高考数学理数立体几何大题训练含答案.docx

1、高考数学理数立体几何大题训练含答案立体几何大题训练、解答题(共18题；共170 分)1. (2020新课标川理)如图，在长方体一 $匸匚 中，点 工”分另恠棱上,且一丄U ,丄二二;.(1) 证明：点 在平面内；(2)若.辽=二，上产第 求二面角丄 的正弦值.2. (2020新课标n理)如图，已知三棱柱 ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面 BB1C1C是矩形，M , N分 别为BC, B1C1的中点，P为AM上一点，过B1G和P的平面交AB于E,交AC于F.(1)证明：AA1/ MN，且平面 A1AMN 丄 EBGF;(2) 设O A1B1C1的中心，若 AO/平面EB1C1F,且AO

2、=AB,求直线 BE与平面A1AMN所成角的正弦值3. (2020新课标I理)如图，D为圆锥的顶点,o是圆锥底面的圆心，-三为底面直径,P为匚N9上一点,述. 是底面的内接正三角形，(1)证明平面75C(2)求二面角 5 - FC - E的余弦值.4. (2020新高考I )如图，四棱锥 P-ABCD的底面为正方形，PD丄底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的 交线为I.(1)证明：I丄平面PDC;(2)已知PD=AD=1, Q为I上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.5. (2020天津)如图，在三棱柱 S 冲，I L _ 一平面 丄口 : T I ； 点二； 丄分别在棱丄1一

3、和棱 上，且.1D 1 cr 二 啓为棱 的中点.(I )求证： ；(n)求二面角茲仁 C的正弦值；(川)求直线.：兰与平面-二;丄所成角的正弦值.6. (2020江苏)在三棱锥 ABCD中，已知 CB=CD= ,BD=2, O为BD的中点，AO丄平面BCD, AO=2, E为AC的中点.(1)求直线AB与DE所成角的余弦值；(2) 若点F在BC上，满足BF= 4bC,设二面角FDEC的大小为0,求sin啲值.7. (2020北京)如图，在正方体 丄- J-/- 中，E为 的中点.(I )求证： 平面(n)求直线丄欣与平面.1二乞所成角的正弦值.8. (2020 浙江)如图，三棱台 DEF-

4、ABC中，面 ADFC!面 ABC, / ACB= / AC 45 DC= 2BC(I )证明：EF DB;(n )求DF与面DBC所成角的正弦值.9. (2020扬州模拟)如图，在三棱锥 -二 S 中，已知一 卫口 二決二9都是边长为 的等边三角三为5匚、中点，且.丄_平面 ，为线段上一动点，记形,(1 )当 时，求异面直线 口尸与 所成角的余弦值；(2)当 与平面.-CD所成角的正弦值为 丄二时，求 的值.1010. (2020济宁模拟)如图1,四边形ABCD为矩形，BC=2AB, E为AD的中点，将 ABE DCE分别 沿BE CE折起得图2,使得平面 平面BCE平面 打厂工I平面BCE

5、.團1(1)求证：平面(2)若F为线段鮎二一平面DCEBC的中点，求直线 FA与平面ADE所成角的正弦值.11.(2020高一下 宝坻月考)如图所示，已知 ，二一平面3CD, M , N分别是二厂，.匸 的中点,讥_(1)求证： 平面二匚匸(2)求证：平面 MU 平面H(3) 若.辽二, ，求直线 与平面所成的角12.(2020沈阳模拟)如图，在四边形 -43CP中，八小，以五为折痕把亠 3折起，使点A到达点P的位置，且- 九.(1)证明:C平面去 ；(2) 若M为只g的中点，二面角 P-BC-D等于60求直线尸U与平面所成角的正弦值T13.（2020龙岩模拟）如图，在四棱锥 P-ABCD中，

6、PA丄平面ABCD,在四边形 ABCD中，/ ABC= , AB=4,BC=3, CD= p , AD=2 , PA=4.(1)证明：CD丄平面PAD；(2)求二面角B-PC-D的余弦值14.(2020德州模拟)如图，已知平面 平面A3C，直线亠匕_平面一壬，且DA =亠 IS = AC.(1)求证：丄平面七d-(2)若丄耳扎二主，二一平面立三，求二面角上工卜二的余弦值.15.(2020淄博模拟)在四棱柱一 口匸口 5 中，已知底面一打匸口为等腰梯形，二 IDf 二f 二匸出二：，M , N分别是棱 ， 的中点(1)证明：直线 平面 ；(2)若一 一 平面一，且门一頁，求经过点A, M，N的平

