第3章 勾股定理教案.docx

1、第3章 勾股定理教案第三章勾股定理第1课时编写：唐森林审核：初二数学组课题：3.1 勾股定理（1）教学目标：1、能说出勾股定理的内容，并能用勾股定理进行简单的计算. 2、让学生经历探索勾股定理的过程，发展合情推理的能力，体会数形结合的思想.重点：勾股定理及其应用难点：利用图形的割补验证勾股定理教学过程：一、自学反馈（一）自学检查题1、如图1212的网格上，每一小格的面积为1，以BC为一边的正方形的面积是9，以AC为一边的正方形的面积是16，思考：（1）猜想图中以AB为边的正方形面积是多少？说说你是如何想的？（2）你能说明你的猜想是正确的吗？ （3）你能解释书中P78，把图形进行“割”或“补”计

2、算的过程吗？2、勾股定理的内容是3、求下列直角三角形中未知边的长.（二）引入新课，梳理知识操作实验，并与同学们交流 在方格纸上任意画一个顶点都在格点上的直角三角形，并分别以这个直角三角形的各边为一边向三角形外作正方形，仿照上面方法计算以斜边为一边的正方形的面积.思考：直角三角形三边上正方形的面积有什么关系？练习：课本P79练习通过学生操作，实验，各小组讨论，画图给出不同的数据，填入表中，猜想出直角三角形三边之间的数量关系.abca2+b2c2关系得出结论：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.剖析：（1）这是直角三角形的重要性质，揭示了直角三角形的三边之间的重要数量关系（2）体现

3、了一个重要的数学思想：数形结合，即只要知道“形”直角三角形，即可得到“数”直角边的平方和等于斜边的平方.（数量关系）（3）符号语言：在RtABC中，若C=90，则a2+b2=c2 （4）RtABC中，已知任意两边可求第三边 （5）用面积关系解释勾股定理 二、独立训练1、在RtABC中，C90（1）如果BC9，AC12，则AB（2）如果BC40，AC41，则AB2、（1）在RtABC中，C=90，周长为60，斜边与一条直角边之比为135，则这个三角形三边长分别是 （ ） A、5、4、3 B、13、12、5 C、10、8、6 D、26、24、103、如图，ABC中，ABC90，ADBC于D，AB3

4、，BD2，DC1，求AC4、如图ABC中，ACB90，AB50cm，BC30cm，CDAB于D，求CD的长. 5、一棵树在台风“卡努”的袭击下，在离地5米断裂，树顶落在离根12米远处，问这棵树断之前有多高？三、合作交流1、同桌互阅，互批.2、教师讲评分析.四、拓展延伸1、如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程(取3)是 ( )A、20cm； B、10cm； C、14cm； D、无法确定.2、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为_cm2.五、总结反思1、勾股定理“

5、直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”是直角三角形的又一条重要性质； 2、勾股定理揭示了“形”与“数”的内在联系，是数形结合的经典一例.第三章勾股定理第2课时编写：唐森林审核：初二数学组课题：3.1 勾股定理（2）教学目标：1、通过拼图等数学活动，进一步验证勾股定理，发展合情推理的能力，体会数形结合思想.2、经历用多种拼图方法验证勾股定理的过程，发展用数学的眼光观察现实世界和有条理地思考与表达的能力，感受勾股定理的文化价值。重、难点：通过拼图验证勾股定理，利用勾股定理进行计算.教学过程一、自学反馈（一）自学检查题1、在RtABC中，C90，AC：BC3：4，AB10，则AC，BC2、在AB

