数及其运算是中小学数学课程的核心内容.docx

1、数及其运算是中小学数学课程的核心内容 第一章教材解读 数的认识、表示、大小以及数的运算是中小学数学课程的核心内容。作为第三学段教科书的第一章，在本章引入负数，使数的范围扩张到有理数系。这既是实际的需要，也是数学自身的需要。教材在学生已有的基础上，通过对学生所熟悉的相反意义的量的讨论，引入负数，并利用数轴的几何直观介绍相反数、绝对值，通过具体实例的归纳，将正数和负数之间的运算归结到正数之间的运算，进而定义有理数的运算，得出运算法则，从而完成数的扩充。有理数的运算是运算的基础，中学数学几乎处处都离不开，是初等数学最基础的内容，也是后续学习的基础。一、本章主要内容 本章内容共7个小节，教学约需18课

2、时： 1.1 具有相反意义的量 1课时 1.2 数轴、相反数与绝对值 3课时 1.3 有理数大小的比较 1课时 1.4有理数的加法和减法 4课时 1.5 有理数的乘法和除法 4课时 1.6 有理数的乘方 2课时 1.7有理数的混合运算 1课时 小结与复习 2课时引入负数是实际的需要，又是数学本身的需要，也是学生学习第三学段数学内容，特别是数与代数内容的需要。本章以学生在一、二学段的学习为基础，通过对相反意义的量的讨论引入负数，并介绍数轴、相反数、绝对值的概念，学会用数轴上的点表示有理数，比较有理数的大小，掌握有理数的加减、乘除和乘方运算的法则及算律，从而完成数的扩充形成有理数集的初步认识。引进

3、数轴可以把有理数用数轴上的一个点直观地表示出来，从而可以直观地介绍相反数、绝对值，同时为用数轴引进有理数的加法法则与乘法法则作准备。 引入相反数的概念，一方面，可以加深对相反意义的量的认识，另一方面，可以为学习绝对值、有理数减法等作准备。引入绝对值的的概念，可以加深对有理数的认识：一个有理数由符号与绝对值确定。两个负数比较大小，有理数运算也要借助绝对值这个概念。本章的重点是有理数的运算。加法与乘法都是在介绍运算法则着重是符号法则的基础上，进行基本运算，然后结合具体例子引入运算律，并运用运算律简化运算。减法与除法，则是着重介绍如何向加法与乘法转化，从而利用加法与乘法的运算法则、运算律进行运算。乘

4、方是几个相同因数的乘积，也就可以利用乘法运算。科学记数法与乘方有关，因而可以加以介绍。运用有理数的运算解决简单的问题既是本章研究问题的出发点，又是研究问题的落脚点。本章结构图二、本章学习目标（课标规定）1.理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小；2.借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法，知道a的含义（这里a表示有理数）；3.理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主)；4.理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算；5.能运用有理数的运算解决简单的问题。三、本章编写特点本章教材的编写注重了以下几个方面。

5、1加强与学生现实的贴近课标要求在教材编写中，所选素材在反映数学本质的前提下尽可能贴近学生的生活现实、数学现实和其他学科现实，以利于他们经历从现实情境中抽象出数学知识与方法的过程。这里，学生的现实包括刻画“事物的相反意义”这样的生活现实和小学阶段有关自然数、正分数、正小数及其运算的数学现实。 学生在许多事物，譬如温度计、天气预报、存折、海拔高度等等中已经遇到过具有相反意义的量。因此，利用这些具有相反意义的量引入负数的概念有利于学生的理解。如：章图中同时给出珠穆朗玛峰和吐鲁番盆地的艾丁湖（海拔高度分别为8848米和155米）。利用大量的事例如温差、存取款、海拔的高低、相反方向的行走等等具有相反意义

