （ ）第三章9非齐次泊松过程是平稳

6、独立增量过程。 （ ）第四章10有限状态空间不可约马氏链的状态均常返。 （ ）11有限齐次马尔科夫链的所有非常返状态集不可能是闭集。 （ ）12有限马尔科夫链，若有状态 k 使 lim pi（kn） 0 ，则状态 k 即为正常返的。 （ ）n13设 i S ，若存在正整数 n，使得 pi（in） 0, pi（in 1） 0,则 i非周期。（ ）14有限状态空间马氏链必存在常返状态。 （ ）15i 是正常返周期的充要条件是 lim pi（in ）不存在。（ ）n16平稳分布唯一存在的充要条件是：只有一个基本正常返闭集。 （ ）17有限状态空间马氏链不一定存在常返状态。 （ ）18i 是正常返周期

7、的充要条件是 lim pi（in ）存在。（ ）n19若 i j，则有 di dj （20不可约马氏链或者全为常返态，或者全为非常返态答案、判断题123 4 5678 9101112 1314161718 1920三、 大题第一章1(10 分)(易)设出现正面和反面的概率相等，求 X (t )的一维分布函数 F(x,1/2)和F(x,1)， X(t)的二维分布函数 F(x1,x2;1/ 2,1)。3( 10分)(易)设有随机过程 X(t) A Bt,t 0，其中 A 与B 是相互独立的随机 变量，均服从标准正态分布，求 X(t) 的一维和二维分布。第二章4( 10分)(易)设随机过程 X(t)

8、=Vt+b ，t (0,+ ), b为常数， V 服从正态分布 N(0， 1)的随机变量，求 X(t) 的均值函数和相关函数。5( 10分)(易)已知随机过程 X(t)的均值函数 mx(t)和协方差函数 B x(t1, t2)，g(t)为普通 函数，令 Y(t)= X(t)+ g(t) ，求随机过程 Y(t)的均值函数和协方差函数。6(10 分)(中)设 X(t),t T 是实正交增量过程， T 0, ), X(0) 0, 是一服 从标准正态分布的随机变量，若对任一 t 0,X(t)都与 相互独立，求Y(t) X(t) , t 0, )的协方差函数。7( 10分)(中)设 Z(t) X Yt,

9、 t ，若已知二维随机变量 (X,Y)的协2 方差矩阵为 1 2 ，求 Z(t) 的协方差函数。28(10 分)(难)设有随机过程 X(t), t T和常数 a ，试以 X (t )的相关函数表示随机过程 Y（t） X（t a） X（t）,t T 的相关函数。第三章9（ 10 分）（易） 某商店每日 8 时开始营业， 从 8 时到 11 时平均顾客到达率线性增加 在 8 时顾客平均到达率为 5 人/时，11 时到达率达到最高峰 20 人/时，从 11 时到 13 时，平均顾 客到达率维持不变，为 20 人/时，从 13时到 17时，顾客到达率线性下降，到 17 时顾客到 达率为 12 人 /时

10、。假定在不相重叠的时间间隔内到达商店的顾客数是相互独立的，问在 8：30 9： 30 间无顾客到达商店的概率是多少在这段时间内到达商店的顾客数学期望是多少 ?10（ 15 分）（难）设到达某商店的顾客组成强度为 的泊松过程，每个顾客购买商品的概率为 p ，且与其它顾客是否购买商品无关，求（ 0， t）内无人购买商品的概率。11（15分）（难）设 X1（t） 和 X2 （t） 是分别具有参数 1和 2的相互独立的泊松过程，证 明： Y（t）是具有参数 1 2的泊松过程。12（10分）（中）设移民到某地区定居的户数是一泊松过程，平均每周有 2 户定居即2 。如果每户的人口数是随机变量，一户四人的概