6、C中，ABAC25，BC14，求底边上的高和一腰上的高.（二）引入新课，梳理知识1、探索活动（1）剪4个全等的直角三角形，把它们拼成弦图，与同学合作探索数学家赵爽是如何利用弦图验证勾股定理的.并思考还有无其他方法. （2）如图观察，比较下面两个图形的面积，用不同的方法计算两个大正方形的面积，你能从中发现验证勾股定理的方法吗？ 分析：图中S大正方形c22ab图中S大正方形a2+b2+2ab由此可得c2=a2+b2（3）如图把火柴盒放倒，在这个过程中，也能验证勾股定理，你能利用下图验证勾股定理吗？ 分析：先证ACB90，再由梯形面积的两种不同算法去验证勾股定理. 2、操作并思考 （1）观察图的AB

7、C 和DEF，它们是直角三角形吗？ （2）观察图中分别以ABC和 DEF的各边为一边向外作正方形，其中2个小正方形的面积的和等于大正方形的面积吗？二、独立训练1、一个等腰三角形的周长是16，底边上的高是4，求这个三角形的三边的长.2、在RtABC中，C90，AC12，BC边上的中线AD的长为13，求边BC的长.3、若直角三角形的三边为6、8、x，则x的长为 （ ）A、6 B、8 C、10 D、以上答案均不对4、拼图填空：剪裁出若干个大小、形状完全相同的直角三角形，三边长分别记为a、b、c，如图.（1）拼图一：分别用4张直角三角形纸片，拼成如图的形状，观察图可发现，图中两个小正方形的面积之和_（

8、填大于、小于或等于）图中小正方形的面积，用关系式表示为_.（2）拼图二：用4张直角三角形纸片拼成如图的形状，观察图形可以发现，图中共有_个正方形，它们的面积之间的关系是_，用关系式表示为_.（3）拼图三：用8个直角三角形纸片拼成如图的形状，图中3个正方形的面积之间的关系是_，用关系式表示_.三、合作交流1、同桌互阅，互批，教师组织学生展开讨论.2、师生共同总结：通过拼图验证勾股定理.四、拓展延伸如图RtABC中，C90，AC4，BC3，把BCD沿BD折叠后C刚好落在AB边上E处，求CD的长.五、总结反思1、这节课我们通过多种拼图的方法，进一步验证了勾股定理，体会数形结合思想. 2、用勾股定理解

9、决问题的一般思路：寻找或构造直角三角形.第三章勾股定理第3课时编写：唐森林审核：初二数学组课题：3.2 勾股定理的逆定理教学目标： 1、会阐述直角三角形的判定条件（勾股定理的逆定理）； 2、会应用直角三角形的判定条件判定一个三角形是直角三角形； 3、经历探索一个三角形是直角三角形的条件的过程，发展合情推理能力，体会“形”与“数”的内在联系.重、难点：用勾股定理的逆定理进行直角三角形的判定.教学过程：一、自学反馈（一）自学检查题1、有一个三角形的三边长为3、4、5，这个三角形是什么三角形？为什么？2、下列各组数是勾股数吗？为什么？12、15、18； 12、35、36； 7、24、25.（二）引入

10、新课，梳理知识1、由自学检查题，引出“直角三角形的判定条件”即勾股定理的逆定理并引导学生将勾股定理与逆定理进行比较.勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系.区别：勾股定理的条件是“直角三角形”，结论是“两直角边的平方和等于斜边的平方”，即由“角”的条件得到“边”的关系，是直角三角形的性质定理；而勾股定理的逆定理的条件是“三角形两边的平方和等于第三边的平方”，结论是“直角三角形”，即由“边”的关系判定“角”，是直角三角形的判定定理.联系：两个定理的条件和结论正好相反，并且都与直角三角形及其边有关.2、由自学检查题2，引出勾股数的定义.满足a2b2c2的三个正整数a、b、c、称为勾股数.强调：（1

11、）勾股数必须是正整数，勾股数的整数倍也是勾股数.（2）熟记一些常用的勾股数组，如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；8，15，17；9，40，41等.二、独立训练1、判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形.（1）a7，b24，c25（2）a1.5，b2，c2.5（3）a，b1，c（4）3a，4a，5a（a0）2、判断下列各组数是否为勾股数：（1）15，8，17（2）13，14，153、某车间要加一种四边形的零件，要求ABBC，CDDA，如图，已知有一个四边形零件，ABBC，量得各边长为AB15cm，BC20cm，CD7cm，AD24cm，这个零件符合要求吗？4、张老师在一次“

