超全排列组合二十种经典解法.docx

1、超全排列组合二十种经典解法超全排列组合二十种经典解超全的排列组合解法排列组合问题联系实际生动有趣，但题型 多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首 先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题 还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的 本质特征，采用合理恰当的方法来处理。教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数 原理。2.掌握解决排列组合问题的常用策略 ；能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生 解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问 复习巩固 1.分类计数原理（加法原理）完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同 的

2、方法，在第n类办法中有mn种不同的方 种不同的方法.法，那么完成这件事共有:2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有 m1种不同的方法，做第 2步有m2种不同的方 法，做第n步有mn种不同的方法，那么完 成这件事共有：N m1 m2 L mn种不同的方法.3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法 都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法 完成事件的一个阶段，不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还 是分类,或是分步与分类同时进行,

3、确定分多 少步及多少类。3.确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是 组合（无序）问题,元素总数是多少及取出多少 个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略1.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,123,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有c3 .I.然后排首位共有c1 ILLU最后排其它位置共有a3 1 J A 3 J由分步计数原理得位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最 常用也是最基本的方法，若以元素分析为主，需先练习题:7种不同的花种在排成一

4、列的花盆里 若两种葵花不种在中间，也不种在两端 的花盆里，问有多少不同的种法？2.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个 复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素， 第4页共22页再与其它元素进行排列，同时对相邻元素 内部进行自排。由分步计数原理可得共有 疋心；480种不同的排法要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 203.不相邻问题插空策略例3. 个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的 出场顺序

5、有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共 有a5种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的 6个元素中间包含首尾两个空位共有种 a：不 同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺 序共有a5a6 种元素相离问题可先把没有位置要求的元素 练习题：某班新年联欢会原定的 5个节目已排 成节目单，开演前又增加了两个新节目.如 果将这两个新节目插入原节目单中， 且两个 新节目不相邻，那么不同插法的种数为_0_4.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多 少不同的排法解：（倍缩法）对于某几个元素顺序一定的排列 问题,可先把这几个元素与其他元 素一起进行排列，然后用总排列数 除以

6、这几个元素之间的全排列数 则共有不同排法种数是:（空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外的 四人就坐共有 空种方法，其余的三 个位置甲乙丙共有 丄种坐法，则共 有空种方法。思考：可以先让甲乙丙就坐吗？（插入法）先排甲乙丙三个人,共有1种排法, 再把其余4四人依次插入共有 方法定序问题可以用倍缩练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排 5人，要求从左至右身高逐渐增加，共有多少 排法？Cw5.重排问题求幂策略例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多 少种不同的分法解:完成此事共分六步：把第一名实习生分配到 车间有 种分法.把第二名实习生分配到 车间也有7种分依此类推,由分步计数原理 共有於种

7、不同的排法允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象， 元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位练习题：1.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节 目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这 两个节目插入原节目单中，那么不同插法的 种数为422.某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们 到各自的一层下电梯,下电梯的方法786.环排问题线排策略例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法？ 解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成 圆形没有首尾之分，所以固定一人A：并从此位置把圆形展成直线其余7人共有(8-1)！种排法即7 ！一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种 排法.如果从n个不同元素中取

8、出 m个元素作圆形练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈1207.多排问题直排策略例7.8人排成前后两排,每排4人其中甲乙在 前排,丙在后排,共有多少排法解：8人排前后两排，相当于8人坐8把椅子, 可以把椅子排成一排个特殊元素有兰 种,再排后4个位置上的特殊元素丙有 冬种,其余的5人在5个位置上任意排 列有a；种,则共有a4a；a；种_前排_后排_一般地,元素分成多排的排列问练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12 个座位，现安排2人就座规定前排中 间的3个座位不能坐，并且这 2人不 左右相邻，那么不同排法的种数是3468.排列组合混合问题先选后排策略例8.有5个不同的小球,装入4个

9、不同的盒内, 每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元 共有c；2种方法.再把4个元素（包含一个复合元素）装入4个不同的盒内有A：种 方法，根据分步计数原理装球的方法共 有 C；A：-解决排IF列组合混合问题，先选后扌IF是最基本练习题：一个班有6名战士 ,其中正副班长各1 人现从中选4人完成四种不同的任务, 每人完成一种任务,且正副班长有且只 有1人参加,则不同的选法有192种 九小集团问题先整体后局部策略例9.用123,4,5 组成没有重复数字的五位数 其中恰有两个偶数夹 1, 5在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？解：把1 , 5 , 2, 4当作一

10、个小集团与3排 队共有乍种排法，再排小集团内部共有 空种排法,由分步计数原理共有a2a2a2 种排法.小集团排列问题中，先整体后局练习题:1 .计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画, 4幅油画,5幅国画,排成一行陈列,要求 同一 品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为典2典5典4A2A 5 A42. 5男生和5女生站成一排照像,男生相邻,女 生也相邻的排法有a；a5a5种十.元素相同问题隔板策略例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班 至少一个,有多少种分配方案？解：因为10个名额没有差别，把它们排成 一排。相邻名额之间形成9个空隙。在 9个空档中选6个位置插个

11、隔板， 可把 名额分成7份，对应地分给7个班级， 每一种插板方法对应一种分法共有C9种 分法。olo o|o|o o|o|o ol班将n个相同的元素分成m份（n, m为正整数）， 每份至少一个元素 页J共用2 喘 块隔板，插入 n练习题：1. 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？ C92 . x y z w 100求这个方程组的自然数解的组数CW3十一 .正难则反总体淘汰策略例11.从0,1,2,345,6,7,8,9 这十个数字中取出三个数，使其和为不小于 10的偶数,不同 的取法有多少种？解：这问题中如果直接求不小于 10的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字 中有5个偶数5

