《信号与系统》要点总结.docx

1、信号与系统要点总结信号与系统要点总结!第一章：Singnals and System（信号与系统）11：continuous-time and discrete-time signals（连续时间与离散时间信号）信号：信息的载体。在信号与系统分析中，信号的表达式为函数（functions）P3:Signals are represented mathematically as functions of one or more independent variables（独立自变量）。例如：关于某导线电流强度对应不同时间的函数I(t)；等比数列的某一个数对应其序号的函数an=bn。自变量的定义域

2、为连续的时间段（有限或无限）的信号（函数）称为连续时间信号x(t)自变量的定义域为间断的时间点（一般地，归一为整数点1，0，1，2）的信号称为离散时间信号xn，又叫序列（sequences）。两者有相似处，离散时间函数（又称为离散时间序列）可以看作连续时间函数对整数点时间进行抽样得到，但两者计算上有很大区别。信号（函数）对应某一自变量值的信号函数值大小称为信号的幅度（phenomenon）。例如x(t)=2t，在t=3时x(t)=x(3)=6就是此刻的幅度。Signal energy and power（信号的能量与功率）把信号看作电流，该电流在某一段时间内流过1欧姆的电阻产生的能量和平均功率

3、(average power)便是信号在该段时间的能量与功率。因此可得在t1t2内信号x(t)的能量为：E=(t1t2)(|x(t)|2)dt，而相应这段时间的功率则为P=E/(t2-t1)信号在整个定义域的能量E=（limT）(TT)(|x(t)|2)dt信号在整个定义域的平均功率P=(limT)(1/2T)(TT)(|x(t)|2)dt 相应的，对于离散时间信号则有P6-7(1,7)(1,9)(这个东西要输入太困难了，呵呵)显然，对于一个信号在无穷区间的能量与平均功率有三种可能：平均功率无穷大，总能量无穷大（2）平均功率有限，总能量无穷大（3）总能量有限，平均功率无穷小（也是有限）1-2:

4、Transformations of the independent variable（自变量的变换）自变量的变换就是对信号x(t)或xn的自变量t或n进行相应变换，由此会影响信号。time shift（时移），将x(t)/xn变成x(t-t0)/xn-n0。结果是使信号形状不变，但在位置上相对原来的信号有移位。注意：当t/n00时，信号向右移动，反之则向左。time reversal（时间反转）将x(t)/xn变成x(-t)/x-n。新信号等于把原来信号以t=0/n=0为轴反转得到。time scaling（尺度变换）将x(t)变成x(at)，a0，则新信号等于把原信号在横坐标上压缩或拉伸为

5、原先的1/a。例如x(2t)信号等于横向压缩为原先1/2。离散信号的时间尺度变换很复杂，因为它只能在整点取值。Periodic signals（周期信号）这是非常重要的一类信号。连续周期信号定义：若某一连续信号选x（t）对任意t有x(t)=x(t+T)则x(t)称为周期信号，T(不为0)称为周期（period）一个周期信号有无穷多个周期，其中最小的T0称为基波周期或基本周期（fundamental period）。其余周期T都是T0的整倍数对于常数信号x(t)=C，不存在基波周期的概念，这是一类特殊的周期信号。不具有周期性质的信号叫非周期信号（aperiodic signal）类似的，离散信号

6、中满足xn=xn+N的叫做周期信号，N为周期。最小的N0为基波周期。但常数信号有基波周期为1！Even and odd signals（偶信号与奇信号）从t=0轴反转后与原信号重合的信号称为偶信号,即满足x(t)=x(-t)从t=0轴反转后与原信号相反的信号称为奇信号，即满足x(t)=-x(-t)任何一个信号x(t)都可以分解为一个偶信号和一个奇信号的和，分别叫做这个信号x(t)的偶部（even part）和奇部（odd part）Evx(t)=(1/2)x(t)+x(-t); Odx(t)=(1/2)x(t)-x(-t)，离散也完全一样。13 Exponential and Sinusoid

