立体几何空间角求法题型线线角线面角二面角.docx

1、立体几何空间角求法题型线线角线面角二面角空间角求法题型（线线角、线面角、二面角）空间角能比较集中的反映学生对空间想象能力的体现， 也是历年来高考命题者的热点， 几乎年年必考。空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。其取值范围分别是： 0 90、0 90、0 180。空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转 化为空间向量的坐标运算来解。空间角的求法一般是：一找、二证、三求解，手段上可采用：几何法（正 余弦定理）和向量法。下面举例说明。一、异面直线所成的角：例1如右下图，在长方体 ABCD AiBiGDi中，已知AB 4 , AD 3, AA 2

2、。E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB FB 1。求直线ECi与FDi所成的角的余弦值。思路一：本题易于建立空间直角坐标系，uuu uuu把ECi与FDi所成角看作向量 EC与FD的夹角，用向量法求 解。思路二：平移线段CiE让Ci与Di重合。转化为平面角，放到 三角形中，用几何法求解。 （图I）uuu uju umr解法一：以A为原点，ABADAA分别为x轴、y轴、z轴的直线ECi与FDi所成的角的余弦值为 I4解法二： 延长 BA 至点 Ei,使 AEi=I，连结 EiF、DEi、DiEi、DF ,有DiCi/EiE, DiCi=EiE,则四边形 DiEi ECi是平行四边形。则 Ei

3、Di/ECi于是/ EiDiF为直线ECi与FDi所成的角。在 Rt BEiF 中， EiF -Je i F 2 BF 2 5 2 i2 莎。D1E1 - DE： DD： 、AE： AD2 DD：在 Rt D1DE1 中，.12 32 22 ,14在 Rt DiDF 中,FDj 、 DD12、.CF2CD2DDj 一 22 42 22 ,24在厶EiFDi中，由余弦定理得:2 2 2D1E1 FDi EiF2 D1E1 FD1、直线和平面所成的角斜线和平面所成的角是一个直角三角形所成的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面内的射影。因此求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足

4、、再作垂线找射影、通过解直角三角形求解；向量法则利用斜线和射影的夹角或考虑法向量，设B为直线 I与平面a所成的角， 为直线I 平面ABD上的射影是 ABD的重心G。求A1B与平面ABD所成角的大小。解 以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CC1所在直线为z轴，建立直角坐标系，设 CA CB a，贝UA (a,0,0 , B (O,a,0 , Ai(a,0,2) , D (0,0,1e( at1，a a 2 GE (齐弓，BD (0, a-.点E在平面ABD上的射影是 ABD的重心G ,GE (-,-,2) , BA (2, 2,2 ,评析 因规定直线与平面所成角 0,两向量

5、所成角 0,所以用此法向量求出的线面2角应满足 |一 |。一般地，设n是平面M的法向量，AB是平面M的一条斜线，A为斜足，则AB2与平面M所成的角为：uju r AB narccostun-T2ABnarcsi nnun ABr nnunrABno3 3 3GE 平面ABD , GE为平面 ABD的一个法向量。1几何法：二面角转化为其平面角，要掌握以下三种基本做法:直接利用定义，图 4( 1 )。利用三垂线定理及其逆定理，图 4( 2)最常用。作棱的垂面，图4( 3)。图4另外，特别注意观察图形本身是否已含有所求的平面角；2,，D是CB延长线上一点,ULU ULLTAB,CD。例3如图6,正三

6、棱柱 ABC A1B1C1的底面边长为3,侧棱AA1且 BD BC。求二面角B1 AD B的大小。解取BC的中点0,连AO。由题意 平面ABC 平面BCC1B1 , AO BC , AO 平面 BCCi Bi ,以O为原点，建立如图 6所示空间直角坐标系,3 3 9 3 3 _则 a（o,0,2、3）, b（-,0,0），D（2,0,O），B1（?q3,0，评析 在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若取n2时，会算得cos BB1,n2-，从而所求二面角为120，但依题意只为60。因为二面角的大小有时2为锐角、直角，有时也为钝角。所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二

