东南大学数值分析上机作业汇总.docx

1、东南大学数值分析上机作业汇总东南大学数值分析上机作业汇总 数值分析上机报告院系：学号：姓名： 作业1、舍入误差与有效数设，其精确值为.（1）编制按从小到大的顺序，计算的通用程序；（2）编制按从大到小的顺序，计算的通用程序；（3）按两种顺序分别计算,并指出有效位数；（4）通过本上机你明白了什么？程序：1、函数文件cxdd.mfunction S=cxdd(N)S=0;i=2.0;while(i）：S=cxdd(80)S= 0.7375772、函数文件cddx.mfunction S=cddx (N)S=0;for i=N:-1:2 S=S+1/(i*i-1);endscript运行结果（省略）：

2、S=cddx(80)S=0.7375773、两种方法有效位数对比精确值函数：function S=jqz(N)S=0.5*(1.5-1.0/N-1.0/(N+1);script运行结果（省略）NS精确值从小到大从大到小值有效位数值有效位数1000.7400500.74005060.7400496100000.7499000.74990040.749852410000000.7499990.74999960.74985234、心得本题重点体现了数值计算中“大数吃小数”的问题，由于计算机计算的截断特点，从大到小的计算会导致小数的有效数被忽略掉。从题中可以看出，看出按不同的顺序计算的结果是不相同的，

3、按从小到大的顺序计算的值与精确值吻合，而按从大到小的顺序计算的值与精确值有较大的误差。计算机在进行数值计算时会出现“大数吃小数”的现象，导致计算结果的精度有所降低。作业2、Newton迭代法（1）给定初值x0及容许误差，编制Newton法解方程f(x)=0根的通用程序。（2）给定方程f(x)=x3/3-x=0,易知其有三个根x1=，x2=0，x3=。由Newton方法的局部收敛性可知存在0，当x0（，），Newton迭代序列收敛于根x2 ，试确定尽可能大的；试取若干个初始值，观察当x0（-，-1），（-1，），（，），（，1），（1，+）时，Newton序列是否收敛以及收敛于哪一个根。（3）通

4、过本上机题，你明白了什么？1、通用程序函数文件定义f(x)函数function f=fun(x)f=x3/3-x;end定义f(x)导函数function f=dfun(x)f=x*x-1;end定义求近似解函数 function f,n=newton(x0,ep)flag=1;n=0;while(flag=1) x1=x0-fun(x0)/dfun(x0); n=n+1; if(abs(x1-x0)100000) flag=0; end x0=x1;endf=x1;end script运行结果clear;x0=input(请输入初始值x0：);ep=input(请输入容许误差：);f,n=n

5、ewton(x0,ep);fprintf(方程的一个近似解为:%fn,x1);2、局部收敛性（1）最大值文件flag=1;k=1;x0=0;while flag=1 sigma=k*10-6; x0=sigma; k=k+1; m=0; flag1=1; while flag1=1 & m=103 x1=x0-fun(x0)/dfun(x0); if abs(x1-x0)=10-6) flag=0; endendfprintf(最大值为： %fn,sigma); 运行结果为：最大值为：0.774597即得最大的为0.774597，Newton迭代序列收敛于根=0的最大区间为（-0.774597

6、，0.774597）。（2）验证局部收敛性在x0（-，-1）区间，取以下初值，分别调用newton.m函数文件，得到结果如下：X0X1迭代次数-100-1.73205115-20-1.73205111-5-1.7320518-1.5-1.7320515结果显示，以上初值迭代序列均收敛于-1.732051，即根。显然，迭代格式初值的选择对于迭代的收敛速度是至关重要的，当初值接近真实值的时候，迭代次数减少。在x0（-1，）区间，取以下初值，分别调用newton.m函数文件，得到结果如下：X0X1迭代次数-0.951.7320519-0.851.7320516-0.801.73205110-0.78

7、1.73205115计算结果显示，迭代序列局部收敛于1.730251，即根。在x0（，）区间，取以下初值，分别调用newton.m函数文件，得到结果如下：X0X1迭代次数-0.700.0000005-0.200.0000003-0.050.00000030.050.00000030.200.00000030.700.0000005由newton1.m的运行过程表明，在整个区间上均收敛于0，即根。在x0（，1）区间，取以下初值，分别调用newton.m函数文件，得到结果如下：X0X1迭代次数0.80-1.732051100.90-1.73205170.95-1.73205190.98-1.732