12、探究性学习”课中，设计了如下数表：n2345a221321421521b46810c2213221421521（1）请你分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含自然数n（n1）的代数式表示：a，b，c.（2）猜想：以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？并说明理由.三、合作交流1、同桌互阅，互批，教师组织学生展开讨论.2、师生共同总结（1）判断三角形是否是直角三角形，常用的方法除了求一个角为90外，还可利用勾股定理的逆定理判别，但此时需判断出哪条是最长边.（2）不规则图形，往往通过辅助线把它转化成一个特殊图形.（直角三角形）四、拓展延伸如图所示，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA、PB、

13、PC，以BP为边作PBQ60，且BQBP，连接CQ.（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论.（2）若PA：PB：PC3：4：5，连接PQ，试判断PQC的形状，并说明理由.五、总结反思1、在已知三角形的三边，判断此三角形是否为直角三角形时，一般先确定最长的边，再计算较短的两边的平方和与最长边的平方，若两者能相等，则此三角形为直角三角形，且最长边为斜边，所对的角为直角；若两者不能相等，则不是直角三角形；也可以先分别计算出三边的平方，再验证是否有两边的平方和等于第三边的平方.2、应用平方关系判断勾股数的前提条件是这三个数必须都是正整数.第三章勾股定理第4课时编写：唐森林审核：初二数

14、学组课题：3.3 勾股定理的简单应用教学目标：1、能在实际生活情境中，利用勾股定理解决问题；2、经历把实际问题数学化这一过程，获得相应的数学学习方法，此外，能通过学习，使学生进一步养成“学数学，用数学”的意识.重、难点：把实际问题抽象成直角三角形的问题，再利用勾股定理来解决.教学过程：一、自学反馈（一）自学检查题1、一架长为5m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为4m，如果梯子的顶端下滑1m，你认为梯子的底端会发生什么变化？2、如图，在垂直高度与水平距离之比为3：4的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是8米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少米？（二）引入新课，梳理知识1、

15、探求运用勾股定理及其逆定理解决实际问题，首先要掌握两个定理.2、要求两点间的距离，常常围绕这两点构造直角三角形，把这两点间的线段放在某一个直角三角形中，然后利用勾股定理求出.二、例题讲解1、九章算术中的“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：有一根竹子原高1丈（1丈10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？2、如图ABC中，AB26，BC20，BC边上的中线AD24，求AC.3、九章算术中的“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深，葭长各几何？”题意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦

16、苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B（如图），问水深和芦苇长各多少？三、合作交流1、在ABC中，AB15，AD12，BD9，AC13，求ABC的周长和面积. 2、如图所示是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）A、12a13B、12a15C、5a12D、5a133、如图所示为一棱长为3cm的正方体，把所有的面都分成33的小正方形，其边长为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面A点沿表面爬行

17、至右侧的B点，至少要花几秒钟？四、拓展延伸甲、乙两人在沙漠中进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6千米/小时速度向东南方向行走，1小时后乙出发，他以5千米/时速度向西南方向行走，上午10：00时，甲、乙两人相距多远？分析：要求甲、乙两人之间的距离，首先必须画出图形确定甲、乙两人在平面内的位置关系，由于甲往东南方向，乙往西南方向，所以甲走的路线和乙走的路线垂直，分别求出甲、乙两人所走的路线，标注到图形上，然后利用勾股定理即可求出甲、乙两所走的距离.如图，甲走路程为OA6（108）12千米乙走路程为OB5（109）5千米甲、乙两人所走路线垂直OBOAAB13千米答：这时甲、乙两人相距13千米.