11、率为 1/6，一户三人的概率为 1/3，一户两人的概率为 1/3，一户一人的概率为 1/6 ，并且每户的人口数是相互独立的，求在五周 内移民到该地区人口的数学期望与方差。k13（ 10分）（难）在时间 t内向电话总机呼叫 k 次的概率为 pt（k） e ,k 0,1,2, ，k!其中 0 为常数如果任意两相邻的时间间隔内的呼叫次数是相互独立的，求在时间 2t 内呼叫 n 次的概率 P2t （n）14（ 10 分）（易）设顾客到某商场的过程是泊松过程，巳知平均每小时有 30 人到达，求下列事件的概率：两个顾客相继到达的时间间隔超过 2 min15（15 分）（中）设进入中国上空流星的个数是一泊松

12、过程，平均每年为 10000个每个流星能以陨石落于地面的概率为 0.0001，求一个月内落于中国地面陨石数 W 的 EW、varW和 PW 2 16（ 10 分）（易）通过某十字路口的车流是一泊松过程设 1min 内没有车辆通过的概率为 0.2，求 2min 内有多于一辆车通过的概率。17（ 10 分）（易）设顾客到某商场的过程是泊松过程，巳知平均每小时有 30 人到达，求下列事件的概率：两个顾客相继到达的时间间隔短于 4 min18（15 分）（中）某刊物邮购部的顾客数是平均速率为 6 的泊松过程，订阅 1年、2 年或 3年的概率分别为 12、l3和 16，且相互独立设订一年时，可得 1元手

13、续费；订 两年时，可得 2 元手续费；订三年时，可得 3 元手续费 . 以 X（t）记在 0，t内得到的总手续 费，求 EX（t） 与 var X（t）19（10分）（易）设顾客到达商场的速率为 2个 min，求 （1） 在 5 min 内到达顾客数的平均值； （2） 在 5min 内到达顾客数的方差； （3） 在 5min 内至少有一个顾客到达的概率20（10 分）（中）设某设备的使用期限为 10年，在前 5年内平均 2.5 年需要维修一次，后 5 年平均 2 年需维修一次，求在使用期限内只维修过 1 次的概率21（15 分）（难）设 X（t）和 Y（t） （t 0）是强度分别为 X 和 Y

14、 的泊松过程，证明：在 X（t）的任意两个相邻事件之间的时间间隔内， Y（t） 恰好有 k 个事件发生的概率为kXYp X Y 。X Y X Y第四章22（ 10 分）（中）已知随机游动的转移概率矩阵为 求三步转移概率矩阵 P（3）及当初始分布为 时，经三步转移后处于状态 3 的概率。23（ 15 分）（难）将 2 个红球 4 个白球任意地分别放入甲、乙两个盒子中，每个盒子放3 个，现从每个盒子中各任取一球，交换后放回盒中 （ 甲盒内取出的球放入乙盒中，乙盒内取出的球放入甲盒中 ），以 X（n）表示经过 n 次交换后甲盒中红球数，则 X（n） ，n 0为齐次 马尔可夫链，求（ 1）一步转移概率

15、矩阵； （ 2 ）证明： X（n） ， n 0是遍历链； （3）求 lim Pij（n） , j 0,1,2 。n24（ 10 分）（中）已知本月销售状态的初始分布和转移概率矩阵如下： 求下一、二个月的销售状态分布。25（15 分）（难）设马尔可夫链的状态空间 I 1 ， 2， 7 ，转移概率矩阵为求状态的分类及各常返闭集的平稳分布。26（15分）（难）设河流每天的 BOD（生物耗氧量 ）浓度为齐次马尔可夫链， 状态空间 I=1 ， 2，3，4 是按 BOD 浓度为极低，低、中、高分别表示的，其一步转移概率矩阵 （以一天为单位）为若 BOD 浓度为高，则称河流处于污染状态。 （1）证明该链是遍

16、历链； （2） 求该链的平稳分布；（3）河流再次达到污染的平均时间 4 。27（10 分）（易）设马尔可夫链的状态空间 I0，1，2， 3 ，转移概率矩阵为求状态空间的分解。28（15 分）（难）设马尔可夫链的状态空间为 I1 ，2，3，4转移概率矩阵为讨论 lim pi（1n ）n29（ 10 分）（易）设马尔可夫链的转移概率矩阵为 求其平稳分布。30（ 15 分）（难）甲乙两人进行一种比赛，设每局比赛甲胜的概率是 p，乙胜的概率是q，和局的概率为 r，且 p+q+r=1 设每局比赛胜者记 1 分，负者记一 1分和局记零分。当 有一人获得 2分时比赛结束以 X n表示比赛至 n 局时甲获得的

