参考中考数学黄金知识点系列专题15等腰三角形.docx

1、参考中考数学黄金知识点系列专题15等腰三角形（参考）2019年中考数学黄金知识点系列专题15等腰三角形聚焦考点温习理解一、等腰三角形1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60。（2）等腰三角形的其他性质：等腰直角三角形的两个底角相等且等于45等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则a等腰三角

2、形的三角关系：设顶角为顶角为A，底角为B、C，则A=1802B，B=C=2、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论2：有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。二.等边三角形1.定义三条边都相等的三角形是等边三角形.2.性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于603.判定三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60的等腰三角形是

3、等边三角形.三.线段垂直平分线1.定义垂直一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.2.性质线段垂直平分线上的一点到这条线段的两端距离相等3.判定到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.名师点睛典例分类考点典例一、等腰三角形的性质【例1】（2016山东滨州第6题）如图，ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，A=50，则CDE的度数为（）A50 B51 C51.5 D52.5【答案】D.考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键【举一反三】

4、（2016山东枣庄第4题）如图，在ABC中，AB = AC，A = 30，E为BC延长线上一点，ABC与ACE的平分线相交于点D，则D等于A15 B17.5 C20 D22.5【答案】A.【解析】考点：等腰三角形的性质；三角形的内角和定理.考点典例二、等腰三角形的多解问题【例2】(2016湖南怀化第8题）等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则它的周长为（）A16cm B17cm C20cm D16cm或20cm【答案】C.【解析】试题分析：分当腰长为4cm或是腰长为8cm两种情况：当腰长是4cm时，则三角形的三边是4cm，4cm，8cm，4cm+4cm=8cm不满足三角形的三边关系；当腰长

5、是8cm时，三角形的三边是8cm，8cm，4cm，三角形的周长是20cm故答案选C考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系【点睛】题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论【举一反三】（2016湖南湘西州第14题）一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（）A13cm B14cm C13cm或14cm D以上都不对【答案】C.【解析】考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系考点典例三、等边三角形的性质与判定【例3】（2016年福建龙岩第15题）如图，ABC是等边三角形，BD平分A

6、BC，点E在BC的延长线上，且CE=1，E=30，则BC=【答案】2.【解析】试题分析： ABC是等边三角形，ABC=ACB=60，BA=BC，BD平分ABC，DBC=E=30，BDAC，BDC=90，BC=2DC，ACB=E+CDE，CDE=E=30，CD=CE=1，BC=2CD=2.考点：等边三角形.【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，解题的关键是利用性质和判定解决【举一反三】（2016四川达州第15题）如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60得到线段AQ，连接BQ若PA=6，PB=8，PC=10，则四边形APBQ的面积为【答案】24+9【解析】考点：旋转

7、的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定及性质考点典例四、线段垂直平分线的性质运用【例3】（2016湖南长沙第17题）如图，ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则BCE的周长为【答案】13【解析】试题分析：已知DE是AB的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，所以BCE的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13，考点：线段的垂直平分线的性质.【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟记性质是解题的关键【举一反三】（2016山东威海第10题）如图，在ABC中，B=C=36，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点H，

8、AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点G，连接AD，AE，则下列结论错误的是（）A= BAD，AE将BAC三等分CABEACD DSADH=SCEG【答案】A【解析】考点：黄金分割；全等三角形的判定与性质；线段的垂直平分线的综合运.课时作业能力提升一、选择题1. （2016湖南湘西州第14题）一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（）A13cm B14cm C13cm或14cm D以上都不对【答案】C.【解析】试题分析：分4cm为等腰三角形的腰和5cm为等腰三角形的腰两种情况：当4cm为等腰三角形的腰时，三角形的三边分别是4cm，4cm，5cm符合三角形的

