华理概率论习题6答案.docx

1、华理概率论习题6答案华东理工大学概率论与数理统讣作业簿(第六册)学院 专业 班级 学号 姓名 任课教师 第十六次作业计算题：1 一批产品的不合格率为0.02,现从中任取40只进行检查，若发现两只或两 只以上不合格品就拒收这批产品，分别用以下方法拒收的概率：(1)用二项 分别作精确计算；(2)用泊松分布作近似计算。解:设不合格得产品数为(1) 2) = 1-P(g = 0)-P(g = 1) = 1 -(O.98)40-4(0.02)(0.98)39 0.1905.利用二项分布列的泊松定理近似，得2 = ,=40x0.02 = 0.8, 2)1 -严-0.W 1912.2作加法时，对每个加数四舍

2、五入取整，各个加数的取整误差可以认为是相互 独立的，都服从(-0.5,0.5)上的均匀分布。现在有1200个数相加，问取整误差总 和的绝对值超过12的概率是多少？解 设各个加数的取整误差为$ (心1,2,1200 )。因为. 0.5 + 0.5t/(-0.5,0.5),所以 p = E& = = 0(0.5 + 0.5)212112(,=12,1200)。设取整误差的总和为帀=土刍，因为77=1200数值很大，由定理知，这时近似有 =勺r-1其中，/?/ = 1200x0 = 0 ,na2 = 1200x丄= 100 o12所以，取整误差总和的绝对值超过12的概率为卩| | 12 = 1 P-

3、12;/121-(12工 _ (二二) ylna2 yjna-2=1-(皇2)_(二二。)=1-0(1.2)+ D(-1.2) Vioo=21-0(1.2) = 2x(1-0.8849) = 0.2302。3设刍，良，疋2。是相互独立的随机变量序列，具有相同的概率密度 2x 0xl(p(x)= 亠八 o0其他0 x 其他令=岳+ ?+ 20，用中心极限定理求P 1 0的近似值。2 V 因为纭(21,2,20)的概率密度为 = =一严.909813。d d k!下面用独立同分布中心极限定理近似计算。因为 P(02), 7 = 1, 2,300，独立同分布，E务=2 = 0.2, D窃=几=0.2

4、,300山1,2,300,根据独立同分布中心极限定理，可认为近似服从正态r-l分 布 N(i屮, 其 中 n/.t = nE = 300 x 0.2 = 60 ,na2 = = 300 x 0.2 = 60 o所以P0770) (0 60 350 = 1-PT 350 1-( )=1-0(-/ .：)13000 730001-)(0.913)1-0.8186 = 0.1814。6.一复杂系统，山多个相互独立作用的部件组成，在运行期间，每个部件损坏 的概率都是0.1,为了使整个系统可靠地工作，必须至少有88%的部件起作 用。(1)已知系统中共有900个部件，求整个系统的可幕性(即整个系统能可黑地

5、 工作的概率)。(2)为了使整个系统的可鼎性达到0.99,整个系统至少需要由多少个部件组成？ 解 设纟是起作用的部件数 行当川比较大时，近似有纟N(wpq)。（1） it = 900 p = 0.9 , g = 1 = 0.1, = 810, npq = 81 o整个系统要能可靠地工作，至少要有/rx88% = 900x88% = 792个部件起作 用，所以，这时系统能可靠地工作的概率等于QQA _ QI A 79? _ X 1 0P7924900 6（一） （ _ ） = () 0.99 ,查表可得#12.3263, E|J n (2.3263 xl5)2 1218 ,1 5 1即如果整个系

6、统可靠性要达到0.99 ,它至少需要IIH218个部件组成。7.某单位设置一台电话总机，共有200个分机。设每个分机在任一时刻要使用 外线通话的概率为5陰各个分机使用外线与否是相互独立的，该单位需要多少 外线，才能以90%的概率保证各个分机通话时有足够的外线可供使用？解 设歹是要使用外线的分机数，gb(%p) , h = 200 , p = 0.05 , 近似有 歹N(np,npq),其中 np = 200x0.05 = 10, npq = 10x0.95 = 9.5。设k是需要设置的外线数。根据题意，各个分机通话时有足够的外线可供使 用，即k的概率要大于90%,即要有 一 10=(=)no.

7、9 oa/95查表可得揺 W 解得5 + 36x5.95,大于它的最小整数是14,所以，需要设置14条外线。第十七次作业一.计算题：1保险公司接受多种项的保险，其中有一项是老年人寿保险，若一年中有 100000人参加这项保险，每人每年需付保险费20元，在此类保险者里，每个人 死亡的概率是0.002,死亡后家属立即向保险公司领得8000元。若不计保险公司 支岀的管理费，试求：(1)保险公司在此项保险中亏本的概率；(2)保险公司在此项保险中获益80000元以上的概率。解：设纟是死亡的人数,歹b(n,p), n = 1OOOOO, p = 0.002 ,彳=1 一p = 0.998。近似有 歹N(n