7、面角的大小，然后根据计算 取“相等角”或取“补角”。小结：1空间各种角的计算方法都是转化为平面角或两向量的夹角来计算的，对空间各种角概念必须 深刻理解。平行和垂直可以看作是空间角的特殊情况。几何法在书写上体现：“作出来、证出来、指出来、算出来、答出来”五步。严阿z昉二蹩L皓玮情彬屏直,御e书一点斑江出上干辰巾定恥 一二辜毀理去怎垂苣圧*E&fHfe便信範（斜足量足期覽.煎編.间苒梳tt?民土:向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点线面 的位置关系的判定和计算程序化、简单化。主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式 计算。练习：1、

8、如图，以正四棱锥V ABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系 Oxyz,其中Ox/BC ,Oy/AB E为VC中点，正正四棱锥底面边长为2a,高为ho(i)求 cos BE, DE ;（n）记面 BCV为a,面 DCV为B,若/BED是面角a VC B的平面角，求/ BED 解：（I）由题意知B(a, a, 0), C(a,- 3a由此得BE （兀BE DE (遁 a)2 20) , E程黑)a, 0), D ( a, a,a 3a h(2,7,2),(a 3a) h2 2) 2 22 23a h2 4 - 3a 2 a 2 h 2厲侶屮戸辽）（2）由向量的数量积公式有BE DEcos

9、BE, DEI BE | | DE |2 10a 23a2 h2h22 26a h2 2.10a h（II ）若/ BED是二面角a VC B的平面角,BE CV ,即有BECV =0 又由 C ( a , a , 0), V(o ,0 , h),有 CV(a,a,h)且 BE3a2BE CV20,即h 2a,这时有cos BE, DE6a2h210a2 h26a2 (2a)210a2 (、2a)2BEDBE,DE arccos(3)1arccos一.32如图，直三棱柱ABC AiBiCi 中,/ ACB=90 ,AC=1 , CB= 2 ,侧棱 AA 1=1 ,侧面 AA 1B1BAC的两条

10、对角线交点为D , BiCi的中点为M。求证:(1) CD丄平面BDM ;(2) 求面BiBD与面CBD所成二面角的大小。分析：要证CD丄平面BDM，只需证明直线 CD与平面BDM内的两条相交直线垂直即可；要求二面 角，需找出二面角的平面角或转化为 两直线的夹角。考虑几何法或向量法求解。解法一：(1)如图连结 CA仆ACi、CM，贝y CA1-. 2。Q CB CA 2, CBA,为等腰三角形。又知D为其底边的中点， CD丄AiB。 / AiCi=1 , CiBi=2。二AiBi=、3。又BBi=1 , A1B=2。： AQB为直角三角形，D为AiB的中点,1CD 陆2i,CD CCi.又 D

11、M丄AG22 dm2CiMCDM 也CCiM, CDMCCiM90，即 CDDMT AiB、DM为平面BDM内的两条相交直线， CD丄平面BDM。(2) F、G分别为BC、BD的中点，连结 BiG、FG、BiF,1则 FG / CD , FG= CD ,21 FG= , FG丄BD,21由侧面矩形BBiAiA的对角线的交点为 D知BD BiD AB i ,2于是BiGBD, BiGBiGF是所求二面角的平面角。又 BBiD是边长为i的正三角形。BiF22 2BiB BF i3BiG2 FG2 BiF2cos B-|GF3,即所求二面角22BG FG3的大小为arccos 3解法二:以C为原点建

12、立坐标系。 B .2,0,0 ,B 、2,i,0 , Ai 0,i,i ,D2 22适i02 ,i00,2,uuu 211 uuur _ uuuuCD ，丄，AB ,2, 1, 1 ,DM2 2 2uuu unr 则 CD ABiuu uuuu0,CD DM 0, CDAB,CDDM ,T A1B、DM为平面BDM内两条相交直线,CD丄平面BDM。3.2 1 1G ，一，一4 4 4uur ,BD(2)设BD的中点为G,连结B1G，则.2 11 眾 2 3 1,B1G ,2 2 2 4 4 2iuu uuurBD BG 0, BD BG 又CD BD，uur uuuCD与 B1G的夹角 等于所求二面角的平面角。cosuur CD uuCD B1GuuurB1Guuuu臥所求二面角的大小为73arccos。3