电磁场数值计算.ppt

1、电磁场数值计算,下 页,上 页,当计算场域的边界几何形状复杂时，应用解析法分析较困难，这时可以采用数值计算（科学计算）的方法。,1.电磁问题的划分,场源问题,已知计算场域中电荷、电流的分布，求场分布。直接求积分方程。,体电荷的电场,静电场中元电荷产生的电场,下 页,上 页,矢量的积分,下 页,上 页,静磁场中元电流产生的电场,体电流,面电流,边值问题,已知空间介质分布，电极形状、位置和电位，场域边界上的电位或场强，这类问题归结为求解给定边界条件的电位微分方程的解。,1.静电场的边值问题（Boundary Problem),边值问题,场域边界条件(待讲）,分界面衔 接条件,强制边界条件 有限值,

2、自然边界条件 有限值,下 页,上 页,场域边界条件,1）第一类边界条件（狄里赫利条件，Dirichlet),2）第二类边界条件（聂以曼条件 Neumann),3）第三类边界条件,已知边界上电位及电位法向导数的线性组合,已知边界上的电位,已知边界上电位的法向导数(即电荷面密度 或电力线),下 页,上 页,计算法,实验法,解析法,数值法,实测法,模拟法,电磁问题,下 页,上 页,试写出图示静电场的边值问题。,下 页,上 页,例,解,大地以上空间：,试写出图示平板电容器电场的边值问题。,下 页,上 页,例,解,参考点,试写出长直同轴电缆中静电场的边值问题。,根据场分布的对称性确定计算场域，边值问题,

3、（阴影区域）,下 页,上 页,缆心为正方形的,例,解,2.数值计算的基本过程,下 页,上 页,3.数值计算的基本思想,下 页,上 页,将电磁场连续域内的问题变换为离散系统的问题求解，用离散点的数值解逼近连续域内的真实解。,把求解连续函数的偏微分方程问题转换为求解离散点上的代数方程组的问题。,包括：用有限维代替无限维；用有限过程代替无限过程；用有限解析区域代替无限区域；用线性代替非线性；用简单函数（多项式、正弦、脉冲）代替复杂函数；,下 页,上 页,结论,数值方法是近似方法。关键是确保问题的解在允许的误差之内。,数值计算的基本法则：,正确把握问题所属的电磁性质和空间维数。,近似替代的误差最小原理

4、；,4.场域的离散化处理,步骤（1）求解区域的离散化处理；（2）在每个离散单元内，用近似函数代替复杂函数。,求解区域的离散化处理；,下 页,上 页,下 页,上 页,下 页,上 页,1.常数单元,定义被求函数在一个单元（线段、小面积、小体积）中为一个常数。,2.线性单元,电荷分布不连续,定义被求函数在一个单元中按线性变化。一维时有：,下 页,上 页,解得：,若用二次函数：,三个待定常数,二维时有：,下 页,上 页,若用二次函数：,六个待定常数,3.局部坐标（形状函数）,局部坐标是相对于整体坐标x，y，z而言，是近似计算中导出等价矩阵方程的一种简便、快速、有效的方法。,一维时：,下 页,上 页,二

5、维时局部坐标以三角形的面积表示（面积坐标）：,令,注,局部坐标只在单元中有定义。,下 页,上 页,局部坐标与整体坐标的转换,下 页,上 页,局部坐标与整体坐标的转换,三维时局部坐标（体积坐标）：,下 页,上 页,5.误差最小原理,待求区域离散处理后，用近似函数代替待求函数后，就要寻找一种误差最小原理把描述物理模型的微分、积分方程化为代数方程组，求出离散点的函数值。常用的误差最小原理是加权余数原理和变分原理。,变分原理,如果可以找到算子方程的一个等价泛函，则满足泛函取极小值的函数就是原算子方程的解。有限元法就是依据这一原理,泛函是函数的函数。但不是所有的算子都能找到其对应的泛函。,注意,下 页,

6、上 页,满足第二类边界条件的泊松方程的泛函,对应的泛函：,例,令小单元的近似函数：,对泛函中的待定系数求极值：,得矩阵方程：,下 页,上 页,加权余数原理,使近似函数和真解之间的误差在平均意义上达到最小来导出算子方程的等效矩阵方程。,边值问题：,例,误差或余数：,下 页,上 页,选择权函数W使误差在加权后的平均值为零：,选择权函数是关键。选择不同的权函数得到以不同名称命名的数值计算方法。,注意,6.区域元法及边界元法,区域元法,指近似解在边界满足边界条件，使区域中的平均误差为零来导得矩阵方程。有限元法为区域元法,下 页,上 页,得矩阵方程：,下 页,上 页,选择权函数使边界误差在加权后的平均值