8、05112计算结果显示，迭代序列局部收敛于-1.732051，即根。在x0（1，+）区间，取以下初值，分别调用newton.m函数文件，得到结果如下：X0X1迭代次数1.51.732051551.7320518201.732051111001.73205115结果显示，以上初值迭代序列均收敛于1.732051，即根。综上所述：(-，-1)区间收敛于-1.73205，(-1，)区间局部收敛于1.73205，局部收敛于-1.73205，(-，)区间收敛于0，(，1)区间类似于(-1，)区间，(1,)收敛于1.73205。3、心得牛顿迭代法对于初值的选择要求较高，因此，在牛顿迭代时可现通过简单迭代法

9、寻找相对准确一些的值来进行牛顿迭代。对于方程有多解的问题，Newton法求方程根时，牛顿迭代要考虑局部收敛的问题，迭代序列收敛于某一个根有一定的区间限制，在一个区间上，可能会局部收敛于不同的根。作业3、列主元素Gauss消去法对于某电路的分析，归结为求解线性方程组RI=V。 32 -13 0 0 0 -10 0 0 0 -13 35 -9 0 -11 0 0 0 0 0 -9 31 -10 0 0 0 0 0R= 0 0 0 -30 57 -7 0 -5 0 0 0 0 0 -7 47 -30 0 0 0 0 0 0 0 -30 41 0 0 0 0 0 0 -5 0 0 27 -2 0 0

10、0 -9 0 0 0 -2 29VT=-15，27，-23，0，-20,12，-7,7,10T（1）编制解n阶线性方程组Ax=b的列主元Gauss消去法的通用程序；（2）用所编程序解线性方程组RI=V，并打印出解向量，保留5位有效数字；（3）在本编程之中，你提高了那些编程能力。1、列主元Gauss消去法的通用程序函数：找每列的主元的函数function B=zhuyuan(B,t,N,M)for i=0:N-1-t if B(N-i,t)B(N-i-1,t) c=zeros(1,M); for j=1:M c(j)=B(N-i,j); B(N-i,j)=B(N-i-1,j); B(N-i-1,

11、j)=c(j); end endend 进行列消去的函数function B=xiaoqu(B,t,N,M)for i=t+1:N l=B(i,t)/B(t,t); for j=t:M B(i,j)=B(i,j)-l*B(t,j); endend进行三角矩阵下的解函数function X=jie(X,B,N,M)for i=1:N-1 s=B(N-i,M); for j=N-i+1:N s=s-B(N-i,j)*X(j); end X(N-i)=s/B(N-i,N-i);end执行主程序：N=input(请输入线性方程组的阶数: N=); M=input(请输入增广矩阵阶数: M=); b=z

12、eros(1,N);A=zeros(N,N);A=input(请输入系数矩阵:);b(1,:)=input(请输入方程组的右端向量:); b=b; B=A,b; for t=1:N-1 B=zhuyuan(B,t,N,M); B=xiaoqu(B,t,N,M);end X=zeros(N,1); X(N)=B(N,M)/B(N,N); X=jie(X,B,N,M); X2、解题中线性方程组执行程序，输入矩阵A（即题中的矩阵R）和列向量b(即题中的V),如下：请输入线性方程组的阶数: n=9请输入增广矩阵阶数: m=10请输入系数矩阵A：A=31,-13,0,0,0,-10,0,0,0,-15;

13、-13,35,-9,0,-11,0,0,0,0,27;0,-9,31,-10,0,0,0,0,0,-23;0,0,-10,79,-30,0,0,0,-9,0;0,0,0,-30,57,-7,0,-5,0,-20;0,0,0,0,-7,47,-30,0,0,12;0,0,0,0,0,-30,41,0,0,-7;0,0,0,0,-5,0,0,27,-2,7;0,0,0,-9,0,0,0,-2,29,10;请输入方程组的右端向量b：-15 27 -23 0 -20 12 -7 7 10得到如下结果：A = 31 -13 0 0 0 -10 0 0 0 -15 -13 35 -9 0 -11 0 0

14、0 0 27 0 -9 31 -10 0 0 0 0 0 -23 0 0 -10 79 -30 0 0 0 -9 0 0 0 0 -30 57 -7 0 -5 0 -20 0 0 0 0 -7 47 -30 0 0 12 0 0 0 0 0 -30 41 0 0 -7 0 0 0 0 -5 0 0 27 -2 7 0 0 0 -9 0 0 0 -2 29 10x = -0.28923 0.34544 -0.71281 -0.22061 -0.43040 0.15431 -0.057823 0.20105 0.290233、心得列主元Gauss最重要的就是如何通过找到最大主元，并交换行，如何进行