9、三边关系，周长为13cm；当5cm为等腰三角形的腰时，三边分别是，5cm，5cm，4cm，符合三角形的三边关系，周长为14cm，故答案选C.考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系2. （2016四川甘孜州第9题）如图，在ABC中，BD平分ABC，EDBC，已知AB=3，AD=1，则AED的周长为（）A2B3C4D5【答案】C【解析】考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质3. （2016辽宁营口第8题）如图，在ABC中，ACB=90，分别以点A和点C为圆心，以相同的长（大于AC）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD下列结论错误的是（）AAD=CDB

10、A=DCECADE=DCBDA=2DCB【答案】D【解析】试题分析：DE是AC的垂直平分线，DA=DC，AE=EC，故A正确，DEBC，A=DCE，故B正确，ADE=CDE=DCB，故C正确，故选D考点：作图基本作图；线段垂直平分线的性质4. （2016河南第6题）如图，在ABC中，ACB=90，AC=8，AB=10. DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为【 】（A）6 （B）5 （C）4 （D）3【答案】D.【解析】考点：勾股定理；三角形的中位线定理. 5. （2016河北第16题）如图，AOB=120，OP平分AOB，且OP=2.若点M，N分别在OA，OB上，且PMN为等边三角形，则

11、满足上述条件的PMN有（ ）第16题图A1个 B2个 C3个 D3个以上【答案】d.【解析】试题分析：、分别在、上，一个；M、N其中一个和O点重合，2个；反向延长线上，有一个，故答案选D.考点：等边三角形的判定.6在平面直角坐标系中，点A（，），B（，），动点C在x轴上，若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为（）A2 B3 C4 D5【答案】B【解析】考点：1等腰三角形的判定；2坐标与图形性质；3分类讨论；4综合题；5压轴题7.（2016山东滨州第6题）如图，ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，A=50，则CDE的度数为（）A50 B51

12、C51.5 D52.5【答案】D.【解析】考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质二、填空题8. （2016贵州遵义第14题）如图，在ABC中，AB=BC，ABC=110，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则ABD= 度【答案】35【解析】试题分析：在ABC中，AB=BC，ABC=110，A=C=35，AB的垂直平分线DE交AC于点D，AD=BD，ABD=A=35，故答案为：35考点：线段垂直平分线的性质9. （2016江苏苏州第17题）如图，在ABC中，AB=10，B=60，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将BDE沿DE所在直线折叠得到BDE（点B在

13、四边形ADEC内），连接AB，则AB的长为【答案】2.【解析】试题分析：过点D作DFBE于点F，过点B作BGAD于点G，B=60，BE=BD=4，BDE是等边三角形，BDEBDE，BF=BE=BE=2，DF=2,GD=BF=2，BG=DF=2，AB=10，AG=106=4，AB=2考点：1轴对称；2等边三角形.10. （2016湖北随州第12题）已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x28x+15=0的根，则该等腰三角形的周长为【答案】19或21或23【解析】考点：一元二次方程的解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质11. （2016广西河池第18题）如图的三角形纸片中，AB=AC，BC=

14、12cm，C=30，折叠这个三角形，使点B落在AC的中点D处，折痕为EF，那么BF的长为 cm【答案】【解析】试题分析：过D作DHBC，过点A作ANBC于点N，AB=AC，B=C=30，根据折叠可得：DF=BF，EDF=B=30，AB=AC，BC=12cm，BN=NC=6cm，点B落在AC的中点D处，ANDH，NH=HC=3cm，DH=3tan30=（cm），设BF=DF=xcm，则FH=12x3=9x（cm），故在RtDFC中，故，解得：x=，即BF的长为：cm故答案为：考点：翻折变换（折叠问题）12. （2016内蒙古通辽第14题）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48，则该等腰三角形的

15、底角的度数为 【答案】69或21【解析】考点：等腰三角形的性质；分类讨论13. （2016福建南平第16题）如图，等腰ABC中，CA=CB=4，ACB=120，点D在线段AB上运动（不与A、B重合），将CAD与CBD分别沿直线CA、CB翻折得到CAP与CBQ，给出下列结论：CD=CP=CQ；PCQ的大小不变；PCQ面积的最小值为；当点D在AB的中点时，PDQ是等边三角形，其中所有正确结论的序号是 【答案】【解析】如图，过点Q作QEPC交PC延长线于E，PCQ=120，QCE=60，在RtQCE中，tanQCE=，QE=CQtanQCE=CQtan60=CQ，CP=CD=CQ，SPCQ=CPQE