12、个奇数,所取的三个数含 有3个偶数的取法有o,只含有1个偶数的 取法有空,和为偶数的取法共有c5c c；。再 淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件 的取法共有c5c； C； 9有些排列组合问题,正面直接考虑比较复练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人 正、副班长、团支部书记至少有一人在内的 抽法有多少种？十二.平均分组问题除法策略例12. 6本不同的书平均分成3堆，每堆2本共 有多少分法？解:分三步取书得 空色种方法，但这里出现 重复计数的现象，不妨记6本书为 ABCDE，若第一步取 AB,第二步取 CD, 第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),则 cfcfc； 中 还 有(AB,E

13、F,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有 a3种取法, 而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法, 故共有c；c/a3种分法。平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情 况，所以分组后要一定要除以 (为均分的组数) 练习题：1将13个球队分成3组,一组5个队,其它两 组4个队,有多少分法？ （ g53C；c：/a2）2.10名学生分成3组,其中一组4人，另两组3 人但正副班长不能分在同一组 ,有多少种不同的分组方法 （1540）3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每 班安排2名，则不同的

14、安排方案种数为 （C：C；a6/a2 90）十三.合理分类与分步策略例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能 能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人 唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法 解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为 标准进行研究只会唱的5人中没有人选上唱歌人员 共有c|c|种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员c；c3c：种,只会唱的5人中 只有2人选上唱歌人员有C52c52种，由分c；cc5c3c： c；c；禾中。类计数原理共有解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性练习题：1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个 座 谈会，若这4人中必须

15、既有男生又有 女生，则不同的选法共有34_2.3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人，2 号船最多乘2人,3号船只能乘1人他们任选 2只船或3只船，但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法.（27）本题还有如下分类标准：*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准*以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准*以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准 都可经得到正确结果十四.构造模型策略例14.马路上有编号为123,4,5,6,7,8,9 的九只路灯，现要关掉其中的3盏,但不能 关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两 端的2盏,求满足条件的关灯方法有多 少种？解：把此问题当作一个排队模型在 6盏亮灯的5个

16、空隙中插入3个不亮的灯有种一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟练习题：某排共有10个座位，若4人就坐，每 人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少 种？ （ 120）十五.实际操作穷举策略例15.设有编号1,2,3,4,5 的五个球和编号1,2,3,4,5 的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且 恰好有两个球的编号与盒子的编号相同 ,有多少投法解：从5个球中取出2个与盒子对号有c；种 还剩下3球3盒序号不能对应，利用实 际操作法，如果剩下3,4,5号球,3,4,5 号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有 只有1种装法，同理3号球装5号盒 时,4,5号球有也只有1

17、种装法,由分步 计数原理有2C；种色B丄3号盒 4 号盒5号盒对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进练习题：1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺 年卡不同的分配方式有多少种？ （9）2.给图中区域涂色,要求相邻区域不同色,现 有4种可选颜色,则不同的着色方法有 TL.种十六.分解与合成策略例16. 30030能被多少个不同的偶数整除分析：先把30030分解成质因数的乘积形式 30030=2X 3X 5 X 7 X 11 X 13依题意可知偶因数必先取 2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积，所有的偶因数为：c5 C52 C53 C54 c?

18、 练习:正方体的8个顶点可连成多少对异面直线 解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构 成四体共有体共C： 12 58,每个四面体有 3对异面直线,正方体中的8个顶点 分解与合成策略对异面直合问题的一种最基本的 解题策略，把一个复杂问题分解成几个小问题逐十七化归策略例17. 25人排成5X 5方阵,现从中选3人，要 求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有 多少种？解：将这个问题退化成9人排成3X 3方 阵，现从中选3人，要求3人不在同一 行也不在同一列,有多少选法.这样 每行必有1人从其中的一行中选取1 人后,把这人所在的行列都划掉，如 此继续下去.从3X 3方队中选3人的 方法有c3c；c；

19、种。再从5X 5方阵选出3X3方阵便可解决问题.从5X5方队 中选取3行3列有空选法所以从5X 5方阵选不在同一行也不在同一列 的3人有cCcCc；选法。处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要练习题:某城市的街区由12个全等的矩形区组第19页共22页成其中实线表示马路，走到B的最短路径有多少种？ （c； 35）十八.数字排序问题查字典策略例18由0, 1, 2, 3, 4, 5六个数字可以组成 多少个没有重复的比324105大的数？解:N 2A? 2A： A； A； A； 297数字排序问题可用查I字典法，查字典的法应练习:用0,1,2,3,4,5 这六个数字组成没有重复的四位偶

20、数，将这些数字从小到大排列 起来,第71个数是3140十九.树图策略例19.3人相互传球,由甲开始发球,并作为第一 次传球,经过5次传求后,球仍回到甲的第20页共22页手中,则不同的传球方式有 N 10对于条件比较复杂的排练习:分别编有1, 2, 3, 4, 5号码的人与椅， 其中i号人不坐i号椅(i 12,3,45 )的不同 坐法有多少种？ N 44二十.复杂分类问题表格策略例20.有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A、 B、C、D E五个字母,现从中取5只,要 求各字母均有且三色齐备,则共有多少 种不同的取法:红111223黄123121321211取法c；c：c；c：c5c：cc|c|C；c2一些复杂的分类选取题,要满足的条件第21页共22页小结本节课，我们对有关排列组合的几种常见的解 题策略加以复习巩固。排列组合历来是学习中 的难点，通过我们平时做的练习题，不难发现 排列组合题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题 目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。同 学们只有对基本的解题策略熟练掌握。根据它 们的条件 , 我们就可以选取不同的技巧来解决 问题.对于一些比较复杂的问题 , 我们可以将几 种策略结合起来应用把复杂的问题简单化，举 一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实 的基础。