6、的量引入负数的概念。在介绍数轴、相反数、绝对值等概念时，注意从实际问题引入，如数轴是通过描述位置的问题引出的。通过借助物体运动的直观、温差等，引入有理数的加法、减法运算，例如，在一条东西向的笔直马路上，取一个点O,以向东走的路程为正，向西走的路程为负”，出现计算2（3），引出加法运算；北京某一天的气温是91，这天的温差（）就是1（3），引出减法运算等。就学生的生活现实和数学现实而言，有理数的运算法则是抽象的。因此，教材不是先定义运算后证明运算性质的顺序展开，而是借助生活实例，让学生熟悉的情境中感受到运算法则的合理性，进而加强对法则的理解和掌握。2. 注意运用有理数知识解决实际问题教材在引出负数

7、后，进一步通过正负数在实际中的应用来介绍数轴、相反数、绝对值，以及有理数的运算。并且安排了大量的例题和习题。例如，表示某地的高度要用到正负数。又如，银行储蓄中存入用正数表示，支出用负数表示。再如，用正负数描述仓库货物的运进运出、比赛的胜负。通过这些例子，让学生进一步体会引入负数在解决实际问题中的作用。3数的扩充中注意合理性，运算的一致性。数的扩充在小学有两次，初中有两次，高中一次：学生在小学先学正整数，加入0扩充到自然数，然后引入正分数，从自然数扩充到算术数。到了初中一年级引入负数，从而完成了有理数系的扩充。到了初中二年级引入无理数，从而完成实数系的扩充。在高中引入虚数从而完成复数系的扩充。教

8、材在初一、初二的两次扩充中都遵循了数系扩充的原则：原数集是扩集的真子集；原数集中定义的运算在扩集中一样地被定义；原数集中的元素在扩集中的新运算的结果与原数集的运算结果一致；尽量保持原来的算律；扩集中应能施行原数集中不能实行的某种逆运算；扩集是满足上述四条的数集中最小的。数： 正整数自然数正数有理数。运算：加法、减法、乘法、除法、混合运算、乘方。运算律：加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律。为此，教材分别在加法和乘法的学习中设置了“动脑筋”栏目。意在让学生在经历了探索、比较、抽象、概括等过程后认同运算律的合理性。4运用数形结合的方法、渗透转化的思想学习本章的一个关键，就是利用数轴的直观

9、性，帮助学生理解相反数与绝对值的概念，掌握比较有理数大小的方法，认识有理数的运算法则。数轴是数形结合的产物。教材中数轴一节的例1和例2分别体现了“从形到数”和“从数到形”的过程。 从数轴上看，有许多对关于原点对称的点，从而引出相反数加以描述。除了关于原点对称的点以外，数轴上不同的点到原点的距离不同，这又可以引入绝对值加以描述。利用数轴规定有理数的顺序，既直观又涵盖了有理数比较大小的各种情况。利用数轴分析物体运动的实例，非常直观地获得物体两次运动的结果，从而引出有理数加法的运算法则。将复杂的问题转化为简单的问题，将未知的新问题转化为已知的问题，这种转化的方法是最重要的数学方法之一。在减法与除法的

10、学习中，着重介绍如何向加法与乘法转化，从而利用加法与乘法的运算法则、运算律进行运算。乘方是几个相同因数的乘积，也就可以利用乘法运算。5让学生通过观察、思考、探究、讨论、归纳，主动地进行学习勤于思考，善于思考，是学好数学的必要条件。教材安排了大量的思考栏目。有的通过对问题的思考获得结论，有的通过对解决问题的过程的反思加深认识。要让学生积极动脑，积极参与，激发他们学习的热情。如：数的分类（P4“议一议”）、运算律保持（加法交换律、结合律P22“做一做”）。探究是解决问题，探求结论的过程，要让学生知其然，更知其所以然。例如，在本章中，让学生通过数轴探求物体两次运动的结果，从而认识有理数的加法运算法则

11、。在这个问题中，学生自己探索发现，体验获得结论的过程。讨论是合作交流，从而互相启发，互相促进的一种方式。积极交流表达思想可以促进数学思考，扩大和加深对问题的认识。教材中安排了许多诸如“说一说”、“议一议”之类的栏目，让学生共同探索，共同发现，共同交流。在观察、思考、讨论的基础上归纳结论是学习过程中的一个重要环节。结论是探索的结果，又要进一步运用于解决问题中。如归纳乘法的运算律，有理数的乘方。通过归纳让学生经历从特殊到一般，从具体到抽象的过程，使他们既学会发现，又学会总结。四、几个值得关注的问题1搞好与前两个学段的衔接前两个学段学过整数、分数（包括小数）的知识，即正有理数及0的知识，这些是学习本

