最新人教版高中数学必修2第二章《平面与平面垂直的性质》教学设计.docx

1、最新人教版高中数学必修2第二章平面与平面垂直的性质教学设计教学设计23.4平面与平面垂直的性质整体设计教学分析空间中平面与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范空间中平面与平面垂直的性质定理具备以下两个特点：(1)它是立体几何中最难、最“高级”的定理(2)它往往又是一个复杂问题的开端，即先由面面垂直转化为线面垂直，否则无法解决问题因此，面面垂直的性质定理是立体几何中最重要的定理三维目标1探究平面与平面垂直的性质定理，进一步培养学生的空间想象能力2面面垂直的性质定理的应用，培养学生的推理能力3通过平面与平面垂直的性质定理的学习，培养学生转化

2、的思想重点难点教学重点：平面与平面垂直的性质定理教学难点：平面与平面性质定理的应用课时安排1课时教学过程复习(1)面面垂直的定义如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直(2)面面垂直的判定定理两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直两个平面垂直的判定定理符号表述为：.两个平面垂直的判定定理图形表述为：图1导入新课思路1.(情境导入)黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？思路2.(事例导入)如图2，长方体ABCDABCD中，平面AADD与平面ABCD垂直，直线AA垂直于其交线AD，平面AADD内的直线

3、AA与平面ABCD垂直吗？图2推进新课新知探究提出问题如图3,若a，CD，AB,ABCD，ABCD=B.请同学们讨论直线 与平面 的位置关系.用三种语言描述平面与平面垂直的性质定理，并给出证明设平面平面，点P，Pa，a，请同学们讨论直线a与平面的关系图3分析平面与平面垂直的性质定理的特点，讨论应用定理的难点总结应用面面垂直的性质定理的口诀活动：问题引导学生作图或借助模型探究得出直线AB与平面的关系问题引导学生进行语言转换问题引导学生作图或借助模型探究得出直线a与平面的关系问题引导学生回忆立体几何的核心，以及平面与平面垂直的性质定理的特点问题引导学生找出应用平面与平面垂直的性质定理的口诀讨论结果

4、：通过学生作图或借助模型探究得出直线AB与平面垂直，如图3.两个平面垂直的性质定理用文字语言描述为：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面图4两个平面垂直的性质定理用图形语言描述为：如图4.两个平面垂直的性质定理用符号语言描述为：AB.两个平面垂直的性质定理证明过程如下：如图5，已知，a，AB，ABa于B.求证：AB.图5证明：在平面内作BECD垂足为B，则ABE就是二面角CD的平面角由，可知ABBE.又ABCD，BE与CD是内两条相交直线，AB.问题也是阐述面面垂直的性质，变为文字叙述为：求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直

5、线在第一个平面内下面给出证明如图6，已知，P，Pa，a.求证：a.图6证明：设c，过点P在平面内作直线bc，b.而a，Pa，经过一点只能有一条直线与平面垂直，直线a应与直线b重合那么a.利用“同一法”证明问题，主要是在按一般途径不易完成问题的情形下所采用的一种数学方法，这里要求做到两点一是作出符合题意的直线b，不易想到，二是证明直线b和直线a重合，相对容易些点P的位置由投影所给的图及证明过程可知，可以在交线上，也可以不在交线上我认为立体几何的核心是：直线与平面垂直，因为立体几何的几乎所有问题都是围绕它展开的，例如它不仅是线线垂直与面面垂直相互转化的桥梁，而且由它还可以转化为线线平行，即使作线面

6、角和二面角的平面角也离不开它两个平面垂直的性质定理的特点就是帮我们找平面的垂线，因此它是立体几何中最重要的定理应用面面垂直的性质定理口诀是：“见到面面垂直，立即在一个平面内作交线的垂线”应用示例思路11 如图7，已知，a，a，试判断直线a与平面的位置关系图7解：在内作垂直于与交线的垂线b，b.a，ab.a，a.变式训练如图8，已知平面交平面于直线a.、同垂直于平面，又同平行于直线b.求证：(1)a；(2)b. 图8 图9证明：如图9，(1)设AB，AC.在内任取一点P并在内作直线PMAB，PNAC.，PM.而a，PMa.同理，PNa.又PM，PN，a.(2)在a上任取点Q，过b与Q作一平面交于