15、消去，这需要很细心的循环，和很复杂的嵌套，通过本题的编程，感觉个人对于这种多层嵌套循环的处理能力提高了很多。通过对软件的编程，也更加理解了Gauss消去法的实质。作业4、三次样条插值函数（1）编制求第一型3次样条插值函数的通用程序；（2）已知汽车门曲线型值点的数据如下：i012345678910xi012345678910yi2.513.34.044.75.225.545.785.45.575.75.8端点条件为=0.8，=0.2，用所编程序求车门的3次样条差值函数S（x），并打印出S（i+0.5），i=0,19。1、第一型三次样条插值函数通用程序：n=input(请输入节点数n:);n=n+

16、1;xn=zeros(1,n);yn=zeros(1,n);xn(1,:)=input(请输入X的值：);yn(1,:)=input(请输入Y的值：);dy0=input(请输入边界条件y(0):); dyn=input(请输入边界条件y(n):); d=zeros(n,1); h=zeros(1,n-1);f1=zeros(1,n-1);f2=zeros(1,n-2);for i=1:n-1 h(i)=xn(i+1)-xn(i); %求一阶差商 f1(i)=(yn(i+1)-yn(i)/h(i);endfor i=2:n-1 f2(i)=(f1(i)-f1(i-1)/(xn(i+1)-xn(

17、i-1); %求二阶差商 d(i)=6*f2(i);endd(1)=6*(f1(1)-dy0)/h(1);d(n)=6*(dyn-f1(n-1)/h(n-1); A=zeros(n); %求M值u=zeros(1,n-2);r=zeros(1,n-2);for i=1:n-2 u(i)=h(i)/(h(i)+h(i+1); r(i)=1-u(i);endA(1,2)=1;A(n,n-1)=1;for i=1:n A(i,i)=2;endfor i=2:n-1 A(i,i-1)=u(i-1); A(i,i+1)=r(i-1);endM=Ad; syms x for i=1:n-1 %求节点插值

18、Sx(i)=collect(yn(i)+(f1(i)-(M(i)/3+M(i+1)/6)*h(i)*(x-xn(i)+M(i)/2*(x-xn(i)2+(M(i+1)-M(i)/(6*h(i)*(x-xn(i)3); Sx(i)=vpa(Sx(i),4);endS=zeros(1,n-1);for i=1:n-1 x=xn(i)+0.5; S(i)=yn(i)+(f1(i)-(M(i)/3+M(i+1)/6)*h(i)*(x-xn(i) +M(i)/2*(x-xn(i)2+(M(i+1)-M(i)/(6*h(i)*(x-xn(i)3;enddisp(S(x)=); %结果输出for i=1:n

19、-1 fprintf( %s (%d,%d)n,char(Sx(i),xn(i),xn(i+1); disp();enddisp(S(i+0.5);disp( i x(i+0.5) S(i+0.5)for i=1:n-1 fprintf( %d %.4f %.4fn,i,xn(i)+0.5,S(i)end2、数据输入及计算结果请输入节点数n:10请输入X的值：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10请输入Y的值：2.51 3.30 4.04 4.70 5.22 5.54 5.78 5.40 5.57 5.70 5.80请输入边界条件y(0):0.8请输入边界条件y(n):0.2S(x)=

20、- 0.008514*x3 - 0.001486*x2 + 0.8*x + 2.51 (0,1) - 0.0044579*x3 - 0.013654*x2 + 0.81217*x + 2.5059 (1,2) - 0.0036544*x3 - 0.018475*x2 + 0.82181*x + 2.4995 (2,3) - 0.040924*x3 + 0.31696*x2 - 0.18448*x + 3.5058 (3,4) 0.10735*x3 - 1.4624*x2 + 6.9328*x - 5.9839 (4,5) - 0.26848*x3 + 4.1752*x2 - 21.255*x

21、+ 40.996 (5,6) 0.42659*x3 - 8.3361*x2 + 53.813*x - 109.14 (6,7) - 0.26786*x3 + 6.2474*x2 - 48.272*x + 129.06 (7,8) 0.054872*x3 - 1.4983*x2 + 13.694*x - 36.184 (8,9) 0.058376*x3 - 1.5929*x2 + 14.545*x - 38.738 (9,10)S(i+0.5) i x(i+0.5) S(i+0.5) 1 0.5000 2.9086 2 1.5000 3.6784 3 2.5000 4.3815 4 3.5000 4.9882 5 4.5000 5.3833 6 5.5000 5.7237 7 6.5000 5.5944 8 7.5000 5.4299 9 8.5000 5.6598 10 9.5000 5.7323