第九章 系统的状态变量分析.pptx

1、,大连海事大学信息工程学院图像研究室2004.1,9.1 引言,一输入输出法（端口 法）,研究单输入单输出系统；着眼于系统的外部特性；基本模型为系统函数，着重运用频率响应特性的 概念。二状态变量分析法产生于20世纪50至60年代；卡尔曼(R.E.Kalman)引入；利用状态变量描述系统的内部特性；运用于多输入多输出系统；用n个状态变量的一阶微分（或差分）方程组来 描述系统。,三状态变量分析法优点,提供了系统的内部特性以供研究；一阶微分（或差分）方程组便于计算机进行 数值计算；便于分析多输入多输出系统；容易推广应用于时变系统或非线性系统；引出了可观测性和可控制性两个重要概念。,四名词定义,状态：

2、表示动态系统的一组最少变量（被称为状态,变量），只要知道时这组变量和 入，那么就能完全确定系统在任何时间,时的输 的行为。,状态变量：能够表示系统状态的那些变量成为状态 变量。例如上例中的。状态矢量：能够完全描述一个系统行为的k个状态变,量，可以看作矢量 状态矢量。状态空间：状态矢量,的各个分量的坐标。称为所在的空间。,状态轨迹：在状态空间中状态矢量端点随时间变化 而描出的路径称为状态轨迹。,大连海事大学信息工程学院图像研究室2004.1,9.2 信号流图,概述系统的信号流图表示法流图的获取信号流图的性质信号流图的代数运算,一概述,利用方框图可以描述系统（连续的或离散的），比用微分方程或差分方

3、程更为直观。线性系统的仿真（模拟）连续系统相加、倍乘、积分 离散系统相加、倍乘、延时系统框图信号流图由美国麻省理工学院的梅森（Mason）于20世纪50年 代首先提出。应用于：反馈系统分析、线性方程组求解、线性系统 模拟及数字滤波器设计等方面。,信号流图方法的主要优点,系统模型的表示简明清楚；简化系统函数的计算方程。,二系统的信号流图表示法,实际上是用一些点和支路来描述系统：流图方框图称为结点线段表示信号传输的路径，称为支路。信号的传输方向用箭头表示，转移函数标在箭头附 近，相当于乘法器。,术语定义,结点：表示系统中变量或信号的点。转移函数：两个结点之间的增益称为转移函数。支路：连接两个结点之

4、间的定向线段，支路的增 益即为转移函数。输入结点或源点：只有输出支路的结点，它对应 的是自变量（即输入信号）。输出信号或阱点：只有输入支路的结点，它对应 的是因变量（即输出信号）。混合结点：既有输入支路又有输出支路的结点。通路：沿支路箭头方向通过各相连支路的途径（不允许有 相反方向支路存在）。,开通路：通路与任一结点相交不多于一次。闭通路：如果通路的终点就是起点，并且与任何 其他结点相交不多于一次。闭通路又称环路。环路增益：环路中各支路转移函数的乘积。不接触环路：两环路之间没有任何公共结点。前向通路：从输入结点（源点）到输出结点（阱点）方向的通路上，通过任何结点不多于一次的全部路径。前向通路增

5、益：前向通路中，各支路转移函数的乘积。,三信号流图的获取,由电路观察选择回路电流、节点电压为节点变量；列出各变量间的因果关系；作流图。由模拟图获取将变量表示为节点，加法器的输出由混合节点表 示数乘器用带支路增益的支路表示；积分器用带增 益1/s的支路表示。由系统函数获取分母的和式中每一项对应一个环路；分子的和式中每一项对应一个前向通路；,四信号流图的性质,（1）支路表示了一个信号与另一信号的函数关系，信号只能沿着支路上的箭头方向通过。,（2）结点可以把所有输入支路的信号叠加，并把总和信 号传送到所有输出支路。,（3）具有输入和输出支路的混合结点，通过增加一个具 有单传输的支路，可以把它变成输出

6、结点来处理。,给定系统，信号流图形式并不是惟一的。这是由 于同一系统的方程可以表示成不同形式，因而可以 画出不同的流图。流图转置以后，其转移函数保持不变。所谓转置 就是把流图中各支路的信号传输方向调转，同时把 输入输出结点对换。,五信号流图的代数运算,（1）有一个输入支路的结点值等于输入信号乘以支路增 益。,（2）串联支路的合并总增益等于各支路增益的乘积。,（3）并联支路的合并：并联相加,（4）混合结点的消除,（5）环路的消除,总结：可以通过如下步骤简化信号流图，从而求得系 统函数。串联支路合并，减少结点；并联支路合并，减少支路；消除环路。,（6）信号流图的梅森增益公式,式中：称为流图的特征行