7、面一二亠与平面 般決坷所成二面角的正弦值16.(2020泰安模拟)在四棱锥 P - 一日；中， 一二朗为等边三角形，四边形一iBCD为矩形，三为 的中点，再匸一宀.D C(1)证明：平面 s 平面乂处.(2)设二面角 A-FC： -E的大小为 ，求 的取值范围17.(2020平邑模拟)请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.7U jtAB丄BC,FC与平面ABCD所成的角为 ，/ ABC = .如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD是菱形，PA丄平面ABCD,且PA= AB= 2, PD的中点为F.(1) 在线段AB上是否存在一点 G,使得AF 平面PCG?若存在，指出

8、 G在AB上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由；(2) 若 ,求二面角F- AC- D的余弦值.18.(2020江西模拟)如图：在三棱锥 尹-仝。中，平面 二工平面ABC, 生工 二:：厂：一丄匸= /：，且三二二，二上F二匚：(1) 若点D为BP上的一动点，求证： 丫 (2)若CT = ，求二面角一二一三三一匚的平面角的余弦值.答案解析部分、解答题:一f ，左二6 , 仁一- V-.且 7 =所以，四边形 m三匸为平行四边形，则 一二F DO且一F二匸必同理可证四边形 ；为平行四边形，匸一 且 匚-。匚二匸兰.4且 丁 - I.，则四边形一匕匚匸为平行四边形，因此，点 在平面 内（2）解

9、：以点 为坐标原点，匸上：、 3、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系 ，则 、丨1 1点朮-工用-一匕，.丄一 1 -， ，设平面的法向量为 -I 1由 ，得 取 ，得：、，则 门1 1w - AF - 0 L J-J = Q设平面的法向量为 - .： J= 0 , ，得7； 时=0一”十Zz=0-2；十取，得妒宀严，则心屮）,COS=- =MpI呼莎设二面角 一 的平面角为 ，则2区coso| =j42I 42 : sin9 = 1 cos = y因此，二面角 J 2?；的正弦值为【解析】【分析】（1）连接=、 ，证明出四边形面内；（2）以点 为坐标原点， 、 、一匸厂

10、一厂为平行四边形，进而可证得点 在平所在直线分别为X、y、z轴建立空间直角坐标系 小一 “二，利用空间向量法可计算出二面角 -的余弦值，进而可求得二面角一 亠丄 -一的正弦值2.分别为 ， 的中点,【答案】 （1）解:又 BB-/. MNHAA、在 中，M为卫二中点，贝U 乂 _丄匸又 侧面 为矩形,二眈丄阳MNBC由一匸工，W S平面儿平面又史;：且廿门点平面 *，”：_平面 汇二 平面 ABU又 1CLC 平面ESQF，且平面E场W n平面ABC=EF5Gef.EFHBC又-：. = . :n C 0 L 0 u尸;0 ；X 2? 1 1 Cl设狙应0.二则有 ，设平面的法向量为 二：则

11、，即Iw-J?=oy=o 加王+三=o令二,则二二；，所以平面的一个法向量为 弄一匚智；，则点向2十1根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线 与平面所成角的正弦值等于_ |l + j 币聽十“ 1 3L . 2jh，当且仅当二时取等号,32胡 & I齐曲的=所以直线尸弓与平面 护口所成角的正弦值的最大值为 篡.【解析】【分析】(1)利用线面垂直的判定定理证得 J平面FDC，利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得 ，从而得到 平面FD： ; (2)根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点 黒我0. P，之后求得平面 的法向

12、量以及向量刁的坐标，求得,-.T = 的最大值，即为直线 门汁与平面 所成角的正弦值的最大值5.【答案】 解：依题意，以 为原点，分别以 、 、 的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)，可得口 ： a c，丄上住也、罰上上屮、 丨小鮎、丄匸丿1- 、一1 “(I )依题意，一 1 一门 _ 一：， ；一 _ -从而一上匸一一一-.-.，所以(n )依题意U 1：;：)是平面二三L的一个法向量,设IT I.为平面-匚；丄的法向量,仿丽=0则 ，即K ED - 02尸02v-2 = 0，不妨设.=1,可得 - | I :鬲订 2 逅cos = . j,.一 * 侗2曲_ &，_

