平面向量教案及答案.docx

1、平面向量教案及答案教师寄语:没有最好,只有更好! 1 高一年级数学平面向量 一、考点、热点回顾 (一) 向量的基本概念与基本运算 1概念: 向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,来表示,或用有向线段的起点与终点的大写字 母表示,如:AB 几何表示法 AB ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a =+= 向量的大小即向量的模(长度),记作|AB |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. 零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的,0 与任意向量平行零向量a =0 ?|a | =0 由于0 的方向是任意的,且规定0 平行于任何向量,故在有关

2、向量平行(共线)的问题中务必看 清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) 单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量?|0a |=1 平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a b 由于向量可以进行任意的平移(即自由向量),平行向 量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. 相等向量:长度相等且

3、方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a =大小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x =?=?2121y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b = ,则a +b =AB BC + =AC (1)a a a =+=+00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2)三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的

4、终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法则.向量加法的 三角形法则可推广至多个向量相加: AB BC CD PQ QR AR += ,但这时必须“首尾相连” . 3向量的减法 相反向量:与a 长度相等、方向相反的向量,叫做a 的相反向量 记作a -,零向量的相反向量仍是零向量 关于相反向量有: (i )(a -=a ; (ii) a +(a -)=(a -)+a =0 ; (iii)若a 、b 是互为相反向量,则a =b -,b =a -,a +b =0 向量减法:向量a 加上b 的相

5、反向量叫做a 与b 的差, 记作:)(b a b a -+=-求两个向量差的运算,叫做向量的减法 作图法:b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量(a 、b 有共同起点) 4实数与向量的积: 实数与向量a 的积是一个向量,记作a ,它的长度与方向规定如下: ()a a ?=; ()当0时,a 的方向与a 的方向相同;当00时,a 与a 同向; =?b a b a b a ,cos | 1212a b x x y y ?=+ a b b a ?=? )()()(b a b a b a ?=?=? c b c a c b a ?+?=?+)( 22|a a =,22|y x a +=

6、|b a b a ? 例1 已知向量(1,2),(,1),2a b x u a b =+ ,2v a b =- ,且/u v ,求实数x 的值 解:因为(1,2),(,1),2a b x u a b =+ ,2v a b =- 所以(1,2)2(,1)(21,4)u x x =+=+ ,2(1,2)(,1)(2,3)v x x =-=- 又因为/u v 所以3(21)4(2)0x x +-=,即105x = 解得1 2 x =(也可以用:a b a b =?) 例2 已知点)6,2(),4,4(),0,4(C B A ,试用向量方法求直线AC 和OB (O 为坐标原点)交点P 的坐标 解:设(,)P x y ,则(,),(4,)OP x y AP x y =- 因为P 是AC 与OB 的交点 所以P 在直线AC 上,也在直线OB 上 即得/,/OP OB AP AC 由点)6,2(),4,4(),0,4(C B A 得,(2,6),(4,4)AC OB =-= 得方程组6(4)20 440x y x y -+=?-=? 解之得33x y =?=? 故直线AC 与OB 的交点P 的坐标为(3,3)