7、直线a1，交于直线a2.b，ba1.同理，ba2.a1、a2同过Q且平行于b，a1、a2重合又a1，a2，a1、a2都是、的交线，即都重合于a.ba1，ba.而a，b.点评：面面垂直的性质定理作用是把面面垂直转化为线面垂直，见到面面垂直首先考虑利用性质定理，其口诀是：“见到面面垂直，立即在一个平面内作交线的垂线”.2 如图10，四棱锥PABCD的底面是AB2，BC的矩形，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB底面ABCD.(1)证明侧面PAB侧面PBC；(2)求侧棱PC与底面ABCD所成的角；(3)求直线AB与平面PCD的距离 图10 图11(1)证明：在矩形ABCD中，BCAB，又面PAB底面

8、ABCD，侧面PAB底面ABCDAB，BC侧面PAB.又BC侧面PBC，侧面PAB侧面PBC.(2)解：如图11，取AB中点E，连接PE、CE，又PAB是等边三角形，PEAB.又侧面PAB底面ABCD，PE面ABCD.PCE为侧棱PC与底面ABCD所成角PEBA，CE，在RtPEC中，PCE45为所求(3)解：在矩形ABCD中，ABCD，CD侧面PCD，AB侧面PCD，AB侧面PCD.取CD中点F，连接EF、PF，则EFAB.又PEAB，AB平面PEF.又ABCD，CD平面PEF.平面PCD平面PEF.作EGPF，垂足为G，则EG平面PCD.在RtPEF中，EG为所求变式训练图12如图12，斜

9、三棱柱ABCA1B1C1的棱长都是a，侧棱与底面成60角，侧面BCC1B1面ABC.求平面AB1C1与底面ABC所成二面角的大小活动：请同学考虑面BB1C1C面ABC及棱长相等两个条件，师生共同完成表述过程，并作出相应辅助线解：面ABC面A1B1C1，则面BB1C1C面ABCBC，面BB1C1C面A1B1C1B1C1，BCB1C1，则B1C1面ABC.设所求两面交线为AE，即二面角的棱为AE，则B1C1AE，即BCAE.过C1作C1DBC于D，面BB1C1C面ABC，C1D面ABC，C1DBC.又C1CD60，CC1a，故CD，即D为BC的中点又ABC是等边三角形，BCAD.那么有BC面DAC

10、1，即AE面DAC1.故AEAD，AEAC1，C1AD就是所求二面角的平面角C1Da，ADa，C1DAD，故C1AD45.点评：利用平面与平面垂直的性质定理，找出平面的垂线是解决问题的关键.思路21 如图13，把等腰直角三角形ABC沿斜边AB旋转至ABD的位置，使CDAC，图13 (1)求证：平面ABD平面ABC；(2)求二面角CBDA的余弦值(1)证明：(证法一)：由题设，知ADCDBD，作DO平面ABC，O为垂足，则OAOBOC.O是ABC的外心，即AB的中点OAB，即O平面ABD.OD平面ABD.平面ABD平面ABC.(证法二)：取AB中点O，连接OD、OC，则有ODAB，OCAB，即C

11、OD是二面角CABD的平面角设ACa，则OCODa，又CDADAC，CDa.COD是直角三角形，即COD90.二面角是直二面角，即平面ABD平面ABC.(2)解：取BD的中点E，连接CE、OE、OC，BCD为正三角形，CEBD.又BOD为等腰直角三角形，OEBD.OEC为二面角CBDA的平面角同(1)可证OC平面ABD，OCOE.COE为直角三角形设BCa，则CEa，OEa，cosOEC即为所求变式训练图14如图14，在矩形ABCD中，AB3，BC3，沿对角线BD把BCD折起，使C移到C，且C在面ABC内的射影O恰好落在AB上(1)求证：ACBC；(2)求AB与平面BCD所成的角的正弦值；(3

12、)求二面角CBDA的正切值(1)证明：由题意，知CO面ABD，COABC，面ABC面ABD.又ADAB，面ABC面ABDAB，AD面ABC.ADBC.BCCD，BC面ACD.BCAC.(2)解：BC面ACD，BC面BCD，面ACD面BCD.作AHCD于H，则AH面BCD，连接BH，则BH为AB在面BCD上的射影，ABH为AB与面BCD所成的角又在RtACD中，CD3，AD3，AC3.AH.sinABH，即AB与平面BCD所成角的正弦值为.(3)解：过O作OGBD于G，连接CG，则CGBD，则CGO为二面角CBDA的平面角在RtACB中，CO，在RtBCD中，CG.OG.tanCGO2，即二面角