17、分数，则 Xn,n 1是齐 次马尔可夫链（ 1）写出状态空间 I；（ 2）求出二步转移概率矩阵；（ 3） 求甲已获 1 分时，再赛两局可以结束比赛的概率31（ 10 分）（中） （天气预报问题 ） 设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的 天气无关又设今天下雨而明天也下雨的概率为 ，而今天无雨明天有雨的概率为 ，规 定有雨天气为状态 0 ，无雨天气为状态 l 。因此问题是两个状态的马尔可夫链设0.7, 0.4 ，求今天有雨且第四天仍有雨的概率32（10 分）（中）设 X n ,n1 是一个马尔可夫链，其状态空间I=a ，b，c ，转移概率矩阵为求（1） PX1b, X 2 c, X 3a,

18、X4 c, X5 a,X6 c, X7b| X0 c(2) PXn2 c| Xn b33（ 15 分）（难）设马尔可夫链X n ,n 0 的状态空间 I1 ，2， 6 ，转移概率矩阵为 试分解此马尔可夫链并求出各状态的周期。 答案三、 大题1 解：引入随机变量 X i 0 1 i 1,2 n qp4 分）nX Xi B(n,p) i1n it ( Xi )(t) EeitX Ee i 1EeitXiit n(peit q)n6 分）i1(0) iEX8 分）10 分）11) 当 t=1/2 时， X(1/2)的分布列为 P X( )20 P X(1) 12其分布函数为1F(2;x)0121同理

19、，当 t=1时 (1)的分布列为其分布函数为F(1; x)01213 分)X(1)P X(1) 2x22) 由于在不同时刻投币是相互独立的，故在故联合分布函数为01/ 45 分)t=1/2 ，t=1 时的联合分布列为1F(2,1; x1,x2)1/ 23解：对于任意固定的t T，x1x1x1or x1x10 or1 and1 andx21x21and 11and x21 x2 2x22X(t) 是正态随机变量，故所以 X(t )服从正态分布 N(0,1 t2)其次任意固定的 t1,t2 T, X (t1) A Bt1, X(t2) A Bt2则依 n 维正态随机向量的性质，X(t1), X(t

20、2 )服从二维正态分布，且10 分)3 分)DX(t1) 1 t12DX (t2)1 t228 分)所以二维分布是数学期望向量为0，0)，协方差为1 t121 t1t 2t1t22 的二维正态分布。t2210 分)4解： X(t)Vt b，V N(0,1)，故 X(t) 服从正态分布，均值函数为m(t) E X (t) b4 分)相关函数为 R(t1,t2) EX(t1)X(t1) EVt1 b Vt2 bE V 2t1t2 V (t1 t2)b b2 t1t2 b2 ( 10分)5 解： mY(t) EY(t) EX(t) g(t) mX (t) g(t)( 4 分) ( 10 分)6解：因

21、为 X(t),t T 是实正交增量过程，故 EX(t) 0服从标准正态分布， 所以 E 0, D 1 (2 分)EY (t ) EX(t) E 0 ( 4 分) 又因为 t 0, X (t)都与 相互独立7解：利用数学期望的性质可得，CZ (s,t) E (X Ys)( X Y s) ( X Yt) ( X Yt) ( 2 分)2E (X X )s(Y Y ) Est(Y Y )2 (8 分)2212 (s t ) st 22( 10 分)2X2 (min s,t) 1 ( 10 分)9 解：根据题意知顾客的到达率为则由题意知 i 独立同分布且与 X(t) 独立4 分)t)内购买商品的顾客数，