16、=CPCQ=，CD最短时，SPCQ最小，即：CDAB时，CD最短，过点C作CFAB，此时CF就是最短的CD，AC=BC=4，ACB=120，ABC=30，CF=BC=2，即：CD最短为2，SPCQ最小=，错误；将CAD与CBD分别沿直线CA、CB翻折得到CAP与CBQ，AD=AP，DAC=PAC，DAC=30，APD=60，APD是等边三角形，PD=AD，ADP=60，同理：BDQ是等边三角形，DQ=BD，BDQ=60，PDQ=60，当点D在AB的中点，AD=BD，PD=DQ，DPQ是等边三角形，正确，故答案为：考点：几何变换综合题；定值问题；最值问题；综合题；翻折变换（折叠问题）14. （2

17、016四川达州第15题）如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60得到线段AQ，连接BQ若PA=6，PB=8，PC=10，则四边形APBQ的面积为【答案】24+9【解析】考点：旋转的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定及性质15.（2016湖南长沙第17题）如图，ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则BCE的周长为【答案】13【解析】考点：线段的垂直平分线的性质.16. （2016湖南娄底第17题）如图，将ABC沿直线DE折叠，使点C与点A重合，已知AB=7，BC=6，则BCD的周长为【答案】13【解析】试题分析：将ABC沿

18、直线DE折叠后，使得点A与点C重合，由折叠的性质可得AD=CD，由AB=7，BC=6，可得BCD的周长=BC+BD+CD=BC+BD+AD=BC+AB=7+6=13考点：翻折变换（折叠问题）三、解答题17. （2016山东淄博第22题）（8分）如图，已知ABC，AD平分BAC交BC于点D，BC的中点为M，MEAD，交BA的延长线于点E，交AC于点F（1）求证：AE=AF；（2）求证：BE=（AB+AC）【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】BE=BG=（BA+AG）=（AB+AC）考点：三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质18. （2016湖南怀化第17题）如图，已知AD=BC，

19、AC=BD（1）求证：ADBBCA；（2）OA与OB相等吗？若相等，请说明理由【答案】(1)详见解析；（2）OA=OB，理由详见解析.【解析】考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定19. （2016广西河池第21题）如图，AEBF，AC平分BAE，交BF于C（1）尺规作图：过点B作AC的垂线，交AC于O，交AE于D，（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的图形中，找出两条相等的线段，并予以证明【答案】（1）作图见解解析；（2）AB=AD=BC【解析】考点：作图基本作图；作图题20. （2016辽宁营口第25题）已知：如图，将D=60的菱形ABCD沿对角线AC剪开，将ADC沿射线DC

20、方向平移，得到BCE，点M为边BC上一点（点M不与点B、点C重合），将射线AM绕点A逆时针旋转60，与EB的延长线交于点N，连接MN（1）求证：ANB=AMC；探究AMN的形状；（2）如图，若菱形ABCD变为正方形ABCD，将射线AM绕点A逆时针旋转45，原题其他条件不变，（1）中的、两个结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请写出变化后的结论并证明【答案】（1）证明见解析；AMN是等边三角形；（2）成立，不成立，AMN是等腰直角三角形【解析】（2）如图2，ANB=AMC成立，理由是：在正方形ABCD中，BAC=DAC=BCA=45，NAM=45，NAB=MAC，由平移得：EBC=CAD=45，ABC=90，ABN=1809045=45，ABN=ACM=45，ANBAMC，ANB=AMC；如图2，不成立，AMN是等腰直角三角形，理由是：ANBAMC，NAM=BAC=45，NAMBAC，ANM=ABC=90，AMN是等腰直角三角形考点：四边形综合题；探究型；压轴题