7、al Signals（指数信号与正弦信号）comtinuous-time complex Exponential and Sinusoidal Signals(连续时间复指数信号与正弦信号)x(t)=Ce(at)。一般而言C与a都是复数。实指数信号(real Exponential signal)：C和a都是实数(real)。X(0)=C,a0，信号随时间增长；a0，信号随时间衰减周期复指数和正弦信号（periodic complex Exponential and Sinusoidal Signals）周期复指数信号：a为纯虚数（imaginary），则x(t)=e(jw0t)由于eja=e

8、j(a+2),或e（j2）1，因此x(t)=x(t+(2/w0)T0=2/|w0|为基波周期。X(t)=Acos(t+)或x(t)=Asin(t+)称为正弦信号，也是基波周期为T0=2/|的周期函数。由欧拉公式（Eulers relation）:e(j(t+)= cos(t+)+jsin(t+)可以完成指数函数与正弦函数的相互表达和转换cos(t+)（1/2）（e(j(t+)e(j(t+)）sin(t+)(1/2j) （e(j(t+)e(j(t+)）对于周期复指数信号和正弦信号，基波周期为2/, |称为基波角频率（fundamental frequency）对于周期复指数信号和正弦信号而言，很

9、明显其能量与功率的关系是在无穷区间的有限平均功率和无穷总能量。A set of harmonically related complex exponentials （一组成谐波关系的复指数信号）一个重要的概念。指的是这样一组复指数信号k(t)=exp(jk0t),k=0,1,-1,2,-2显然这些信号都是周期信号，具有共同周期2/0。这样一组复指数周期信号就称为一组谐波。一般复指数信号：x(t)=Cexp(at)，其中C=|C|exp(j),a=r+j0则x(t)=Cexp(at)=|C|exp(rt)exp(j(0t+)通过包络分析，可以看出信号包络|C|exp(rt)的走向（21页）Dis

10、crete-time complex Exponential and Sinusoidal Signals(离散时间复指数和正弦信号)指数信号、正弦信号、欧拉公式等都与连续类似。不过更方便在于可以令xn=Cexp(n),当a=exp,则xnC（an）离散指数周期信号：xn=exp(jn)的周期分析：与连续信号x(t)=exp(jt)周期为2/不同，由于n只能取整数值，因此周期（如果有周期的话）必须是整数。当2/为有理，则周期基波T0(2/)k，k是使T0为正整数的整数。例如：/4，则T0=8(k=1); 3,则T0=2(k=3)当2/为无理数，则xn=exp(jn)不是周期信号。因为无论什么N

11、都不能使N=2k，也就是不能使得exp(jN)=1，也就是不能使得exp(jn) exp(j(n+N)离散指数周期信号的另一特性：exp(jt)= exp(j(+2)t)也就是说，离散指数信号的一组基波频率为2/N0的谐波只有N0个不同的指数信号（而在连续指数周期信号中一组有无数多个）4：The unit impulse and unit step functions（单位冲激与单位阶跃函数）离散时间单位冲激和单位阶跃单位冲激/单位脉冲/单位样本（unit sample）n：n=0时，n=1，其他时候n=0单位阶跃un：n0时，un=1n是un的一次差分（first difference相当于

12、连续中的微分）：nun-un-1un是n的动求和（running sum，相当于连续中的不定积分）：P31公式1.67n具有采样性：xn .n-n0=xn0.n-n0连续时间单位阶跃和单位冲激函数连续时间中的单位阶跃和单位冲激都是理想化的奇异函数。单位阶跃函数u(t)：t0,u(t)=1;t0,u(t)=0单位冲激函数（t）：一个特殊函数。仅在t=0时有非零函数值。函数值为无穷大。换言之，这个函数宽度为0，高度为无穷大，而积分面积为1（t）为u(t)的微分；u(t)为（t）的积分。（t）的采样性：x(t).（t-t0）=x(t0).（t-t0）1.5 Continuous-time and D

