小波入门.docx

1、小波入门小波入门声明本文旨在工程应用，而不是数学方法。这不是指文中没有数学知识，而是说在本文中没有证明过程。再我看来，数学论文并不具有可读性，因为证明部分是的文章凌乱不堪。证明部分读者可以参考相关文献。本文给出的公式等式是为了说明和简化一些问题。没有必要理解所有的方程式来理解全文。然后，为了更好的理解本文，还是需要一定的工程数学水平理论背景知识。一些信号处理的理论或许也会很有用。本为给出的信息是正确的。而对于本文中的错误和对本文一些错误理解我们概不负责。文章中或许会有不正确、不完整、不清楚的地方，可以给予指正，有助于本为的研究。目录1.介绍2.连续小波变换3.小波特性4.离散小波5.带通滤波器

2、6.补充：约束7.尺度函数8.子带编码9.离散小波变换10.总结11.参考文献1.介绍众所周知，利用傅里叶变换可以将一个信号表示为无限长的正弦余弦函数a表的和来表示。这个和也称为傅里叶展开。傅里叶展开做大的问题是它只有频域分量，而没有时域分量。这意味着虽然我们可以确定所有信号的频域信号，我们并不知道信号什么时候出现。为了解决这个问题，在过去十年间有了许多方法或多或少都能在时域和频域同时表达信号。在时频交叉表达信号的背后有一个共同的思想就是将感兴趣的信号分为很多部分，然后对每一部分进行独立的分析。很显然，这样分析一个信号可以给出更多关于信号的时域和频域信息，但是它也导致了一个根本问题：如何分割信

3、号？假设我们想知道准确的在某一时刻信号的所有频谱。我们使用狄拉克脉冲信号截取这一时间段的信号，对它进行频域变换。这样做事完全错误的。问题是，这里是对信号和截取窗口卷积得到的信号进行截取。由于时域卷积对应频域乘积，而且狄拉克脉冲信号的傅里叶变换包含所有可能的频率信息，信号的频率将会被展开到整个频率轴。事实上，这种情形是标准傅里叶变换的相反情况，因为我们现在是有时域成分而没有频域信号。这种现象的基本原理如海森伯格不确定性原理中所描述，在信号处理方面，指出在信号中不可能知道准确的频率和该频率下信号出现的准确时间。换句话说，一个信号不可以简单的表现为时频空间的点。不确定性原理显示如何截取信号非常重要。

4、小波变换/小波分析可能是最新的一种解决方案来克服傅里叶变换的缺点。在小波分析中，使用完全可伸缩调制窗口来解决信号截取问题。窗口随信号移动，计算每一个位置的频谱。最终结果是吸纳后时域-频域的共同表达，它们有不同的分辨率。这样，我们就爱你过其称为多分辨率分析。在小波中，我们通常不说时域域表达，而是时域-尺度表达，尺度与频率相反，这是由于频率是针对傅里叶变换的。由于文献中并没有清楚的介绍过什么是大尺度和小尺度，我将其按如下方法定义：大尺度是大图片，而小尺度显示细节部分。这样本文中从大尺度变到小尺度其实就相当于缩放尺寸。在后面几节中，我将解释小波变换，并给出如何将小波变换高效的应用在数字计算中。这种便

5、函将会变得很有效，甚至不再用刀小波。（Are you serious ？）在开始之前，我们继续做出一个申明。由于小波已经不是一个新知识，自产生到现在已近十五年，所以这里我就不再给出一个很全面很深刻的小波理论。已经发表了许多关于小波理论的书籍和可阅读的观点很好的文献。本文结尾给出的很多包括本文中的要点的相关文献，它们有小波理论更广泛的覆盖面。例如Kai94, Wei94, She96, Bur98, Dau92, Hub96, Mal89, Vet92。我也同样给出了一些数学背景知识来阐述其相关性并给出详尽的陈述。说了这么多，让我们赶快走进小波的世界。2.连续小波变换在介绍中描述的小波分析是一种

6、连续小波变换或称为CWT。更正式点可写为： （1） 这里*表示复共轭。这个公式显示了函数是如何在基函数上分解，这个称为小波。变量s和是在经过小波变换之后的新的元（维），尺度和变换。为了保持完整性，公式2给出了小波变换的逆变换。在这个变换上我们不做扩展，因为我们不会用到它: (2)小波是从一个一元基小波函数生成的，称其为母小波函数，通过缩放和变换得到的： (3） 再（3）式中，s是伸缩因子，是变换因子，是为了使能量在不同的尺度上标准化.需要指出，在式（1）（2）（3）中，小波基函数并没有规定是什么样的。这也是小波变换与傅里叶变换或其他变换之间的区别。小波变换理论只是利用小波的一半特性和小波变换。

7、这定义了一个框架，在其中尝试设计需要的小波。3.小波特性小波最重要的特性是它的可采用性和正则性条件，这也正是小波名称得来的原因。文献【She96】指出平方积分函数满足允许条件 （4）使用它可以对信号进行分析和无损失重构信号。在式（4）中代替了傅里叶变换中的。允许条件暗含了傅里叶变换中的再频率为零处收敛。 （5）这意味着小波必须有一个带通频谱。这是非常重要的发现，后边我们将会使用它来建立一个有效的小波变换。频率为零的处的零意味着小波在时域的平均值也肯定是零， （6）因此，小波一定是波动的。换句话说，必须是波。从（1）式可以看到，一元函数的小波变换是二元函数。二元函数的小波变换就是四维的。小波变换

