最新偏微分方程数值解双曲方程书稿.docx

1、最新偏微分方程数值解双曲方程书稿偏微分方程数值解(双曲方程书稿)双曲型方程的有限差分法线性双曲型方程定解问题：（a）一阶线性双曲型方程Skip Record If.（b）一阶常系数线性双曲型方程组Skip Record If.其中Skip Record If.，Skip Record If.阶常数方程方阵，Skip Record If.为未知向量函数。（c）二阶线性双曲型方程（波动方程）Skip Record If.Skip Record If.为非负函数（d）二维，三维空间变量的波动方程Skip Record If.Skip Record If.1 波动方程的差分逼近1.1 波动方程及其特征

2、线性双曲型偏微方程的最简单模型是一维波动方程：（1.1） Skip Record If.其中Skip Record If.是常数。（1.1）可表示为：Skip Record If.，进一步有Skip Record If.由于Skip Record If.当Skip Record If.时为Skip Record If.的全导数（Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.）,故由此定出两个方向（1.3） Skip Record If.解常微分方程（1.3）得到两族直线（14） Skip Record If. 和 Skip Record If.称其为

3、特征。特征在研究波动方程的各种定解问题时，起着非常重要的作用。比如，我们可通过特征给出（1.1）的通解。（行波法、特征线法）将（1.4）视为Skip Record If.与Skip Record If.之间的变量替换。由复合函数的微分法则Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.同理可得Skip Record If.，Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.将Skip Record If.和Skip Reco

4、rd If.代入（1.1）可得：Skip Record If.Skip Record If.即有 Skip Record If.求其对Skip Record If.的积分得：Skip Record If. 其中Skip Record If.是Skip Record If.的任意可微函数。再求其对Skip Record If.的积分得：（1.5） Skip Record If. Skip Record If.其中Skip Record If.和Skip Record If.均为任意的二次连续可微函数。（1.5）为（1.1）的通解，即包含两个任意函数的解。为了确定函数Skip Record If.

5、和Skip Record If.的具体形式，给定Skip Record If.在Skip Record If.轴的初值（1.5） Skip Record If.将（1.5）式代入上式，则有（）Skip Record If.注意Skip Record If.Skip Record If.；Skip Record If.Skip Record If.，有（）Skip Record If.并对Skip Record If.积分一次，得Skip Record If.与（）式联立求解，得Skip Record If.Skip Record If.将其回代到通解中，即得（1.1）在（1.5）条件下的解：（

6、1.6） Skip Record If. Skip Record If.Skip Record If.即为法国数学家Jean Le Rond dAlembert (1717-1783)提出的著名的DAlembert公式。由DAlembert公式还可以导出解的稳定性，即当初始条件（1.5）仅有微小的误差时，其解也只有微小的改变。如有两组初始条件：Skip Record If.满足 Skip Record If.，Skip Record If.，则Skip Record If. Skip Record If.+Skip Record If.Skip Record If.即Skip Record I

7、f.Skip Record If.Skip Record If.显然，当Skip Record If.有限时，解是稳定的。此外，由DAlembert公式可以看出，解在Skip Record If.点，Skip Record If.的值仅依赖于Skip Record If.轴上区间Skip Record If.内的初始值Skip Record If.，Skip Record If.，与其他点上的初始条件无关。故称区间Skip Record If.为点Skip Record If.的依存域。它是过点Skip Record If.的两条斜率分别为Skip Record If.的直线在Skip Rec

8、ord If.轴上截得的区间。对于初始轴Skip Record If.上的区间Skip Record If.，过Skip Record If.点作斜率为Skip Record If.的直线Skip Record If.；过Skip Record If.点作斜率为Skip Record If.的直线Skip Record If.。它们和区间Skip Record If.一起构成一个三角区域。此三角区域中任意点Skip Record If.的依存区间都落在Skip Record If.内部。所以解在此三角形区域中的数值完全由区间Skip Record If.上的初始条件确定，而与区间外的初始条件无

9、关。这个三角形区域称为区间Skip Record If.的决定域。在Skip Record If.上给定初始条件，就可以在其决定域中确定初值问题的解。1.2显格式现在构造（1.1）的差分逼近。取空间步长Skip Record If.和时间步长Skip Record If.，用两族平行直线Skip Record If.，Skip Record If.，Skip Record If.，Skip Record If.作矩形网络。于网点Skip Record If.处Taylor展开成Skip Record If.Skip Record If.代入（1.1）,并略去截断误差，则得差分格式：（1.7）