7、列式。,表示由源点到阱点之间第k条前向通路的 标号。表示由源点到阱点之间的第 条前向通路的增益。称为对于第 条前向通路特征行列式的余因子。它是除去与k条前向通路相接触的环路外，余下的特征 行列式。,大连海事大学信息工程学院图像研究室2004.1,9.3 连续时间系统状态方程的 建立,状态方程的一般形式和建立方法概述由电路图直接建立状态方程由系统的输入-输出方程或流图建立状态方程将系统函数分解建立状态方程,一状态方程的一般形式和建立方法概述,一个动态连续系统的时域数学模型可利用信号的各阶 导数来描述。作为连续系统的状态方程表现为状态变 量的联立一阶微分方程组，即,m个输入信号r个输出信号为系统的

8、k个状态变量。,状态方程,输出方程,如果系统是线性时不变的，则状态方程和输出方程是 状态变量和输入信号的线性组合，即：,表示为矢量矩阵形式,状态方程输入方程,状态方程和输出方程分析的示意结构图,是积分环节，它的输入为，输出为。若矩阵是的函数，表明系统是线性时变 的，对于线性时不变系统，的各元素都为常 数，不随改变。,状态变量的特性,每一状态变量的导数是所有状态变量和输入激 励信号的函数；每一微分方程中只包含有一个状态变量对时间的导数；输出信号是状态变量和输入信号的函数；通常选择动态元件的输出作为状态变量，在连续系统中 是选积分器的输出。建立给定系统的状态方程的方法分为直接法和间接法 两类：直接

9、法主要应用于电路分析、电网络（如滤 波器）的计算机辅助设计；间接法常见于控制系统研究。,二由电路图直接建立状态方程,选取独立的电容上电压和电感中电流为状态变量，有时也选电容电荷与电感磁链。对包含有电容的回路列写回路电压方程，其中必然,包括,，对连接有电容的结点列结点电流方程，其,中必然包含，注意只能将此项放在方程左边。把方程中非状态变量用状态变量表示。把状态方程和输出方程用矩阵形式表示。,状态变量的个数等于系统的阶数。对于较简单的电路，用直观的方法容易列写状态方程。当电路结构相对复杂时，往往要借助计算机辅助设计（CAD）技术。,三由系统的输入-输出方程或流图建立状态方程,假定某一物理系统可用如

10、下微分方程表示,此系统为k 阶系统，输入信号的最高次导数也为k 次 系统函数为,为便于选择状态变量，系统函数表示成,当用积分器来实现该系统时，其流图如下,取积分器的输出作为状态变量，如图中所标的,状态方程,输出方程,表示成矢量矩阵的形式状态方程,输出方程,简化成对应A,B,C,D的矩阵分别为,四将系统函数分解 建立状态方程,将系统函数的分母分解因式，可以对应构成并联或串联 形式的流图结构，即可列出不同形式的状态方程。（一）用流图的并联结构形式列状态方程（二）用流图的串联结构形式列状态方程,大连海事大学信息工程学院图像研究室2004.1,9.4 连续时间系统状态方程的求解,用拉普拉斯变换法求解状

11、态方程用时域法求解状态方程,时域方法借助计算机变换域方法简单 由状态方程求系统函数,一用拉普拉斯变换法求解状态方程,方程,，起始条件,方程两边取拉氏变换,整理得,因而时域表示式为,可见，在计算过程中最关键的一步是求,。,若系统为零状态的，则则系统的转移函数矩阵为,是第i个输出分量对第j个输入分量的转移函数。,二用时域法求解状态方程,(一)矩阵指数1矩阵指数的定义,方阵,也是一个,方阵,式中为2.主要性质,(二)用时域方法求解状态方程,1.求状态方程和输出方程,若已知,并给定起始状态矢量,对式(1)两边左乘,，移项有,(1),化简，得,两边取积分，并考虑起始条件，有,对上式两边左乘，并考虑到,，