12、章内容的基础。学习有理数的有关概念以及运算，都必须从前两个学段学过的数的概念及运算出发，例如，对负数的认识离不开对已学过的数的认识；有理数的运算，当符号确定后，就归结到已学过的运算上去。2重视数轴的教学教材安排了“数轴相反数绝对值”这样的教学顺序。这是因为：通过数轴可以进一步巩固相反意义的量（每个量都有大小和方向），借助数轴便于讲相反数（关于原点对称的点表示的数），数轴是有理数大小比较的直观表示（右边的大于左边的），数轴是数形结合的基础（由点找数，由数找点），隐含着进一步表示新数的必要（所有有理数都可用数轴上的点表示，反过来呢？）。因此，在教学中一定要重视数轴的作用。教学中要注意：必须使学生明

13、确数轴的三要素缺一不可，但单位的大小、原点的位置可以灵活选取，使学生在给出数轴的情况下学会由数找点和由点找数的基本方法，给学生以充分使用数轴的机会，譬如在有理数大小的比较时。3.把握好教学要求 把“一个数的绝对值规定为这个数在数轴上所对应的点与原点之间的距离”作为“一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0”的几何解释比较合适。对绝对值的要求，要有一个过程，有些要求要在今后的学习中落实，例如绝对值不等式等等。本章安排绝对值的概念，主要是为有理数的运算作准备的。会求一个数的绝对值就达到了上述要求。没有必要在绝对值符号中出现字母并加以讨论。有理数运算中涉及的数应当比较简

14、单，如果涉及的数比较复杂可以利用计算器解决，主要是确定结果的符号。对于有理数的混合运算，也要控制复杂程度，以三步为主。教材中关于“负负得正”的处理，利用了分配律和相反数的概念，是对处理“负负得正”这个世界难题的一种尝试。一方面是考虑到科学性，另一方面也是在试着对学生“讲道理”。根据调查，这样做学生是可以接受的。4用好计算器用计算器可以进行有理数的运算，这意味着没有必要要求学生进行复杂的笔算，使它们有更多的时间运用有理数的运算解决问题。有理数运算的基本要求不能削弱。因此，用计算器进行有理数运算的内容，都要在学生掌握了相应运算以后再加以介绍。让计算器为学生掌握有理数的运算服务。笔算以后，可以用计算

15、器验算，参照计算器计算的结果，学生可以判断笔算结果是否正确。如果笔算的结果不正确，应鼓励学生寻找笔算过程中的错误并加以改正，而不是把计算器算得的结果一抄了事。让计算器帮助学生探索运算规律。例如，考察乘法交换律、乘法结合律与分配律是否在有理数范围内适用，可以让学生选较复杂的数进行尝试，用计算器获得结果。 第三章教材解读 方程是重要的数学基本概念，它随着实践需要而产生，并且具有极其广泛的应用.从数学学科本身看，方程是代数学的核心内容，正是对于它的研究推动了整个代数学的发展。从代数中关于方程的分类看，一元一次方程是最简单的代数方程，也是所有代数方程的基础。方程是初中数学 “数与代数”领域的重要内容之

16、一，继第一章“有理数”和第二章“代数式”之后，本章对一元一次方程进行研究，主要内容包括一元一次方程的有关概念、解法和应用，化归思想和模型思想隐含于知识之中。 通过学习本章，学生的代数运算能力和数学建模能力将得到进一步发展。 一、本章主要内容本章内容共4个小节，教学约需11课时： 3.1 建立一元一次方程模型 1课时 3.2 等式的性质 1课时 3.3 一元一次方程的解法 3课时 3.4 一元一次方程模型的应用 4课时 小结与复习 2课时 一元一次方程与方程的解的概念，一元一次方程的解法以及一元一次方程的应用。其中，以方程为工具分析问题、解决问题是重点，即根据问题中的等量关系建立方程模型是全章的