10、Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.，Skip Record If.这里Skip Record If.表示Skip Record If.于网点Skip Record If.处的近似值。初值条件（1.5）用下列差分方程近似：（1.8） Skip Record If.（1.9） Skip Record If.注意：（1.7）的截断误差阶是Skip Record If.，而（1.9）的截断误差阶仅是Skip Record If.。为此需要提高（1.9）的精度，可用中心差商代替Skip Record If.，即（1.10） Skip Record

11、If.为了处理Skip Record If.，在（1.7）中令Skip Record If.，得Skip Record If.Skip Record If.进一步，Skip Record If.Skip Record If.其中Skip Record If.。并用（1.10）式的Skip Record If.代入上式得Skip Record If.Skip Record If.即（1.11） Skip Record If.Skip Record If.这样，利用（1.8） (1.11)，可以由初始层Skip Record If.的已知值，算出第一层Skip Record If.各网格节点上的值

12、。然后利用（1.7）或显式三层格式（1.12） Skip Record If.Skip Record If.可以逐层求出任意网点值。以上显式三层格式也可用于求解混合问题：（1.13）Skip Record If.取Skip Record If.，Skip Record If.。除（1.7）（1.9）外。再补充边值条件（1.14） Skip Record If.，Skip Record If.13稳定性分析下面我们要讨论（1.7）的稳定性。为引用Fourier方法，我们把波动方程（1.1）化成一阶偏微分方程组，相应地把显式三层格式（1.7）化成二层格式。一种简单的做法是引进变量Skip Reco

13、rd If.，于是（1.1）化为Skip Record If.，Skip Record If.这样会使得初值Skip Record If.与Skip Record If.不适定（不唯一），更合理的方法是再引进一个变量Skip Record If.，将(1.1)化为（1.15） Skip Record If.，Skip Record If.，Skip Record If.注意到：Skip Record If.；Skip Record If.若令Skip Record If.，Skip Record If.，则(1.5)可写成(1.16) Skip Record If.相应地，将（1.7）写成等价

14、的双层格式：(1.17) Skip Record If.即Skip Record If. Skip Record If.其中Skip Record If.，Skip Record If.Skip Record If.。可直接验证之。记Skip Record If.为网比。用Fourier方法可以证明，差分方程(1.17)稳定的必要条件是网比（1.19） Skip Record If.Skip Record If.。充分条件是网比（1.19） Skip Record If.Skip Record If.。Courant等证明，Skip Record If.时，差分解仍稳定，收敛。但是要求有更光滑

15、的初值。习惯上也称Skip Record If.为Courant条件或C-F-L（Courant-Fridrichs-Lewy）条件。稳定性条件（1.19）有直观的几何解释。从方程（1.12）Skip Record If.Skip Record If.可看出，Skip Record If.依赖于前两层的值：Skip Record If.，Skip Record If.，Skip Record If.，Skip Record If.，而这四个值由依赖于，Skip Record If.依赖于：Skip Record If.，Skip Record If.，Skip Record If.，Skip

16、Record If.Skip Record If.依赖于：Skip Record If.，Skip Record If.，Skip Record If.，Skip Record If.Skip Record If.依赖于：Skip Record If.，Skip Record If.，Skip Record If.，Skip Record If.Skip Record If.依赖于：Skip Record If.Skip Record If.，Skip Record If.，Skip Record If.以此类推，可知，Skip Record If.最终依赖于初始层Skip Record If

17、.上的下列值：Skip Record If.，Skip Record If.， ，Skip Record If.， ，Skip Record If.，Skip Record If.因此，称Skip Record If.轴上含于区间Skip Record If.的网点为差分解Skip Record If.的依存域，它是Skip Record If.轴上被过Skip Record If.和Skip Record If.以及Skip Record If.和Skip Record If.的两条直线所切割下来的区间所覆盖的网域。而过Skip Record If.的两条特征线为：Skip Record I

18、f.。差分格式稳定的必要条件为：Skip Record If.Skip Record If.或Skip Record If.，并且进而Skip Record If.。可见差分格式稳定的必要条件是：差分解的依存域必须包含微分方程解的依存域，否则差分格式不稳定。用依存域的概念容易证明：当Skip Record If.时，差分解不收敛。1.4 隐式为了得到绝对稳定的差分格式，用第Skip Record If.层、Skip Record If.层、Skip Record If.层的中心差商的加权平均去逼近Skip Record If.得到下列差分格式： Skip Record If.Skip Reco