7、为零：,边界元法,指近似解满足区域内的函数，使边界的平均误差为零来导得矩阵方程。矩量法为边界元法。,下 页,上 页,7.计算误差,简化物理模型产生的误差,计算参数和实际参数之间的差异产生的误差,截断误差（忽略高次项、单元大小）,循环误差（单元尺寸相差太大、计算误差累积）,下 页,上 页,8.计算结果的校核,用具有解析解的例子考核,计算结果与预期目标之间是否矛盾,条件是否符合物理规律,计算结果是否满足边界条件,改变离散单元大小和近似函数阶数来比较计算结果的差异,用不同计算方法计算并比较,与其他人的计算结果比较,与实测结果比较,下 页,上 页,例,求长直接地金属槽内电位的分布。,边值问题,解,近似

8、两维模型,下 页,上 页,傅立叶级数,用分离变量法得槽内电场理论解：,局限性,得不到槽外空间电场。,1.二维差分方程的建立,下 页,上 页,有限差分的网格分割,场域的离散,不同的离散方式得到不同的差分方程,结点多，步长小，计算结果精确,网格法,注意,1 有限差分法,下 页,上 页,用差分代替微分,增量,一阶差分,一阶差商,二阶差商,中心差分,二维静电场边值问题,下 页,上 页,有限差分的网格分割,或,下 页,上 页,用差分方程个代替微分方程,五点差分格式,选取计算变量，使模型接近实际且易于计算。,选取计算方法，使误差小、计算快、经济有效。,成功实现计算的关键,若场域离散为矩形网格，写出差分格式

9、,矩形网格剖分,下 页,上 页,例,解,3.差分方程组的求解,下 页,上 页,差分方程的特点,当步长h 减小，结点增加，方程数很大；,方程组的系数是有规律的；,各方程的项数只有5项。,采用逐次近似的方法求解，常用的方法为超松弛迭代法,下 页,上 页,1）松弛法,假定结点电位的初值，代入差分方程，计算各结点余数；,修正余数最大点的电位，减小该点余数，再重新计算各结点的余数；,重复减小最大余数的过程，直至各余数都达很小；,松弛法的步骤,为达到精度，细分网格，重复以上过程。,在接地方形导体管中有一圆形导线（很细），电压为100V，求管线间的电位分布。,下 页,上 页,例,解,对称性，只需求八分之一区

10、域,1）设,2）,划分网格,下 页,上 页,3）,细分网格，重复以上步骤，提高精度。,松弛法计算简单；,不论初值如何，必收敛于最后解答；,收敛速度慢。,小结,下 页,上 页,2）迭代法,网格编号，假定结点电位的初值，作为解的零次近似值，代入差分方程得一次近似值；,判断误差,同步迭代,结束计算,继续计算,网格编号,下 页,上 页,特点,同步迭代法计算简单；但用计算机解时需要两套存储单元；,收敛速度较慢。,高斯赛德尔迭代法（异步迭代）,网格编号,特点,用计算机解时只需要一套存储单元；,迭代时有一半用了迭代的新值，收敛速度较快。,迭代过程直到节点电位满足 为止。,3）超松弛迭代法,a 加速收敛因子（

11、1 a 2）,下 页,上 页,网格编号,将异步迭代和松弛法结合，采用了松弛法中余数表示形式。,收敛速度与 有明显关系：,收敛因子（a）1.0 1.7 1.8 1.83 1.85 1.87 1.9 2.0 迭代次数（N）1000 269 174 143 122 133 171 发散,最佳收敛因子的经验公式（不唯一）,（正方形场域、正方形网格）,（矩形场域、正方形网格）,收敛速度与电位初始值、网格剖分粗细有关；,迭代次数与计算精度 及收敛因子有关。,下 页,上 页,泊松方程的超松弛迭代格式,下 页,上 页,4.边界条件离散化（Discrete Boundary Condition),第一类边界条件