17、重点之一，同时也是主要难点。分析实际问题中的数量关系并用一元一次方程表示其中的相等关系，是始终贯穿于全章的主线。对一元一次方程的有关概念和解法的讨论，是在建立和运用方程这种数学模型的大背景之下进行的。解方程中蕴涵的“化归思想”和列方程中蕴涵的“数学建模思想”，是本章中包含的主要数学思想。讨论一元一次方程的解法时，会直接应用有理数的运算，还会应用“合并同类项” “去括号”等整式加减运算的法则，即第一、二章的内容是关于一元一次方程解法的基础知识。 本章结构图课标指出，建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程表示数学问题中的数量关系，求出结果、并讨论结果的意

18、义。因此，我们可以从另一个角度来看本章的结构：二、本章学习目标（课标规定）1.能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型2. 掌握等式的基本性质3. 能解一元一次方程4. 能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理三、本章编写特点 1突出模型思想 模型思想作为初中课程的核心内容之一，课标在教材编写的整体性要求中要求“应整体考虑模型思想的体现，突出建立模型、求解模型的过程”；在过程性要求中提出：应体现“问题情境建立模型求解验证”的过程。在小学阶段，用算术方法解应用题是数学课中的重要内容，此外对于方程也有过对一些最简单问题的讨论。本节先通过学生熟悉的“行程问题

19、”和“长方体表面积”作为情境引入，一步一步引导学生列出含未知数的式子表示有关的量，并进一步依据相等关系列出含未知数的等式方程。这样安排目的在于突出方程的根本特征，引出方程的定义。使学生认识到方程是比算术式子更有力的数学工具，字母(未知数)可以列入方程并参与运算，从而给解决问题带来更大的便利，从算术方法到代数方法是数学的进步。根据问题1、问题2的分析过程，归纳出“根据实际问题中的数量关系，设未知数，列出方程”的建立方程模型的含义。教材介绍了什么叫做建立“方程模型”。对于“模型”的概念，学生开始会感到陌生而抽象，因为他们现在只有图形模型的概念。所以教师要逐步培养学生数学建模的思想。本套教材还将建立

20、不等式模型、函数模型等等。2.注意贴近学生现实方程是含未知数的等式，为适合初中学生学习，教材不涉及方程的同解理论。而是通过一些简单的例子，说明如何根据等式的两个性质和移项来解一元一次方程的，最后归纳解一元一次方程的一般步骤： 列一元一次方程解决实际问题，是代数教学中的重点内容，也是学生学习的难点。学生的困难在于：对应用题有一种畏难情绪，找不到实际问题中的等量关系；列不出所需的代数式从而列不出方程。本章从建立模型到模型的应用，由易到难安排了十余个实际问题，是为了帮助学生突破上述难点。为了帮助学生找等量关系，教材借助线段图、表格来表示各种量之间的关系。如P.99“动脑筋”栏目、P.101例3用线段

21、图，P.103例4用表格来表示问题中的各种量。 教材在应用的第一课时后安排了一个“议一议”栏目，用框图给出了列一元一次方程解实际问题的一般步骤： 这是为了让学生在体验建立一元一次方程模型解决实际问题后及时归纳、总结解决实际问题的步骤。3.注重能力的培养与数学思想方法的渗透以方程为工具分析问题、解决问题（即建立方程模型）是本章的重点也是难点，分析实际问题中的数量关系并用一元一次方程表示其中的等量关系，是贯穿全章的主线。因此教材不对实际问题按问题的情境分类，没有归纳“行程问题”、“工程问题”等所谓的题型，而是根据具体问题来分析其中的数量关系和等量关系，以突出方程模型的一般分析方法。 教材不仅重视数

22、学与实际的联系、列方程和解方程的方法，而且注重数学思想方法的渗透。本章所涉及的数学思想方法主要包括两个：一个是由实际问题抽象为方程模型这一过程中蕴涵的符号化、模型化的思想；另一个是解方程的过程中蕴涵的化归思想。为体现化归思想在解方程中具有指导作用，本章中讨论一元一次方程的各个步骤时，都注意说明解方程的目的即最终使方程变形为x=a（已知数）的形式，各种步骤都是为此而实施的，即在保持方程的左右两边的相等关系的前提之下，逐步使方程变形，从而使“未知”逐步转化为“已知”。4.不断加以修改、完善根据课标关于“教材的编写要有一定的实验依据”这一精神，教材的编写者每年都会在不同的地方对使用者进行回访，听取广