22、i 0 ( 10 分) (15 分) X 2 (t) n i ( 5 分)2(t ) X2(t) n i ( 10分) (15 分)12. 解：设 N (t)为在时间 0 ，t内的移民户数，其是强度为 2 的泊松过程， Yi 表示每户的N(t)人数，则在 0 ，t内的移民人数 X (t) Yi 是一个复合泊松过程。i12 分)Yi 是独立同分布的随机变量，其分布为1234152 43EYiEYi2i6i6mX(5) EN (5) EY12 5 15257 分)X (5) DN (5) EY1243 215256310 分)13解：以 A 记时间 2t内呼叫 n次的事件，记第一时间间隔内呼叫为

23、Hk，则 P(Hk) Pt(k)， 第二时间间隔内 P(A| Hk) Pt(n k)成立，于是nP2t(n) Pt(k)Pt (n k)k0n k n k ee k 0 k! (n k)!4 分)n!en! k 0 k! (n k)!e n k n! k 0 n8 分)(2 )n e 2n!10 分)14解：由题意，顾客到达数 N(t) 是强度为的泊松过程，则顾客到达的时间间隔 Xn,n 1服从参数为 的指数分布，fX (x)30e 30x0x0x04 分)P X30x2 30e 30x dx6010 分)15解：设 X(t)是 t年进入中国上空的流星数，X (t) 为参数 10000的齐次泊

24、松过程设Yi1, 第i 个流星落于地面0, 第 i个流星不落于地面1,2,0即 Yi 0.99990.0001由题意知， WX (t )Yi 是一个复合泊松过程 i15 分)W 是参数为 p1的泊松过程10 分)(1)01 12 e0!16解： 以 N(t)表示在 0,t) 内通过的车辆数，设112(112)11!1e 12 111e 12 1 e 12 12N(t),t 0 是泊松过程，则15 分)PN(t) k ( t)ke t k!0,1,2,2 分)P N(1) 0 e 0.2ln 55 分)24252 ln 52510 分)17解：由题意，顾客到达数 N(t) 是强度为的泊松过程，则

25、顾客到达的时间间隔 Xn,n 1服从参数为 的指数分布，fX (x) 30e00x0x010 分）Yi是每个顾客订阅年限的概率分布，且 Yi 独立同分布，5 分）4 60 30x 2PX 640 06030e30xdx 1 e 220解：因为维修次数与使用时间有关，所以该过程是非齐次泊松过程，强度函数而 X （ t）的不同到达时刻的概率密度函数为4 分）0others由于 X（ t）是泊松过程，故 Y （t ）恰好有 k 个事件发生的概率为22解：10 分）X （n） 表示甲盒 中的红球数甲盒乙盒22 红、 1 白3白11 红、 2 白1 红、 2 白03白2 红、 1 白p00 P 甲乙互换

26、一球后甲盒仍有 3个白球 |甲盒有 3个白球 =P 从乙盒放入甲盒的一球是白球 =1/3p01 P 甲乙互换一球后甲盒有 2个白球 1个红球|甲盒有 3个白球 =P 从乙盒放入甲盒的一球是红球 =2/3p02 P 甲乙互换一球后甲盒有1 个白球 2 个红球 |甲盒有 3 个白球 =01/32/3 0以此类推，一步转移概率矩阵为 P 2/95/9 2/98 分）0 无周期，故马氏链为遍历链。2/3 1/32）因为各状态互通，所以为不可约有限马氏链，且状态3) ( 0 , 1, 2)解方程组021 23 22 9 1 1 30 59 11 3 0 2 90 23 21即12P解得limnpi(0n

27、)1,5limnp i(1n )limn(n)pi215 分）24解：5 分）10 分）25解：1,2是非常返集，C13,4,5，C 2 6,7 是正常返闭集。5 分）常返闭集C13,4,5 上的转移矩阵为解方程组451，其中0.60.40.20.40.60.50.35） ，解得 310,423 4723623C 1上的平稳分布为 0,0,10 7 623 23 23,0, 010 分）87同理解得 C2上的平稳分布为 0, 0,0,0,0, 185, 17515 分）26. 解：（ 1）因为 1又因为状态2 3 4 ，故马氏链不可约，1 非周期，故马氏链是遍历链5 分）2）解方程组34其中 （2, 3, 4)解得0.2112,0.3028,0.3236,0.104410 分）3）11 9( 天)415 分）27解：状态传递图如下图2 分）