19、rd If.或 Skip Record If.其中Skip Record If.是参数。 可以证明，对于Skip Record If.时，差分格式绝对稳定；Skip Record If.时，差分格式的充要条件是：Skip Record If.。当Skip Record If.就是显格式（1.7），一个常用的隐式格式是取Skip Record If.此时，差分格式为：Skip Record If.Skip Record If.或 Skip Record If.高维波动方程！3 一阶双曲方程双曲方程与椭圆方程和抛物方程的一个重要区别是，双曲方程具有特征和特征关系，其解对初值有局部依赖性质。初值的函

20、数性质（如间断、弱间断等）也沿着特征传播，因而其解一般没有光滑性质。我们在构造双曲方程的差分逼近时，应充分注意这些特性。下面对于一阶双曲方程，介绍几种常见的差分格式3.1 迎风格式首先考虑一阶线性常系数双曲方程（3.1） Skip Record If.此方程虽简单，但是对我们构造差分格式很有启发。我们的主要的目的是构造差分格式，因此只限于考虑纯初值问题。对于（3.1）按照用差商代替微商的方法，自然有如下三种格式：Skip Record If. Skip Record If. （左偏心格式）Skip Record If. Skip Record If. （右偏心格式）Skip Record If

21、. Skip Record If. （中心格式）其中Skip Record If.和Skip Record If.的截断误差的阶为Skip Record If.，Skip Record If.的截断误差的阶为Skip Record If.。记（3.3） Skip Record If.将Skip Record If.Skip Record If.式改写为：Skip Record If. Skip Record If.Skip Record If. Skip Record If.Skip Record If. Skip Record If.用Fourier方法分析稳定性可知，Skip Record

22、 If.绝对不稳定。Skip Record If.时，Skip Record If.不稳定，而Skip Record If.当Skip Record If.稳定，；Skip Record If.时， Skip Record If.不稳定，而Skip Record If.当Skip Record If.稳定。这两个稳定条件意味着差分方程的依存域必须包含微分方程的依存域。同样的思想可用于构造变系数方程Skip Record If.的差分格式。此时Skip Record If.可能变号，因此相应的格式为：（3.6） Skip Record If. 其中Skip Record If.。稳定性条件为（3

23、.7） Skip Record If.由（3.7），并取Skip Record If.，则知Skip Record If.和Skip Record If.右端的系数非负。当Skip Record If.时，Skip Record If.当Skip Record If.时，Skip Record If.其中Skip Record If.是以Skip Record If.为分量的的向量。总之，Skip Record If.。这说明（3.6）稳定，按气体力学的含义（表示气流速度），称（3.6）为迎风格式。 初边值问题：边值条件应该在迎风方向给出! 3.2 积分守恒的差分格式 迎风格式是根据特征走向构

24、造出来的向前或向后差分格式。现在以积分守恒方程出发构造差分格式。所谓守恒方程是指如下散度型偏微分方程（3.13） Skip Record If.设Skip Record If.是Skip Record If.平面中任意有界域，由Green公式Skip Record If.Skip Record If.其中Skip Record If.。于是可将（3.13）写成积分守恒方程（3.14） Skip Record If.Skip Record If.0 1. Lax格式首先，我们从（3.14）出发构造所谓Lax格式。取Skip Record If.为Skip Record If.，Skip Reco

25、rd If.，Skip Record If.和Skip Record If.为顶点的开矩形。Skip Record If.为其边界，则（3.15） Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.+Skip Record If.+Skip Record If.+Skip Record If.右端第一积分用梯形公式，第二积分用中矩形公式即 Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.，Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.第三、第四积分用如下矩形公式计算：S

26、kip Record If.Skip Record If.Skip Record If.，Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.从而有Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.两端同除以Skip Record If.得Lax格式（3.16） Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.其中Skip Record If.，此格式的截断误差为Skip Record If.。特别地，Skip Record If.时，Lax格式为关于Skip Record

27、If.的显格式：Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.即 Skip Record If.其稳定性条件为 Skip Record If.。现在回过头来看绝对不稳定格式Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Lax格式实际是用Skip Record If.取代Skip Record If.的结果，这样一个变化就使得绝对不稳定格式成为条件稳定，并保持截断误差为Skip Record If.。双曲方程组Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.即Skip Record If.若矩阵Skip Record If.相似于对角矩阵，则称为双曲方程组，可以化成Skip Record If.个一阶双曲方程组，分别求解。Skip Re