23、大教师的意见，对教材不断加以修改、完善。如P.106习题B组第10题，之前是放在解法的第一课时。这个问题本身的等量关系并不十分容易找到，同时这一课时的内容还有复习等式的基本性质，然后还有一个例题。再如P.110本章复习题C组第19题，这是一道曾经的竞赛题。之前我们作为引入建立模型的问题来处理。四、几个值得关注的问题1注意在前面学段基础上发展，做好从算术到代数的过渡本章从两个实际问题引出方程。用算术方法解实际问题是学生在前面的学段中已学过的内容，它对于提高分析问题中数量关系的能力有着打基础的作用。算式表示一个计算过程，而方程是根据问题中等量关系列出的等式，其中既含有已知数，又含有未知数，这是方程

24、与算式的区别之一。由于方程中可以用未知数与已知数一起表示相关的量，所以方程的应用更为方便。从教学实际来看，许多学生初学时觉得算术方法直观、容易入手，因而会先由算术方法解得，再去套用方程。教师应当让学生逐步习惯于字母参与运算，并体会到这样做的方便。从课标要求和学生的数学现实看，在前面学段中已经有关于简单方程的内容，学生已经对方程有了初步的认识，会用方程表示简单情境中的数量关系，会解简单的方程，即对于方程的认识已经历了入门阶段，具备了一定的感性认识。这些基本的、朴素的认识为进一步学习方程奠定了基础。本章的内容是在前面基础上的进一步发展，即对一元一次方程作更系统更深入的讨论，所涉及的实际问题要比以前

25、的问题复杂些，更强调模型化思想的渗透；对方程解法的讨论要更注重算理，更强调未知向已知转化以及解法程序化的思想。2重视数学思想方法的渗透本章所涉及的数学思想方法主要包括两个：一个是由实际问题抽象为方程这个过程中蕴涵的符号化、模型化的思想；另一个是解方程的过程中蕴涵的化归思想。本章中讨论的一元一次方程的各个步骤，都是为最终使方程变形为x=a的形式而实施的，即在保持方程的左右两边相等关系的前提之下，使“未知”逐步转化为“已知”。在本章的教学和学习中，不能仅仅着眼于具体题目的具体解题过程，而应不断加深对以上思想方法的领会，从整体上认识问题的本质。数学思想方法是通过数学知识的载体来体现的，对于它们的认识

26、需要一个较长的过程，既需要教材的渗透，也需要教师的点拨，最后还需要学生自身的感受和理解。数学思想方法对一个人的影响往往要大于具体的数学知识，例如对解方程的本质有比较透彻的认识，就容易主动地探究具体方程的解法。因此，需要提倡重视数学思想方法的教学和学习，特别是教师应在如何深入浅出地进行这方面的教学上不断探索。对数学思想方法的介绍，要注意学生的接受能力，对于七年级的学生来说，我们主要是以渗透的方式安排的。例如，“一元一次方程”内容的展开以及对一元一次方程解法的讨论，始终是结合解决实际问题进行的，在全章最后一节，又安排了“一元一次方程的应用”的内容，突出方程这种数学模型应用的广泛性和有效性，全章内容

27、中都渗透着列方程解决实际问题的模型化思想。3重视解决实际问题的教学，提高学生学习兴趣在“一元一次方程”一章，实际问题情境贯穿于始终，对方程解法的讨论也是在解决实际问题的过程中进行的。教师在教学中可以根据学生的实际以及自己所掌握的资源加以调整、补充。利用一元一次方程解决问题的基本过程，在本章中反复出现，这不但有助于从整体上认识一元一次方程与实际问题的关系，还因为这部分内容既是重点又是难点。其所以是重点就在于：一是可以初步解决一些实际问题。二是这部分内容是培养学生分析问题和解决问题的能力的好题材；因为这里需要在纷繁复杂的数量关系中寻找已知与未知之间的内在联系，这就要求学生对问题中所涉及的各种数量关

