初中奥数系列实数与二次根式B级第01讲学生版.docx

1、初中奥数系列实数与二次根式B级第01讲学生版实数与二次根式的基本概念内容基本要求略高要求较高要求平方根、算术平方根了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示非负数的平方根及算术平方根会用平方运算求某些非负数的平方根立方根了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根会用立方根运算求某些数的立方根实数了解实数的概念会进行简单的实数运算二次根式及其性质了解二次根式的概念，会确定二次根式有意义的条件会运用二次根式的性质进行化简，能根据二次根式的性质对代数式做简单变型，在给定条件下，确定字母的值二次根式的化简和运算理解二次根式的加、减、乘、除运算法则会进行二次根式的化简，会进行二次根式的混合运算1.平方根、

2、立方根的有关概念以及其区别和联系；2.能进行实数的运算3.二次根式的内涵， 是一个非负数； ； 及其运用4.二次根式乘除法的规定及其运用5.二次根式的加减运算模块一 实数的概念及分类1实数的概念实数：有理数和无理数的统称2实数的分类注意：（1）实数还可按正数，零，负数分类（2）整数可分为奇数，偶数，零是偶数，偶数一般用2n （n为整数)表示；奇数一般用2n 或2n （n 为整数）表示（3）正数和零常称为非负数（4）带根号的数不一定是无理数，如【例1】 下列实数，中无理数有（ ）A个 B个 C个 D个【巩固】有下列说法：（1）无理数就是开方开不尽的数；（2）无理数是无限不循环小数；（3）无理数包

3、括正无理数、零、负无理数；（4）无理数都可以用数轴上的点来表示其中正确的说法的个数是（ ）A 1 B 2 C 3 D4模块二 数轴、相反数、倒数、绝对值数轴：规定了原点、正方向和单位长度的一条直线叫数轴.相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0.（1）实数a的相反数是.（2）实数a和b互为相反数，则a+b=0.（3）从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称.倒数：乘积为1的两个有理数互为倒数；0没有倒数. 倒数等于它本身的数是1.（1）实数a(a0)的倒数是.（2）a和b互为倒数，则ab=1.绝对值：（1）绝对值的含义与性质：（2）几何意义：实数的绝对值是一个非负数，

4、在数轴上，表示数的点到原点的距离.注意：实数和数轴上的点一一对应，平面直角坐标系内的点与一对有序实数一一对应，对二者要加以区分，不能混淆.【例2】 若直径为2个单位长度的圆上的点A从表示的点沿数轴向右滚动两周，圆上这一点到达另一点B，则B点表示的实数是（ ）A B C D 【例3】 的相反数是 【例4】 的倒数是 【例5】 的绝对值是 【巩固】的相反数是 ；倒数是 ；绝对值是 模块三 实数的大小比较 利用数轴比较大小因为数轴上右边的点表示的数，总是比左边的点表示的数大，所以负数小于0，0小于正数，负数小于正数. 利用绝对值比较大小两个正数比较大小，绝对值大的较大；两个负数比较大小，绝对值大的反

5、而小. 利用作差法比较大小设a、b是任意两实数，若,则;若,则;若,则. 4 利用作商法比较大小设a、b是任意两同号实数，当a，b都为负数时，若,则；若,则.【例6】 如果是的整数部分，是的小数部分， = 【巩固】估计的值在（ ） A在和之间 B在和之间 C在和之间 D在和之间【巩固】已知为两个连续整数，且，则_【例7】 若则，这四个数有下列关系（ ） A. B. C. D. 【巩固】、15三个数的大小关系是（ ）A. 15 B. 15C. 15 D. 15模块四 实数的运算1.运算律加法交换律 a+b=b+a加法结合律乘法交换律 ab=ba乘法结合律分配律 a（b+c）=ab+ac注意：关于

6、有理数的运算律和运算性质，在进行实数运算时仍然成立.2. 混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的.【例8】 化简：（1） （2）（3）【例9】 已知等腰三角形一边长为，一边长，且求它的周长模块五 近似数、有效数字和科学记数法1. 近似数：将一个数四舍五入所得到的数2. 有效数字：一个近似数从左边第一个不是零的数字起，到精确的数位为止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字3. 科学记数法：把一个数表示成的形式，其中,n为整数注意：用科学计数法表示的数，其有效数字只与a有关，就是a的有效数字；精确度却和a、10有关，是a的精确度乘所得的结果.如有三个有效数字