13、 i J30A =l-cos =J所以，二面角 - 匸的正弦值为丄 ;6 sin（川）依题意，号-、 二由（n）知门 为平面门二厂的一个法向量，于是-朋.盲 一一返屈卜同2电越 3所以，直线与平面二刁匚所成角的正弦值为 3【解析】【分析】以 为原点，分别以.；_!（, 2； L （/的方向为X轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系（ I）计算出向量 和用其的坐标，得出 左 耳左仝，即可证明出 丄AD； （ n）可知平面 魚三的一个法向量为 ，计算出平面 字E0的一个法向量为 ，利用空间向量法计算出二面角E； E二 J的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果；（ 川）利用空间向量法可求得

14、直线.二5与平面-匕所成角的正弦值6.【答案】（1）解：连 O BC CD. BO CD CO丄洗以OB. oc. c为 轴建立空间直角坐标系，则40, Q, 2i 凤L 0, 01 0（0, 2 血烦一 L 1）/.J5 = (l 0. = l)-，-cos一 S3sJ因此，直线 与平面 所成角的正弦值为 主.【解析】【分析】（I）证明出四边形为平行四边形，可得出 二-.-亠：，然后利用线面平行 的判定定理可证得结论；（n ）以点为坐标原点，.二所在直线分别为x、y、z轴建立 空间直角坐标系 ，利用空间向量法可计算出直线 与平面 芯：占所成角的正弦值8.【答案】 解：（I）证明：作 DH丄A

15、C,且交AC于点H,/ 面 ADFC丄面 ABC, DH?面 ADFC / DH丄 BC,在 RtA DHC 中,CH= CD?cos45 =CD/ DC= 2BC,J2CH= CD= ?2BC=T T?BC,BC=，即 BHC是直角三角形，且/ HBC=90 HB丄 BC, BC丄面 DHB, / BD?面 DHB, BC丄BD,在三棱台 DEF- ABC中, EF/ BC, EF DB.DA(n )设 BC= 1，贝V BH= 1, HC=在 RtA DHC 中，DH =在 RtA DHB 中，DB=于 厂丁 = Q_= ,作 HG丄 BD于 G, / BC丄 HG, / HG丄面 BCD

16、, / GC?面 BCD, HG丄GC, HGC是直角三角形，且 / HGC= 90 设DF与面DBC所成角为0,贝U B即为CH与面DBC的夹角,且 sin = sin/ HCG=/ 在 RtA DHB 中, DH?HB= BD?HG,DHHBBDHG =【分析】(I )题根据已知条件，作 DH丄AC,根据面面垂直，可得 DH丄BC,进一步根据直角三 角形的知识可判断出 BHC是直角三角形，且 / HBC= 90贝U HB丄BC,从而可证出BC丄面DHB,最后根 据棱台的定义有 EF/ BC,根据平行线的性质可得 EF丄DB;( H )题先可设BC= 1,根据解直角三角形可 sin =【解析

17、】得 BH= 1, HC= , DH= , DC= 2, DB=，然后找到CH与面DBC的夹角即为/ HCG,根据棱台的特点可知 DF与面DBC所成角与CH与面DBC的夹角相等，通过计算 / HCG的正弦值，即可得到 DF与 面DBC所成角的正弦值.9.【答案】 (1)解：连接CE,以L&江 丄分别为 轴，建立如图空间直角坐标系，则 厂）mm厂（& -F耳a - a门讣因为F为线段AB上一动点，且则.V 二;.=| 1 i宀二所以 嗔您抽.*设平面 土二的一个法向量为 =（尽必）（1诉）=0 厂、，化简得M 男 （1肃,0）二0：_二与平面C所成角为 ，呼“取“Usniff = |coCF,刃

18、）| =2顶1-划*1-才+貝嗣症解得，二三或.一一（舍去），所以 二-【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据向量数量积求向量夹角，最后根据线线角与向量夹角相等或互补得结果， （2）建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求平面 .dCT）的一个法向量，再根据向量数量积求向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余列等量关系，解得结果 10.【答案】 （1 ）解：在图1中，BC=2AB,且E为AB的中点，一壬止正兴二；,同理 所以 丄厶汕二丄一二 又平面 mi平面bce平面、亦厂-平面 艾二益所以 平面ABE,又m.平面A , 所以平面，冗旷.平面DCE.（2）解：如图，以