28、系作精细的分析、需要学生有正确的思维、需要学生运用科学的方法。三是为学习物理、化学等其他学科服务。其所以是难点，是因为这部分内容既难学又难教。一方面，建立方程模型不象解方程那样有法可循，对于同一个问题，由于思路不同，得到的方程也不同。各种实际问题的内容千变万化，需要对具体问题作具体分析，这对初学者来说是比较困难的。另一方面，就如证明几何题，自己想了半天都不行，别人一点便恍然大悟。但是，往往是自己想到的收获大，别人点拨的收获小。用方程解决实际问题也类似，教师在什么时候点拨要看学生思维的火候。4适当加强练习，巩固基础知识和基本技能本章内容包括一元一次方程的概念、解法和应用。一元一次方程是最基本的代

29、数方程，对它的理解和掌握对于后续学习（其他的方程以及不等式等）具有重要的基础作用。因此，教学中应注意打好基础。利用方程解决实际问题的教学中，要提醒学生注意：认真读题。明确哪些是已知哪些是未知，已知量与未知量之间有什么关系；如果未知量不止一个它们之间的关系是什么？注意单位。用字母表示未知数时，要注明单位；列出方程时，两边所标示的量的单位必须相同。如何设未知数。一般来说，求什么就设什么；用一个未知量x解两个以上未知量的问题，可以用x表示其中的一个量，再由问题中的条件导出用含x的代数式表示另一个未知量。问题中的条件要充分利用。由于教材是以分析解决实际问题为线索展开的，许多基础知识隐含于分析解决问题的

30、过程之中，如缺乏对这些基础内容的分析归纳，可能会对它们有所忽视，所以教学应注意对它们进行归纳整理，使得基础知识和基本技能在头脑中留下较深刻的印象。从学习心理学的角度看，需要通过必要的练习途径来掌握基础知识和基本技能，所以教学中还要注意适当加强练习。 当前教学中需要改进的问题现在课堂教学中一个比较普遍存在的问题就是：教师的课堂教学缺乏设计，至少可以说没有用心设计。 课堂教学中抓不住核心知识，没有前后一致、贯穿始终的思想主线，在学生没有基本了解有关概念和基本方法时就进行大量解题操练，导致教学缺乏必要的根基，教学活动不得要领，在无关大局的细枝末节上耗费学生的宝贵时间，从而导致课堂教学效率低下。 教学

31、目标大而空不得要领 所谓目标，就是“预期”，就是想要达到的境地或标准，是师生双方的共同愿景。有些教师没有目标意识或目标意识不强，为了应付检查牵强附会写几条凑数。比如“圆”一课，有个教师的教学目标中有一条是：利用奥运会的五环会徽培养学生的爱国主义精神。教材使用上的问题 教材中安排的环节、例习题均有其意图，需要教师在备课时结合自己学生的实际认真挖掘其所隐含的教育功能。如P.26，例7 设计这道例题的意图不仅仅只是让学生求出6只企鹅的总重量，也不仅仅只是让学生会运用算律来计算。教师可以让学生通过设计计算方案来进一步加深对算律的理解，同时也可以激发学生的学习兴趣，培养学生的发散思维。还可以对学生适当地进行解决问题策略的多样化的训练，遗憾的是许多教师没有这样做。有的学校校长在听学校老师的课时公然表示：如果课堂中没有用到教材以外的问题或题目，就说明老师备课不认真，不是一堂好课。导致一些学校的老师也在坦言自己的教学从来不用教材上课。学生边听讲边看书已然成为教学的常态，结果课听得三心二意，书看得也三心二意，尤其是这样的学习方式会影响学生的思考，时间一长，形成依赖，教师一提出问题，不是先在头脑中思考，而是马上到书本上去寻找答案。特别是在带有探究性的教学中，探究的结果在书本上都一目了然，还要进行什么探究。边听讲边看书代替了边听讲边思考，对学习质量必然产生严重影响。当然，这