7、，分别是4,3,0；4.30精确到0.01，故精确到千位.【例10】 我国第六次全国人口普查数据显示，居住在城镇的人口总数达到665 575 306人，将665 575 306用科学记数法表示（保留三个有效数字）约为（ ）A B C D【例11】 指出下列各近似值精确到哪一位：（1）；（2）；（3）；（4）万【例12】 指出下列近似数有几个有效数字：（1）；（2）；（3）万；（4）模块六 平方根、算术平方根、立方根平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，记作，正数有两个平方根，负数没有平方根，0的平方根是0.算术平方根：正数a的正平方根，记作;0的算术平方根为0.立方根：如果

8、一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，记作,正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0.注意：（1）当被开方数扩大(或缩小)倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)倍()（2）平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：若，则；不管为何值，总有（3）若一个非负数介于另外两个非负数、之间，即时，它的算术平方根也介于、之间，即：利用这个结论我们可以来估算一个非负数的算术平方根的大致范围【例13】 的平方根是（ ）A81 B C3 D 【例14】 若与是同一个正数的平方根，则m为（ ）A B1 C 1 D或1【巩固】若，则的平方根是 ；若，则 .【例15】 一个自然数的算术平方根为

9、a，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（ ）A B C D 【巩固】设是整数，则使为最小正有理数的的值是 【例16】 若，则 _.【例17】 已知的平方根是，的立方根是，求的算数平方根【巩固】已知是的算术平方根，是的立方根，求B+A的平方根【巩固】已知， ()，且()，求的值.【例18】 若，求的值【例19】 已知数的小数部分是，求模块七 二次根式的基本概念及化简一、二次根式概念二次根式的概念：形如（）的式子叫做二次根式二次根式的基本性质：（）双重非负性；（）；【例20】 设，求使有意义的的取值范围.【巩固】当 时，有意义【例21】 在实数范围成立，那么的值是多少？【巩固】若适合关系式，试确定

10、的值.【例22】 化简：（）【巩固】设，则=_.二、二次根式的乘除最简二次根式：二次根式（）中的称为被开方数满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式：被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式分母中不含二次根式二次根式的计算结果要写成最简根式的形式二次根式的乘法法则：（，）二次根式的除法法则：（，）利用这两个法则时注意、的取值范围，对于，、都非负，否则不成立，如【例23】 已知，化简二次根式的正确结果为（ ）A B C D 【巩固】化简二次根式的结果是 【例24】 化简所得的结果是（ ） A B C D【巩固】计算的结果是 【例25

11、】 计算 （1） （2） （3） （4） 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化互为有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，说这两个代数式互为有理化因式与互为有理化因式；分式有理化时，一定要保证有理化因式不为0【例26】 若最简根式和是同类二次根式，则m ，n . 【例27】 方程的整数解有 组.【例28】 当时，代数式的值是 【练习1】若，则估计m的取值范围 【练习2】阅读下面数学领域的滑稽短剧,你觉得结果2=3荒谬吗?找出它们错误的根源吗?第一幕： 第二幕：

12、等式两边同时加， 第三幕：上式变形，得第四幕：利用，得到： 第五幕：两边开平方，得第六幕：两边加上，得到等式！【练习3】，求，的值.【练习】阅读下列解题过程：（1）；（2）；请回答下列问题：（1）观察上面解题过程,请直接写出的结果为_（2）利用上面所提供的解法，请化简：【练习5】当n为整数时，证明是一个整数1.通过本堂课你学会了 2.掌握的不太好的部分 3.老师点评： 1.把根号外的因式移到根号内得 （ ）A B C D 2.已知整数x、y满足那么整数对（x，y）的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 33.设都是实数，且，那么化简为（ ）A B C D. 4.设、为实数，且，求的值 5.化简下列各式（1）（，） （2）（，）6.请你观察、思考下列计算过程由此猜想： 7.计算：