12、,网格结点与边界重合,对称边界条件,对称边,下 页,上 页,网格结点与边界不重合,同理,设：h1=ph，h2=qh,第二类边界条件,分界面衔接条件,其中,介质分界面,下 页,上 页,下 页,上 页,下 页,上 页,下 页,上 页,下 页,上 页,下 页,上 页,绝缘子的破坏情况,复合悬式绝缘子结构,下 页,上 页,下 页,下 页,上 页,下 页,上 页,下 页,上 页,下 页,上 页,交流电流在触头上的分布,下 页,上 页,交流电流产生的纵向磁场在触头表面分布,下 页,上 页,交流电流产生的纵向磁场在触头间隙中心平面上分布,下 页,上 页,下 页,上 页,仿真所用模型的立体视图,下 页,上 页

13、,面板电流密度分布,下 页,上 页,面板电流密度分布,50Hz电流走向和密度分布,下 页,上 页,面板电流密度分布,50Hz电流走向和密度分布,线脚电流强度,下 页,上 页,面板电流密度分布,50Hz电流走向和密度分布,线脚电流强度,面板磁场强度分布,50Hz,下 页,上 页,下 页,上 页,适用于不同形态的边界形状，便于处理非线性、多层媒质及各项异性的场。,程序通用性强，实用商业软件发展迅猛。,有限元法的特点,需要全场域离散，计算机内存量大。,2.有限元法,有限元法是首先利用变分原理把所要求解的边值问题转化为相应的变分问题，也就是所谓泛函的极值问题。然后，利用剖分插值化变分问题为普通多元函数

14、的极值问题，从而获得待求边值问题的数值解。,有限元软件包的基本组成,下 页,上 页,1.计算的步骤,1）用一组简单函数的线性组合来表示近似解。,近似解,Ci待定系数,i尝试函数，（有限元法中称形状函数、基函数）,注意,如何确定Ci是一种数值方法区别于另一种数值方法的主要方面。,下 页,上 页,注意,Ci的选取要使误差减小。,i的个数多，解越精确，但计算量和复杂性增大。,2）为确定Ci建立一种考虑微分方程和边界条件的目标函数。,3）用适当的算法使目标函数达到最小化，在此过程中确定了Ci，从而得近似解。,下 页,上 页,例,解平板电容器电场。,理论解,边值问题,下 页,上 页,近似解,设近似解,误

15、差（建立目标函数）,选定算法降低误差，通常选取适当的加权函数使余数与加权函数的积分为零。,下 页,上 页,注意,加权函数的选法有很多。算法目的是使定义在区域内和边界上的余数的加权平均值为零或最小。,2.迦辽金法,选,尝试函数,下 页,上 页,平板电容器问题选尝试函数为,近似解为,下 页,上 页,微分方程转为代数方程,下 页,上 页,线性代数方程组写成矩阵形式：,nn阶系数矩阵,n1阶未知数矩阵,n1阶源矩阵,n1阶边界矩阵,下 页,上 页,变分法的步骤,3.变分法,2）构成一个近似解的泛函,3）使泛函最小化，减小近似解的误差。,1）用一系列线性独立的尝试函数表示近似解。,未知函数,F为函数的函

16、数称泛函,下 页,上 页,变分法的原理（用变分法求拉普拉斯方程）,构造一个与误差有关的目标函数，然后用某种方式使误差达最小，以确定近似解中的未知系数。,1）目标函数电磁场的储能趋于最小,注意,i的选取要满足第一类边界条件，这样限制了其选取范围，但简化了待定系数的求解过程。,下 页,上 页,2）求F的最小值，也称变分法,泛函F定义为：,下 页,上 页,注意,以上是变分法的基本原理，变分法是有限法的基础。,例,求平板电容器的电位。,边值问题,数值解为,代入边界条件,下 页,上 页,令,求导,下 页,上 页,解得,3）变分法求解泊松方程,边值问题,下 页,上 页,因为储能为,泛函F定义为：,代表能量,设,下 页,上 页,求F的最小值,注意,第二类边界条件在求泛函极值过程中自动满足，故称这类边界条件为自然边界条件。其对应的变分问题称无条件变分问题。,下 页,上 页,注意,第一类边界条件在求泛函极值过程中没有满足，称第一类边界条件为强加边界条件，要单独处理，其对应的变分问题称有条件变分问题。,存在的问题,加权余数法和变分法把偏微分方程变为代数方程，可以用矩阵表示，但确定待定系数时常常要用到分部积