13、iscrete-time System（连续时间和离散时间系统）在信号与系统中，系统是指这样一些元件的互联，通过它，当输入一个信号（input），能够得到一个输出信号(output)。信号与系统根本上就是研究输入、输出与系统三者的关系。连续时间系统即输入和输出都是连续时间信号的系统；离散时间系统即输入和输出都是离散时间信号的系统。系统的互联(interconnections of systems)包括三种简单连接：串联（series）或级联（cascade interconnection）并联（parallel interconnection）反馈联结(feedback interconnec

14、tion)以及各种简单连接组合而成的混联系统联结往往采用方框图（block diagrams）1.6 Basic system properties(基本系统性质)记忆系统与无记忆系统（systems with and without memory）如果某系统的输出信号的每个时刻的值仅仅取决于输入信号在该时刻的值而与输入信号在之前或之后时刻的值无关，则称为无记忆系统。反之如果在某一时刻的输出值还与其他时刻的输入值有关则称为记忆系统。 可逆性与可逆系统（invertibility and inverse system）可逆系统的条件：不同输入必然导致不同输出，则称该系统为可逆（invertibl

15、e）的。对可逆系统存在一个逆系统（inverse system）使得把原系统的输出信号输入到逆系统中，则最终的输出信号便是最初的输入信号。因果性（causality）一个系统任何时刻的输出只决定于该时刻以及该时刻以前的输入，而与该时刻以后的输入无关，则称为因果系统（causal），或称为不可预测系统(nonanticipative)所有的无记忆系统都是因果的。稳定性（stability）如果对于任何一个有界的输入，该系统的输出都是有界的则称为稳定系统。时不变性（time invariance）概念：如果系统的参数不随时间改变，则系统是时不变(time invariant)的。如：y(t)=x(

16、t)+x(t-3)反之则系统是时变（time variant）的：如y(t)=t.x(t)对于时不变系统，输入信号发生时移则输出信号发生相同的时移：x(t)y(t),则x(t-t0)y(t-t0)线性(linearity)线性系统(linear system)具有的重要特性是叠加性质（superposition property）ax1(t)+bx2(t)ay1(t)+by2(t)该系统也可等效为两个系统：可加性（additivity）：x1+x2y1+y2比例性（scaling）或齐次性(homogeneity)：ax1ay1（a为任意复数）增量线形叠加（incrementally line

17、ar systems）任意输入信号的输出y(t)=yh(t)+yp(t)，其中yp(t)是一个线形输出。换言之，对任意两个输出的差y1-y2=y1p-y2p是一个线形的表达式。本章小结：本章是信号与系统的基础概念集合，需要掌握以下知识点：连续时间信号与离散时间信号的基本概念和表达；信号能量与平均功率的概念和表达式；自变量的变换（时移、时间反转和尺度变换）周期信号的定义，周期和基波周期的概念偶信号与奇信号的概念，信号的偶部和奇部的计算；指数信号与正弦信号的概念与互相转换；连续周期指数函数exp(jw0t)的基波周期、基波频率的概念成谐波关系的复指数信号的概念；离散时间指数周期信号xn=exp(j

18、n)的周期分析；离散时间单位冲激和单位阶跃的概念和关系；n的采样性；连续时间中的单位阶跃和单位冲激的概念和关系；(t)的采样性；连续时间和离散时间系统的概念；系统的三种互联；基本系统性质6条的概念和判断。Linear Time-invariant System（线性时不变系统）2-1:Discrete-Time LTI System:The Convolution Sum（离散LTI系统：卷和）本节的关键在于：把任意离散信号xn表示为若干个脉冲信号的叠加。这样，信号xn输入某一个系统的输出yn，便可以等效为把这些脉冲信号分别输入这个系统之后，再把它们的输出结果叠加。当系统是LTI系统时，对应每