19、点 E为坐标原点，EB,EC所在的直线分别为 x轴，y轴建立空间直角坐标系，设则血诃m近q或a。电/向量 .1 -，设平面ADE的法向量为 - = 0A+-=0 人+z = 0， = 1，得平面ADE的一个法向量为 i | 11设直线FA与平面ADE所成角为 ，所以直线FA与平面ADE所成角的正弦值为 .3【解析】【分析】（1）证明匚三_平面ABE,平面 二匚_平面DCE即得证；（2）以点E为坐标原点，EB,EC所在的直线分别为 轴， 轴建立空间直角坐标系，设 = 1，利用向量法求直线 FA与平面ADE所成角的正弦值得解11.【答案】 （1 ）解：因为M,N分别是 ，:匚、的中点,所以:jv.

20、 -ro.又J/?.r i平面歹匚且 平面匸,，所以 平面丸二（2） 解：因为 |平面3CD,匚口匚平面 乂二,所以又:二匚且、弓匚=5,所以FUL平面-仝.又厂W.平面翠二所以平面比二 平面二E：.（3） 解：因为.；. I平面3（：-）,所以 为直线 与平面mu所成的角在直角一 口匚中，衣沖I,汙厂下，所以 tail N ACB =所以：故直线 与平面3CD所成的角为 【解析】【分析】（i）根据中位线定理，可得 丸;讨即可由线面平行判定定理证明 平面五匸口;（2）根据题意可得.用一厂口,而又因为 .一敲，所以 平面 二沉,即可由平面与平面垂直的判定定理证明平面-D _平面C；（ 3）由题意

21、可知 为直线 与平面 欣；所成的角 根据线段关系求得 ，即可求得直线 与平面吕匸二,所成的角大小12.【答案】（1 ）解：因为 亠厂匚厂、CD匚所以亍1 -平面F U又因为.gf平面FCD，所以3C - 5-E.又因为 DBD. 5D BC B所以己9 -平面二（2）解：因为 匸亠更CU亠机所以 是二面角? -3C -二的平面角，即 一门一）-L： 一；在 中，口门DEW：-卜门取EC的中点 ，连接 ，因为SC C D 亠 5,所以 二 _山,由（1）知， 平面E匸口, 为 的中位线，所以0亠EDM亠0C，即口两两垂直，以 为原点建立如图所示的坐标系 心严：,设：一7己二1,贝U也 I 应 C

22、l Q OX AO, 101 df 6 0,-frp=C-U/6ic5=(-譚，设平面则由品 令:二电，得亓二（仮低旧）,-.v+ 二 0,所以cos所以直线 与平面所成角的正弦值为 E（2）由题意知,【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明;取 的中点o,连接G：U： GC，易知ommy两两垂直，以o为原点建立如图所示的坐标系D T二设C二1，平面二啲一个法向量为求出向量 ，则向量:*亍所成角的余弦值的绝对值即为所求 13.【答案】 （1 ）解：连接 ，由/ ABC= , AB=4, BC=3,又因为CD= , AD=2 ,所以.严-、:寿亠匚*,即一J 因为PA丄平面

23、ABCD, CD匚平面ABCD, 所以 110因为卩厂”皿-，所以CD丄平面PAD;（2）解：以点D为坐标原点， 的延长线为X,匸疋为y轴,作50 _匹交 与点G,siu 匕 DAB = sm(Z DAC + 2 BAC)=sin -DACco Z BAC + cos 匕 TlJCsin Z BAC所以芈所以 P 丫；4,需二2, ，则筋=（_2百,0,4），忌=（2氏低一4）, SC=HE, -y-,0设平面FD:的一个法向量为 -I - -1珂场=0l?c = o，即设平面 U 的一个法向量为 ；一、一，即*)=碍= 出1+ 4+5所以二面角B-PC-D的余弦值为71010UP ,再利用【解析】【分析】（1）连接 ，证出,禾U用线面垂直的性质定理可得线面垂直的判定定理即可证出 .（2）以点D为坐标原点，.九；的延长线为x，匚？C为y轴，过点D与 平行线为 轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面 一二