考研数学三真题与答案.docx

1、考研数学三真题与答案2014年考研数学三真题 一、选择题（18小题，每小题4分，共32分。下列媒体给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）(1)设且0，则当充分大时有(A) (B)(C) (D)【答案】A。【解析】【方法1】直接法：由且0，则当充分大时有 【方法2】排除法：若取显然,且(B)和(D)都不正确；取显然，且(C)不正确综上所述，本题正确答案是(A)【考点】高等数学函数、极限、连续极限的概念与性质(2)下列曲线中有渐近线的是(A) (B)(C) (D)【答案】C。【解析】【方法1】 由于 所以曲线有斜渐近线，故应选(C) 解法2 考虑曲线与直线纵坐标之差在时的极限 则直线是

2、曲线的一条斜渐近线，故应选(C) 综上所述，本题正确答案是(C) 【考点】高等数学一元函数微分学曲线的凹凸、拐点及渐近线(3)设当时，若是比 高阶的无穷小，则下列选项中错误的是 (A) (B) (C) (D) 【答案】D。 【解析】 【方法1】 当时，知，的泰勒公式为 又 则 【方法2】 显然， 由上式可知，,否则等式右端极限为，则左端极限也为，与题设矛盾。 故 综上所述，本题正确答案是(D)。 【考点】高等数学函数、极限、连续无穷小量及其阶的比较(4)设函数具有二阶导数，,则在区间0,1上 (A)当时， (B)当时， (C)当时， (D)当时， 【答案】D。 【解析】 【方法1】 由于则直线

3、过点和(),当时，曲线在区间0,1上是凹的，曲线应位于过两个端点和的弦的下方，即 【方法2】 令,则 , 当时，。则曲线，又， 从而，当时，,即 【方法3】 令, 则, = 当时,单调增，从而，当时， ,即 综上所述，本题正确答案是D。 【考点】高等数学一元函数微分学函数不等式证明(5)行列式 (A) (B) (C) (D) 【答案】B。 【解析】灵活使用拉普拉斯公式 = 综上所述，本题正确答案是(B)【考点】线性代数行列式数字型行列式的计算(6)设均为三维向量，则对任意常数,向量组线性无关是向量组线性无关的 (A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分又非必

4、要条件 【答案】A。 【解析】 记，则 若线性无关，则是3阶可逆矩阵，故,即线性无关。反之，设线性无关，则对于则对任意常数,向量组 线性无关，但线性相关，所以线性无关是向量组线性无关的必要非充分条件。综上所述，本题正确答案是(A)。【考点】线性代数向量向量组的线性相关与线性无关(7)设随机事件与相互独立，且,则(A)0.1 (B)0.2(C)0.3 (D)0.4【答案】B。【解析】，独立，则独立，也独立,而,可用独立性来计算。可得综上所述，本题正确答案是(B)。【考点】概率论与数理统计随机事件和概率事件关系，概率性质和五大公式(8)设为来自正态总体的简单随机样本，则统计量服从的分布为(A) (

5、B) (C) (D)【答案】C。【解析】，所以，与相互独立，故与也独立。所以 ,而综上所述，本题正确答案是C。【考点】概率论与数理统计数理统计的基本概念二、填空题（914小题，每小题4分，共24分。）(9)设某商品的需求函数为(为商品的价格)，则该商品的边际收益为 。【答案】【解析】由题设知收益函数为,则边际收益为【考点】高等数学一元函数微分学一元微分在经济中的应用(10)设是由曲线与直线及围成的有界区域，则的面积为 。【答案】【解析】【方法1】曲线与直线及围成的有界区域如下图，则的面积为【方法2】用二重积分计算面积，即 【考点】高等数学一元函数积分学定积分应用(11)设,则 。【答案】。【解

6、析】可知，则【考点】高等数学一元函数积分学定积分计算(12)二次积分= 。【答案】。【解析】二次积分的积分区域为交换积分次序得【考点】高等数学二重积分变换积分次序和坐标系(13)设二次型的负惯性指数为1，则的取值范围是 。【答案】【解析】由配方法 负惯性指数为1，故，解得【考点】高等数学二次型二次型的概念与标准形(14)设总体的概率密度为其中是未知参数，为来自总体的简单随机样本，若,则 。【答案】【解析】 , 解得【考点】概率论与数理统计数理统计的基本概念三、解答题：小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(15)求极限【解析】【方法1】 (等价无穷小代换) (洛必达法则) (

7、变量代换 ) (洛必达法则) 【方法2】 (等价无穷小代换) (洛必达法则) (泰勒公式) 【考点】高等数学函数、极限、连续求函数的极限，常见等价无穷小，常见函数泰勒公式展开(16)设平面内区域,计算【解析】【方法1】令, 又 令) 所以【方法2】显然积分区域D关于有轮换对称性，于是 = = =【考点】高等数学二重积分利用区域的对称性和函数的奇偶性计算积分(17)设函数具有连续导数，且满足若,求的表达式。【解析】利用复合函数偏导数的计算方法求出两个偏导数，代入所给偏微分方程，转化为可求解的常微分方程。因为所以因此化为 从而函数满足方程 一阶线性非齐次微分方程可得方程通解为 由,解得 故 【考点

8、】高等数学多元函数微分学复合函数偏导数，一阶线性非齐次微分方程求解(18)求幂级数的收敛域及和函数【解析】【方法1】因为几何级数,且收敛域为又由幂级数的逐项求导性质知的收敛域为，和函数【方法2】幂级数的系数, 又所以收敛半径 当时，发散；当时， 发散；故收敛域为设 则故和函数 【考点】高等数学无穷级数求幂级数的和函数及数项级数的和(19)设函数在区间上连续，且单调增加，。证明：(I)(II).【解析】()由得得；()令显然,只要证明且, 由()的结论知，即又单调增加，则,因此，.故 .【考点】高等数学一元函数积分学与定积分有关的证明题(20)设，为三阶单位矩阵(I)求方程组的一个基础解系；(I

9、I)求满足的所有矩阵。【解析】()对矩阵做初等行变换，得因,令求出故基础解系为（）考察3个非齐次线性方程组由于这三个方程组的系数矩阵是相同的，所以令做初等行变换 由此得三个方程组的通解：故所求矩阵为,为任意常数。【考点】高等数学线性方程组非齐次方程组的求解(21)证明阶矩阵与相似【解析】证明：记因为是实对称矩阵必与对角矩阵相似由,知的特征值为。故又由, 知的特征值为。当时，那么,即齐次方程组有个线性无关的解，亦即时，矩阵有个线性无关的特征向量，从而矩阵必有对角矩阵相似，即从而和相似。【考点】高等数学特征值与特征向量相似与相似对角化(22)设随机变量的概率密度为对进行独立重复的观测，直到第二个大于3的观测值出现时停止，记为观测次数(I)求的概率分布(II)求【解析】()令对进行一个观测得到的值大于3。显然,记事件发生的概率的可能取值应为,所以的分布为 （） 记【考点】高等数学随机变量的数字特征数学期望(23)设随机变量的概率分布相同，的概率分布为, ，且的相关系数(I)求的概率分布；(II)求【解析】X Y010c1bd , 解得由此可得 所以X Y0101（）【考点】概率论与数理统计随机变量的数字特征概率分布，相关系数