19、个脉冲信号输入的输出函数都可以由对应单位冲激函数的响应n的输出hn进行时移和乘以系数得到。把每个脉冲输入的输出叠加便得到了输入信号xn的输出yn。用脉冲信号表示任意信号：可以把xn看作x0.n+ n-1.x1+ n-2.x2即P75 22式对一个系统LTI，当输入信号为n时的输出信号hn称为单位冲激响应（unit impulse response）卷和而对于每个xk.n-k，输入系统后的输出为hkn=xk.hn-k,因此，xn输入后的输出yn便应当是全部hkn（k从负无穷取到正无穷）的累加。换言之得到了P78 2-6式（公式请自己看啦，输入太麻烦了，呵呵呵呵）该公式称作xn和hn的卷和或卷积和

20、（Convolution Sum）。写作xn*hn。是一种基本的运算方式，由两个函数卷和得到一个新函数。对LTI系统而言，就是输入xn与单位冲激响应卷和，得到输出信号yn。xn*hn=yn对于有限长序列卷和的运算：竖式法比较简单。22：continuous-time LTI systems:the convolution integral（连续时间LTI系统：卷积）与离散系统类似，本节的核心也是把输入的一个连续时间信号从时间上拆分成无数个冲激信号的叠加，然后对于每个冲激信号去求它输入这个系统得到的输出，再把所有的这些输出叠加起来，从而得到原信号输入系统的输出。用冲激信号表示连续时间信号：对于任

21、一个连续信号x(t)，可以从时间上把它拆成无数个小的“矩形”。每个矩形宽度为，高度为x(k)（k是该矩形的序号，原点处为0）这样信号x(t)可以看成这无数个矩形信号的叠加。而当趋向无穷小，叠加求和趋向于积分，由此得到书上P92公式2.27。卷积由于对输入(t)，系统的输出为h(t)（单位冲激响应），因此对于每一个冲激信号x().(t-)，输入系统后得到的响应为x().h(t-),因此对于LTI系统而言，整个的输出y(t)就等于对应的积分公式P97 公式233。该运算称为x(t)与h(t)的卷积（convolution integral），写作x(t)*h(t)简言之，对于LTI系统，其输出信号

22、y(t)可由输入信号x(t)与系统单位冲激响应h(t)卷积得到。23Properties of LTI system（线性时不变系统的性质）首先是卷积的运算法则：（LTI系统的性质）交换律（commutative）：x(t)*h(t)=h(t)*x(t)分配率（distributive）:x(t)*(h1(t)+h2(t)=x(t)*h1(t)+x(t)*x2(t) (x1(t)+x2(t)*h(t)=x1(t)*h(t)+x2(t)*h(t)结合律（associative）：x1*h1*h2=x1*(h1*h2)接下来是LTI系统的一些性质分析判断记忆系统与无记忆LTI系统（LTI syst

23、ems with and without memory）对一个无记忆的LTI系统而言，其单位冲激响应必然是h(t)=K(t),hn=Kn，因此其输出必然有y(t)kx(t)LTI系统的可逆性（invertiblity of LTI systems）对一个可逆LTI系统系统而言，如果它的单位冲激响应为h1(t)，则它的可逆系统的单位冲激响应为h2(t)，且满足h1(t)*h2(t)1LTI系统的因果性（Causality for LTI system）因果系统的单位冲激响应h(t)显然有t0时h(t)=0对于一个系统而言，这种情形被称为初使松弛（initial rest），也就是直到从某一时刻系

24、统得到一个非0的输入以前，系统的输出一直为0。对于当t0时候x(t)=0的信号又称为因果信号（causal signal）。因果系统的充要条件是，它的单位冲激响应是一个因果信号。LTI系统的稳定性（stability for LTI system）对于LTI系统判断稳定性：离散时间系统：绝对可和（absolutely summable），公式286连续时间系统：绝对可积(absolutely integrable)，公式287LTI系统的单位阶跃相应（tne Unit Step Response of an LTI system）即对于LTI系统，当输入为u(t)或un时的输出，写作s(t)或

