范文高考数学理科一轮复习等比数列及其前n项和学案含答案.docx

1、范文高考数学理科一轮复习等比数列及其前n项和学案含答案高考数学（理科）一轮复习等比数列及其前n项和学案含答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案30等比数列及其前n项和导学目标：1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题自主梳理等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_，通常用字母_表示2等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项a

2、n_.3等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项4等比数列的常用性质通项公式的推广：anam•_若an为等比数列，且klmn，则_若an，bn是等比数列，则an，1an，a2n，an•bn，anbn仍是等比数列单调性：a1>0，q>1或a1<00<q<1⇔an是_数列；a1>0，0<q<1或a1<0q>1⇔an是_数列；q1⇔an是_数列；q<0⇔an是_数列5等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q，其

3、前n项和为Sn，当q1时，Snna1；当q1时，Sna11qn1qa1qn1q1a1qnq1a1q1.6等比数列前n项和的性质公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为_自我检测“bac”是“a、b、c成等比数列”的A充分不必要条件B必要不充分条件c充要条件D既不充分也不必要条件2若数列an的前n项和Sn3na，数列an为等比数列，则实数a的值是A3B1c0D13设f2242723n1，则f等于A.27B.27c.27D.274已知等比数列an的前三项依次为a2，a2，a8，则

4、an等于A8•32nB8•23nc8•32n1D8•23n15设an是公比为q的等比数列，|q|>1，令bnan1，若数列bn有连续四项在集合53，23,19,37,82中，则6q_.探究点一等比数列的基本量运算例1已知正项等比数列an中，a1a52a2a6a3a7100，a2a42a3a5a4a636，求数列an的通项an和前n项和Sn.变式迁移1在等比数列an中，a1an66，a2•an1128，Sn126，求n和q.探究点二等比数列的判定例2已知数列an的首项a15，前n项和为Sn，且Sn12Snn5，nN*.证明数列an

5、1是等比数列；求an的通项公式以及Sn.变式迁移2设数列an的前n项和为Sn，已知a12a23a3nanSn2n求a2，a3的值；求证：数列Sn2是等比数列探究点三等比数列性质的应用例3在等比数列an中，a1a2a3a4a58，且1a11a21a31a41a52，求a3.变式迁移3已知等比数列an中，有a3a114a7，数列bn是等差数列，且b7a7，求b5b9的值；在等比数列an中，若a1a2a3a41，a13a14a15a168，求a41a42a43a44.分类讨论思想与整体思想的应用例设首项为正数的等比数列an的前n项和为80，它的前2n项和为6560，且前n项中数值最大的项为54，求此

6、数列的第2n项【答题模板】解设数列an的公比为q，若q1，则Snna1，S2n2na12Sn.S2n65602Sn160，q1，2分由题意得a11qn1q80，a11q2n1q6560.4分将整体代入得806560，qn81.6分将qn81代入得a180，a1q1，由a1>0，得q>1，数列an为递增数列8分ana1qn1a1q•qn81•a1q54.a1q23.10分与a1q1联立可得a12，q3，a2n232n112分【突破思维障碍】分类讨论的思想：利用等比数列前n项和公式时要分公比q1和q

7、1两种情况讨论；研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a1>0，q>1或a1<0,0<q<1时为递增数列；当a1<0，q>1或a1>0,0<q<1时为递减数列；当q<0时为摆动数列；当q1时为常数列函数的思想：等比数列的通项公式ana1qn1a1q•qn常和指数函数相联系整体思想：应用等比数列前n项和时，常把qn，a11q当成整体求解本题条件前n项中数值最大的项为54的利用是解决本题的关键，同时将qn和a11qn1q的值整体代入求解，简化了运算，体现了整体代换的思想，在解决有关数列求和的

8、题目时应灵活运用等比数列的通项公式、前n项公式分别为ana1qn1，Snna1，q1，a11qn1q，q1.2等比数列的判定方法：定义法：即证明an1anq中项法：证明一个数列满足a2n1an•an23等比数列的性质：anam•qnm；若an为等比数列，且klmn，则ak•alam•an；设公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn.4在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q1或q1作出判断；计算过程中要注意整体代入的思想方法5等差数列与等比数列的关系是

9、：若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列是非零常数列；若an是等比数列，且an>0，则lgan构成等差数列一、选择题设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和已知a2a41，S37，则S5等于A.152B.314c.334D.1722设Sn为等比数列an的前n项和，8a2a50，则S5S2等于A11B8c5D113在各项都为正数的等比数列an中，a13，前三项的和S321，则a3a4a5等于A33B72c84D1894等比数列an前n项的积为Tn，若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是AT10BT13cT17DT255记等比数

10、列an的前n项和为Sn，若S32，S618，则S10S5等于A3B5c31D33题号2345答案二、填空题6设an是公比为正数的等比数列，若a11，a516，则数列an前7项的和为_7在等比数列an中，公比q2，前99项的和S9930，则a3a6a9a99_.8在等比数列an中，若公比q4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an_.三、解答题9已知an是公差不为零的等差数列，a11，且a1，a3，a9成等比数列求数列an的通项；求数列2an的前n项和Sn.0已知数列log2为等差数列，且a13，a25.求证：数列an1是等比数列；求1a2a11a3a21an1an的值1已知等差数列an的