12、可得,为方程的一般解 求输出方程r(t),无穷项之和的表示式中高于次的各 幂次的各项之和，经整理后即可将,依此原理，将 项全部化为化为有限项之和,以下幂次的各项之和表,也即，对于 示，式中,，可利用 为各项系数。,凯莱-哈密顿定理（Cayley-Hamiton theorem）：对于方阵A有如下特性：(2),(3),式中各系数 c 都是时间t 的函数，为书写简便省略了 变量t。,按照凯莱-哈密顿定理，将矩阵A的特征值代入式(2)后，方程仍满足平衡，利用这一关系可求得式(3)中的 系数c，最后解出。具体计算步骤：求矩阵A的特征值；将各特征值分别代入式（3），求系数c。,第一种情况,，代入式,A的

13、特征值各不相同，分别为(3)有,(4),第二种情况,若A的特征根,具有m阶重根，则重根部分方程为,其他非重根部分与式(4)相同处理，两者联立解得要求 的系数。,(5),大连海事大学信息工程学院图像研究室2004.1,9.5 离散时间系统状态方程 的建立,状态方程的一般形式和建立方法概述由系统的输入 输出差分方程建立状态方程给定系统的方框图或流图建立状态方程由研究对象的运动规律直接建立状态方程,一状态方程的一般形式和建立方法概述,离散系统的状态方程：一阶差分方程组为系统的状态变量；为系统的m 个输入信号；为系统的r 个输出信号。,输出方程：,状态方程：,如果系统是线性时不变系统，则状态方程和输出

14、方程是状 态变量和输入信号的线形组合，即,状态方程：,输出方程：,可见：n+1时刻的状态变量是n时刻状态变量和输入信号的 函数。在离散系统中，动态元件是延时单元，因而状态变 量常常选延时单元的输出。,表示成矢量方程形式,各矩阵说明,图中，是延时单元，它的输入为，输出。若A,B,C,D 矩阵是n 的函数，表明系统是线性时变的，若系统是线性时不变的，则A,B,C,D 各元素都为常数，不随n 改变。,示意结构图,二由系统的输入输出差分方程建立状态方程,对于离散系统通常用下列阶差分方程描述（输 入输出方程）,其系统函数为,考虑到离散系统用延时单元来实现，因而上式改写为,其流图形式,选延时单元输出作为状

15、态变量，则有,表示成矢量方程形式为,其中,三给定系统的方框图或流图建立状态方程,给定离散系统的方框图或流图，很容易建立系统的状 态方程，只要取延时单元的输出作为状态变量即可。,四由研究对象的运动规律直接建立状态方程,大连海事大学信息工程学院图像研究室2004.1,9.6 离散时间系统状态方程的 求解,离散系统状态方程的求解和连续系统的求解方法类似，包括时域和变换域两种方法。矢量差分方程的时域求解An的计算离散系统状态方程的z变换解,概述,一矢量差分方程的时域 求解,离散系统的状态方程表示为,以下用迭代法，求,时刻的值：,（1）此式为一阶差分方程，可以应用迭代法求解。设给定系统的起始状态为：在，

16、则按式(1)有,对于任意n 值，当,可归结为,上式中，当第一项决定，即 可给出完整的,时第二项不存在，此时的结果只由 本身，只有当时，式(2)才之结果。,(2),值的限制以阶跃信,如果起始时刻选，并将上述对 号的形式写入表达式，于是有,还可解得输出为,由两部分组成：一是起始状态经转移后在时刻得到的响应分量；另一是对时刻以前的输入量的响应。它们分别 称为零输入解和零状态解。其中称为离散系统的状态转移矩阵，它与连续系统中 的含义类似，也用符号表示，写作它决定了系统的自由运动情况。,，则系统的单位,可以看出，零状态解中，若令 样值响应为,可见，零状态解正是,与的卷积和，也可写作,二 的计算,关键：计算状态转移矩阵，即。利用凯莱一哈密顿定理，,(3)为A的n个独立的特征单根，用下列联立方,设程组求系数,将,分别代入（3），即可。,为A 的m 阶重根，,若的特征根为重根的情况，例如 则对重根部分计算为,三离散系统状态方程的变换解,和连续系统的拉氏变换方法类似，离散系统的变换 方法也使状态方程的求解显得容易一些。由离散系统的状态方程和输出方程,两边取变换整理,得到,取其逆变换即得时域表示式为:,状