25、sn有： s(t)=u(t)*h(t)；sn=un*hnh(t)为s(t)的导数，s(t)为h(t)的积分。24Causal LTI system described by differential and difference equations（微分和差分方程描述的因果LTI系统）本节更多属于高数内容，对于微分（连续时间）和差分（离散时间）方程的解法。值得说明的是任何一个微分或者差分方程实际上是对某一个连续或者离散系统的输入与输出关系的一个表达。往往还需要给出初时条件才能得出输出的表达式。具体的方法请自己看书掌握。25singularity functions（奇异函数）奇异函数是一种理想

26、化的函数，以连续时间的单位冲激信号(t)为基本，对其进行微分和积分运算得到的一族信号都称为奇异函数。(t)又写作u0(t)，它的一次微分为u1(t),二次微分为u2(t)(t)的一次积分即单位阶跃信号u(t)又写作u-1(t)，二次积分tu(t)为u-2(t)奇异函数uk(t)的主要特性是：x(t)*uk(t)的结果是x(t)的k次微分（k为负数则是积分）例如，x(t)*u2(t)结果为x(t)的二次微分;x(t)*u-3(t)的结果为x(t)的三次积分。本章小结：本章是重点章节之一，内容是从时域分析LTI系统。信号与系统的核心在于研究输入、输出和系统三者的关系，而我们的指导思想便是把复杂的信

27、号分割成简单的信号的叠加，把这些简单信号分别输入后再把输出叠加得到原信号对应的输出。本章主要便是从时间上把信号x(t)或xn切割为有限或无限个脉冲信号的叠加，由于每个脉冲信号的输出可以由单位冲激响应h(t)或者hn加上系数和时移很方便的得出，再对这些输出叠加或积分得到对应的输出。后面则是关于LTI的一些性质分析。本章要求掌握的知识点：用脉冲信号xk.n-k的叠加表示信号xn用脉冲信号x().(t-)的积分表示信号x(t)卷和公式xn*hn的意义及计算卷积公式x(t)*h(t)的意义及计算LTI系统卷积的三大定律无记忆LTI系统和因果LTI系统的特性LTI系统稳定性的判断奇异函数uk(t)的理解

28、和性质掌握第三章Fourier series representation of periodic signals(周期信号的傅立叶级数表示)31（不要求）32 the response of LTI system to complex exponentials（LTI系统对复指数信号的响应）我们很容易发现，复数指数信号输入LTI系统可以得到对其增加系数的响应，即：对连续时间LTI系统：exp(st)H(s).exp(st)对离散时间LTI系统：znH(z).zn其中，H(s)和H(z)地表达式在P183 式3-6,3-10，都是与t和n无关而只与s和z有关的表达式。也就是说，对指数信号输入得

29、到的输出，仅仅等于原信号乘以一个与自变量无关而与频率有关的式子。这使得我们可以非常方便的对它进行处理。如果一个输入信号能表达为若干个指数信号的叠加，那么对它的输出的表达也会非常方便。例如：a1.exp(s1t)+a2.exp(s2t)a1.H(s1).exp (s1t)+a2.H(s2).exp(s2t)本章研究的，就是多大范围的信号可以表达为类似P184,3-13和3-15的表达方式，分解为指数信号的线形叠加？如果进行分解？33：Fourier series representation of continuous-time periodic signals（连续时间周期信号的傅立叶级数表达

30、）本节研究把连续时间周期信号分解为若干个周期信号的叠加的傅立叶级数。成谐波关系的复指数信号的线性组合（Linear combinations of harmonically related complex exponential）如前，成谐波关系的一组复指数信号指的是形如k(t)=exp(jk0t)的一组指数信号，其中k=0,1,-1,2,-2显然这样一组信号具有公共的周期为T0=2/0，因此这样一组信号的线性组合必然有周期为T0。把这样一组信号ak.k(t)=ak.exp(jk0t)进行线性组合如186页325公式的形式，形成的周期信号x(t)，其中的每一个分量ak.k(t)=ak.exp(jk0t)称为谐波分量。K=0时的a0称为直流分量；k=正负1时称为一次谐波分量（first harmonic components）或基波分量(