13、CBDA的正切值为2.点评：直线与平面垂直是立体几何的核心，它是证明垂直问题和求二面角的基础，因此利用平面与平面垂直的性质定理找出平面的垂线，就显得非常重要了.2 如图15，三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABBB11，直线B1C与平面ABC成30角，求二面角BB1CA的正弦值图15活动：可以知道，平面ABC与平面BCC1B1垂直，故可由面面垂直的性质来寻找从一个半平面到另一个半平面的垂线解：由直三棱柱性质得平面ABC平面BCC1B1，过A作AN平面BCC1B1，垂足为N，则AN平面BCC1B1(AN即为我们要找的垂线)，在平面BCB1内过N作NQ棱B1C，垂足为Q，连接QA，则NQA

14、即为二面角的平面角AB1在平面ABC内的射影为AB，CAAB，CAB1A.ABBB11，得AB1.直线B1C与平面ABC成30角，B1CB30，B1C2.在RtB1AC中，由勾股定理，得AC.AQ1.在RtBAC中，AB1，AC，得AN.sinAQN，即二面角BB1CA的正弦值为.变式训练如图16，边长为2的等边PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC2，M为BC的中点(1)证明AMPM；(2)求二面角PAMD的大小 图16 图17(1)证明：如图17，取CD的中点E，连接PE、EM、EA，PCD为正三角形，PECD，PEPDsinPDE2sin60.平面PCD平面ABCD，PE平面

15、ABCD.四边形ABCD是矩形，ADE、ECM、ABM均为直角三角形由勾股定理可求得EM，AM，AE3，EM2AM2AE2.AMEM.又EM是PM在平面ABCD上的射影，AME90.AMPM.(2)解：由(1)可知EMAM，PMAM，PME是二面角PAMD的平面角tanPME1.PME45.二面角PAMD为45.知能训练课本本节练习拓展提升如图18，在三棱锥SABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，BAC90，O为BC中点(1)证明SO平面ABC；(2)求二面角ASCB的余弦值 图18 图19(1)证明：如图19，由题设，知ABACSBSCSA.连接OA，ABC为等腰直角三角形，所以O

16、AOBOCSA，且AOBC.又SBC为等腰三角形，故SOBC，且SOSA.从而OA2SO2SA2.所以SOA为直角三角形，SOAO.又AOBCO，所以SO平面ABC.(2)解：如图19，取SC中点M，连接AM、OM，由(1)，知SOOC，SAAC，得OMSC，AMSC.所以OMA为二面角ASCB的平面角由AOBC，AOSO，SOBCO，得AO平面SBC.所以AOOM.又AMSA，故sinAMO.所以二面角ASCB的余弦值为.课堂小结知识总结：利用面面垂直的性质定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题

17、转化为平面问题作业课本习题2.3B组3、4.设计感想线面关系是线线关系和面面关系的桥梁和纽带，尤其是线面垂直问题是立体几何的核心，一个立体几何问题能否解决往往取决于能否作出平面的垂线；面面垂直的性质定理恰好能解决这个问题，因此它是高考考查的重点，本节不仅选用了大量经典好题，还选用了大量的2007高考模拟题以及最新2007全国各地高考真题，相信能够帮助大家解决立体几何中的重点难点问题备课资料备用习题如图20，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点图20 (1)求证：AB1平面A1BD；(2)求二面角AA1DB的大小；(3)求点C到平面A1BD的距离分析：本小题主要考查直线与平

18、面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力(1)证明：如图21，取BC中点O，连接AO.ABC为正三角形，图21AOBC.在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，AO平面BCC1B1.连接B1O，在正方形BB1C1C中，O、D分别为BC、CC1的中点，B1OBD.AB1BD.在正方形ABB1A1中，AB1A1B，AB1平面A1BD.(2)解：设AB1与A1B交于点G，在平面A1BD中，作GFA1D于F，连接AF，由(1)，得AB1平面A1BD，AFA1D.AFG为二面角AA1DB的平面角在AA1D中，由等面积法可求得AF，又AGAB1，sinAFG.二面角AA1DB的大小为arcsin.(3)解：在A1BD中，BDA1D，A1B2，SA1BD，SBCD1.在正三棱柱中，A1到平面BCC1B1的距离为.设点C到平面A1BD的距离为d.由VA1BCDVCA1BD，得SBCDSA1BDd，d.点C到平面A1BD的距离为.