11、首项a11，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列bn的第2项、第3项、第4项求数列an与bn的通项公式；设数列cn对nN*均有c1b1c2b2cnbnan1成立，求c1c2c3cXX.答案自主梳理公比q2.a1•qn14.qnmak•alam•an递增递减常摆动6.qn自我检测D2.B3.B4.c5.9课堂活动区例1解题导引在等比数列的通项公式和前n项和公式中共有a1，an，q，n，Sn五个量，知道其中任意三个量，都可以求出其余两个量解题时，将已知条件转化为基本量间的关系，然后利用方程组的思想求解；本例可将所有项都用a1和q表示，转化为

12、关于a1和q的方程组求解；也可利用等比数列的性质来转化，两种方法目的都是消元转化解方法一由已知得：a21q42a21q6a21q8100，a21q42a21q6a21q836.，得4a21q664，a21q616.代入，得16q221616q2100.解得q24或q214.又数列an为正项数列，q2或12.当q2时，可得a112，an122n12n2，Sn12122n112；当q12时，可得a132.an3212n126n.Sn32112n1126426n.方法二a1a5a2a4a23，a2a6a3a5，a3a7a4a6a25，由a1a52a2a6a3a7100，a2a42a3a5a4a636

13、，可得a232a3a5a25100，a232a3a5a2536，即2100，236.a3a510，a3a56.解得a38，a52，或a32，a58.当a38，a52时，q2a5a32814.q>0，q12，由a3a1q28，得a132，an3212n126n.Sn3226n121126426n.当a32，a58时，q2824，且q>0，q2.由a3a1q2，得a12412.an122n12n2.Sn12212n112.变式迁移1解由题意得a2•an1a1•an128，a1an66，解得a164，an2或a12，an64.若a164，an2，则Sna1anq1

14、q642q1q126，解得q12，此时，an264•12n1，n6.若a12，an64，则Sn264q1q126，q2.an642•2n1.n6.综上n6，q2或12.例2解题导引证明数列是等比数列的两个基本方法：an1anqa2n1anan2证明数列不是等比数列，可以通过具体的三个连续项不成等比数列来证明，也可用反证法证明由已知Sn12Snn5，nN*，可得n2时，Sn2Sn1n4，两式相减得Sn1Sn21，即an12an1，从而an112，当n1时，S22S115，所以a2a12a16，又a15，所以a211，从而a212，故总有an112，nN*，又a15，a11

15、0，从而an11an12，即数列an1是首项为6，公比为2的等比数列解由得an16•2n1，所以an6•2n11，于是Sn6•12n6•2nn6.变式迁移2解a12a23a3nanSn2n，当n1时，a1212；当n2时，a12a24，a24；当n3时，a12a23a326，a38.证明a12a23a3nanSn2n，当n2时，a12a23a3an1Sn12得nanSnSn12nSn2Sn12nanSn2Sn12.Sn2Sn120，即Sn2Sn12，Sn22S1240，Sn120，Sn2Sn122，故Sn2是以4为首项，2为公比的等比数列例3解题

16、导引在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mnpq，则am•anap•aq”，可以减少运算量，提高解题速度解由已知得a11a21a31a41a5a1a5a1a5a2a4a2a4a3a23a1a2a3a4a5a238a232，a234，a32.若a32，设数列的公比为q，则2q22q22q2q28，即1q21q1qq21q122q122124.此式显然不成立，经验证，a32符合题意，故a32.变式迁移3解a3a11a274a7，a70，a74，b74，bn为等差数列，b5b92b78.a1a2a3a4a1•a1q•

17、a1q2•a1q3a41q61.a13a14a15a16a1q12•a1q13•a1q14•a1q15a41•q548.：a41•q54a41•q6q488⇒q162，又a41a42a43a44a1q40•a1q41•a1q42•a1q43a41•q166a41•q6•q160•101•2101024.课后练习区Ban是由正数组成的等比数列，且a2a41，设an的公比为q，则q>0，且a231，即a

18、31.S37，a1a2a31q21q17，即6q2q10.故q12或q13，a11q24.S541128314.2A由8a2a50，得8a1qa1q40，所以q2，则S5S2a1a111.3c由题可设等比数列的公比为q，则31q21⇒1qq27⇒q2q60⇒0，根据题意可知q>0，故q2.所以a3a4a5q2S342184.4ca3a6a18a31q25173a39，即a9为定值，所以下标和为9的倍数的积为定值，可知T17为定值5D因为等比数列an中有S32，S618，即S6S3a11qa11q1q31829，故q2，从而S10S5a11qa11q1q

19、512533.6127解析公比q4a5a116，且q>0，q2，S712712127.7.1207解析S9930，即a130，数列a3，a6，a9，a99也成等比数列且公比为8，a3a6a9a994a1184a1747301207.84n1解析等比数列an的前3项之和为21，公比q4，不妨设首项为a1，则a1a1qa1q2a121a121，a11，an14n14n1.9解由题设知公差d0，由a11，a1，a3，a9成等比数列，得12d118d12d，解得d1或d0故an的通项an11n.由知2an2n，由等比数列前n项和公式，得Sn222232n2122n12.0证明设log2log2d

20、，因为a13，a25，所以dlog2log2log24log221，所以log2n，所以an12n，所以an1an112，所以an1是以2为首项，2为公比的等比数列解由可得an1•2n1，所以an2n1，所以1a2a11a3a21an1an12221232212n12n1212212n112n.1解由已知有a21d，a514d，a14113d，2解得d2an1•22n1.又b2a23，b3a59，数列bn的公比为3，bn3•3n23n1.由c1b1c2b2cnbnan1得当n2时，c1b1c2b2cn1bn1an.两式相减得：当n2时，2bn2•3n1又当n1时，c1b1a2，32•3n1.c1c2c3cXX3623XX1333XX.