8、pjipq), /?/? = 100000x0.002 = 200, 77/ = 200x0.998 = 199.6 o保险公司的净获益为20x100000-800聘。(1)当20x100000-800( 250时，保险公司在此项保险中亏本, 其概率为Pg250l 80000.必须有 240,这时，概率为P疳 10时这批产品不被接受，所以，产品不被接受的概率为（二屮）-（“二=（3亦）-4（l（）,L（=b-）v0.09n V0.09n V0.09/?-10 0. h _ 0.1/z 101-6（ , ） = 5 , ）j009” v0.09n（因为本题中口很大，3亦的值远远超过了 4,所以可

9、以认为（3亦）1 ）。现在要P1OS12.1055或12055 ,平方后得 到n (12055 )2 =146.543 ,大于146.543的最小整数是147,即只要检查147个产品即可达到要求。4.分别用切比雪夫不等式和徳莫哇佛-拉普拉斯极限定理确定：当掷一枚硬币 时，需要掷多少次，才能保证出现正面的概率在0.40.6之间的概率不少于90%o解 设要掷次硬币，g是掷出的正面数，b(n. /?), p = 0.5 , g = l-p = 0.5,Eg = up = 0.5n , Dg = npq = 0.5/? x 0.5 = 0.25/z 。P04 - 0.6) = P(1)用切比雪夫不等式

10、估计。-0.5 = P-0.5n0AnDg(O.ln)20.25n t 25现在要 P0.4-0.9,即要有 n - = 250。用切比n n 1 -0.9雪夫不等式估计，需要掷250次。(2)用德莫哇佛-拉普拉斯定理估计。因为 g b(n,p),近似有歹7V(,npq) , np = 0.5n , npq = 0.25n P04i 0.6) = P04 歹 0.6,0 -严一皿)-(4一$) n 70.25h V0.25n=(02侖)-(02、5) =2(02亦)1 o现在要 P0.4 0.9,即要有(0.2) 0.95 ,查 n表可得0.2丽A1.6449,即有 心(1竺尸=67.6424

11、。大于67.6424的最小整 0.2数是68,用德莫哇佛-拉普拉斯定理估计，只要掷68次就可以了。5.设点为独立同分布随机变量序列，P(n=logA:) = i (n = l,2,.)Z:为大于零的常数，试证氛服从大数定理。解 氛是独立同分布随机变量序列，E4M=-log-Fi(-log) = 0,数学期望2 2有限，满足辛钦大数定理的条件，服从辛钦大数定理。6设盒为独立同分布的随机变量序列，其共同分布为:2k 1P（乙=）=尹， =试证”是否服从大数定律。证 由于氛为独立同分布随机变量序列，而满足辛钦大数定律的条件，故大数定律成立.7.随机变量序列$各以的概率取值疋和-疋，当s为何值时，大数

12、定理可应2用于独立随机变量序列刍，気，的算术平均值。解 E.=$+*（一疋）= 0, E（空）=*伙丁+*（_疋）2=以$,当叫时,1 W 1 W 1 W 1 n 1 1 - c扫咨心訂宀訂宀存宀严因为 Um ;f2，r V，= 0,所以 lim 丄D& ) = 0 ；X X” f-f -1 “这时，显然不可能有limrD（工比）=0 o “”矿 m1 +1) 4、1所以，当且仅当s X为样本，则(DXf+Xj+XPZ2(3)/- FQ n _ 3）o工X：r-4二.选择题：1.已知总体XN（“，R）,其中“已知而/未知，X, X,- X “是总体X的一个样本。则下列的（c ）不是统计量。B.

13、 X + 2/ ；1 ” A.活(X-X)；I 川 _C. 7耳(X, 一 X)-；D. max X?,Xlt o2.设随机变量X2（1, 22）,X“X2,是X的样本，艮为样本均值，已知Y = aX+h-N(0, 1),则有（A ）oB a = 5,b = 5 ;C.D.Cl5 53.设总体 X 7V(0,l),X2r-, Xe为样本，乂设y =(x + x3 + x5)2 +(x2 + x4 + x6)2,且cr/2分布，则c二(c)。A. 1；三计算题：1.设总体X Ng), X是样本，求P(IX-/l0.5)o解：由定理 5. 4.1 知：2L工IN(O,1),而 b = 2, /?

14、= 16,故兰二n(0,1),(7/y/n 1/2PQ 茂-l 0.5) = P(l护円卄)=2(1) 一 1 = 2 x 0.8413-1 = 0.6826。2.设总体一 N(50,62),总体 N(46,42),从总体歹中抽取容量为10的样本, 从总体中抽取容量为8的样本，求下列概率：(1) P(0X-F8)； (2) P(-f 8.28),Sy其中戸，P分别为纟，的样本均值，S；, S；分别为的样本方差。解：(1)对于从总体中抽取容量为10的样本，样本均值无的分布为(50,1；对于从总体中抽取容量为8的样本，样本均值Y的分布为N(46,兰,8(JQ 并且互相独立，则X-Y-N 4,宁，所以p(ox-r 8)= p0-4 (乂-卩)-4 8-4-1 = 2x0.9545-1 = 0.909.(2)根据定理山，可知黯“(9,7),所以 3.68 =0.95.P -48.28 =P S2y 7（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）