18、五、总结反思1、在解决一些立体图形的最短线路问题时，常将这个立体图形展开成一个平面图形，利用两点之间线段最短来解决.2、在许多实际问题中，没有直接给出三角形，需要我们构造合适的直角三角形予以解决.3、勾股定理揭示了直角三角形的三边之间的数量关系，已知直角三角形中的任意两边可以依据勾股定理求出第三边.4、勾股定理是由“形”得到“数”的关系，而勾股定理的逆定理是由“数”的关系得到“形”的特征，因此，运用它们解决实际问题时，常用“数形结合”的思想方法.第三章勾股定理第5课时编写：唐森林审核：初二数学组课题：本章复习教学目标：1、会用勾股定理解决简单问题，会用勾股定理的逆定理判定直角三形.重、难点：勾

19、股定理的应用及勾股定理的逆定理判定及其应用。教学过程：一、基础训练1、如图,64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母A所代表的正方形面积是 _2下列四组线段中，不能组成直角三角形的是（）、a=8,b=15,c=17 、a=9,b=12,c=15、a:b:c=2:3:4 、a=41,b=9,c=403、若一个三角形的三边长分别为3，4， x，则使此三角形是直角三角形的x的值是_4、若三角形三边长分别是6,8,10,则它最长边上的高为5、已知甲往正东走了4km，乙往正南走了3km，这时甲、乙两人相距 .6、一个长方形的长为12cm，对角线长为13cm，则该长方形的周长为 .7、分别以下列四组

20、数为一个三角形的边长：6、8、10；5、12、13；8、5、174、5、6.其中能构成直角三角形的有（ ）A.4组 B. 3组 C. 2组 D.1组8、 在ABC中,A、B、C的对边分别是a、b、c,下列说法中正确的个数有（ ）如果B-C=A，则ABC是直角三角形如果c2b2a2，则ABC是直角三角形，且C=900如果(ca)(ca)b2,则ABC是直角三角形如果A:B:C =5:2:3，则ABC是直角三角形A. 1 B. 2 C. 3 D. 49、 如图，在高2米，坡角为30的楼梯表面铺地毯，地毯的场至少需_米10、如图所示，在长方形纸片ABCD中，AD4cm，AB14cm，按如图方式折叠，

21、使点B与点D重合，折痕为EF，则DE=。11、如图是2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标,它取材于我国古代数学家赵爽的勾股圆方图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形的拼成的大正方形,如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短边为，较长边为，那么（+）2的值是 12、如图,有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,求它至少要飞行多少米.二、例题解析例1：如图，已知AD是BC边上的中线，如果BC10，AC4，AD3，求ABC的面积例2：如图，在一棵树的10m高的B处有两只猴子，其中一只沿树爬下，走到离树20m的池塘A

22、处，另一只爬到树顶D处后直跃后向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，试问这棵树有多高？（设树垂直）例3：已知矩形ABCD中，AB=6，BC=8，将它沿对角线BD对折，使点C落在E处，且BE与AD交于F，求EF的长及BDF的面积。三、强化训练1一个直角三角形的两条直角边长为6，8，则该直角三角形斜边上的中线的长度为 2、如图，一个梯子长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米,梯子滑动后停在DE的位置上.测得BD的长为0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？3：如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为10cm，顶点C1处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A处有一只昆虫乙（盒壁的厚度忽略不计）.（1）假设昆虫甲在顶点C1处静止不动，如图，在盒子的内部我们先取棱BB1的中点E，再连接AE、EC1，昆虫乙如果沿路径AEC1爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲，仔细体会其中的道理，并在图中画出另一条路径，使昆虫乙从顶点沿这条路径爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲（请简要说明画法）（2）如图，假设昆虫甲从顶点C1处以1cm/s的速度在盒子的内部沿棱C1C向下爬行，同时昆虫乙从顶点A处以2cm/s的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？（列出关于时间的方程即可）