8、的时域带宽是输入信号的平方，对于大多数实际应用，这并不是需要的特性。因此需要在小波函数上加一些附加条件，使得小波变换可以随着尺度s的减小而快速减小。这些是正则条件，他们指出小波函数应该是平滑的，并且在时域和频域都比较集中。正则是一个很复杂的概念，我们通过使用消失矩的概念来对其进行解释。如果我们把小波变换（1）式扩展为泰勒级数，t=0. n，（为简化问题，令=0），我们得到【she96】： （7）这里，代替了f的派生，表示其余的展开式。仙子阿，如果我们用定义小波的时刻 （8） 这样，把7式改写为有限的展开式： （9）从正则性条件我们已经有第0时刻，M0=0,所以（9）式右边第一项为0.如果我们把

9、其他到Mn时刻都为零，那么对于平滑信号f（t）小波变换系数就会以的速率衰减。这也就叫衰减时间或者逼近阶。如果一个小波有N个衰减时刻，那么小波变换的逼近阶就是N。这个衰减时刻的值不一定必须得是零，只要是足够小的数就可以了。事实上，实验研究，需要的衰减时间数量取决于具体的应用【Cal96】。 总结起来，允许条件给我创造了小波，正则性和衰减时间。参考文献【Bur98】【Dau92】。4离散小波现在我们已经了解了小波变换是什么，接下来就该将其应用到实际问题中了。然而已经讲了这么多小波，还是有三个特性使得不能直接应用（1）式。第一个是CWT冗余。在（1）式中，小波变化是通过在信号上连续移动一个连续尺度函

10、数，并计算两者之间的关系。很显然尺度函数远远不及正交基。获得的小波系数将会有过多冗余。为了更实际的应用，我们需要去除冗余。及时没有CWT的冗余，在小波变换中我们仍有无限多的小波数目，我们希望这个数量可以降低到一个可以方便计算的量。这是我们遇到的第二个问题第三个问题是对于大多数函数，小波变换没有分析解，他们这可以在数量上进行数字计算或通过光学模拟计算机。为了开发小波变换的能力，我们需要使用快速算法，事实上快速算法的存在使得小波得以广泛的应用。我们从冗余去除开始讲吧。前面提到的CWT将一维函数变换为二维、时间尺度联合表达的高度冗余函数。CWT的时间带通输出是信号的平方，对于大多数应用，目的是寻求一

11、个用尽可能少的的变量来描述的信号，这样效率不高。为了解决这个问题，引入了离散小波。离散小波并不是连续的尺度缩放和变换，而是分离的步骤。这可以通过修改小波的表达式来得到【Du92】： （10）虽然被称做离散小波，它通常也是一个连续分段函数。在（10）中，j和k是整数，s01是一个固定的尺度放大过程。变换因子取决于放大步骤。小波离散化的影响是时间尺度空间被离散间隔进行采样。我们通常选s0=2，使得在频率轴进行二次采样。这在计算机中是一个非常自然的选择，例如人耳和音乐。我们常常选择变换因子=1，这样我们同样在时间轴进行二次采样。当使用离散小波对连续信号进行变换时，结果将是一系列小波系数，将它称为小波

12、分解序列。在这么 一个分解过程中存在一个很重要的重构问题。在时间-尺度表达的信号上进行二元采样是比较好的，但是如果不能尽可能的重构信号，那就不能得到很好的利用。事实上，结果是可能从小波分解序列重构信号。在【dau92】中，证明了稳定重构信号的必要和充分条件是小波系数的能量必须介于两个正边界范围内，即： (11) 这里|f|是的能量，A0,B,A,B是与独立的。当（11）式满足的时候，基函数族就称为框架，框架范围为A和B。当A=B时，该框架就称为紧框架，离散小波就类似正交基。当AB时，利用双框架同样有可能完全重构信号。在双框架离散小波变换中，分解小波与重构小波是不同的。现在我们跳过框架来继续讨论

13、去除小波变换中的冗余成分。最后一步我们将离散小波正交化。这可以只对离散小波进行。离散小波可以在它自己的伸缩和变换上进行正交化，这要选择特殊的母小波： （12） 任意一个信号可以通过对用小波系数对所有正交小波基函数加权并 加和重构得到【she96】： （13）（13） 式给出了离散小波逆变换。这个我们之前并没有看到过。正交并不是信号重构的必要条件。小波不需要正交化，在许多应用中，冗余可以帮助降低噪声敏感度【she96】，或者提高变换的平移不变性【Bur98】。这是离散小波的缺点：由此产生的小波变换不再具备平移不变性，这意味着信号的小波变换和同一信号时域平移之后的小波变换并不简单的是彼此的平移复制

14、版本。5.带通滤波器通过去除冗余，我们还有两个问题需要解决。我们试图继续减小小波变换中需要的小波数量，关于解析解的问题保留到最后。 除了离散小波，我们还需要一个无限多个尺度伸缩变换来计算小波变换。最简单的方法是不使用无限个离散小波。当然它引起了变换质量的问题。是否有可能减少小波数量来分析一个信号并仍然得到一个有用的结果呢？、小波变换显然要受到我们所研究的信号的持续时间的限制，所以我们对小波有一个上界。这就给我们遗留了一个尺度甚多问题：为了分析我们的信号，需要多少级尺度？如何获得一个下界？我们从小波变换的另一不同的方面来解答这个问题。 观察（5）式，我们看到小波有一个带宽，类似频谱。从傅里叶理论

15、我们知道，时间压缩等于频域扩展和平移： （14）这意味着小波在时域两倍压缩将会使频域两倍扩展，并且频率两倍平移。利用这一点，可以用小波展开谱覆盖信号的有限频谱，与用小波变换域覆盖我们的信号时同样的方法。为了得到更好的信号频谱覆盖范围，扩展小波谱应该互相解接触，就像手拉手排队一样（见图2）。这可以通过合适的设计小波来实现。总结起来，如果一个小波可以看作是带通滤波器，那么一些列展开小波可以被看作是一个带通滤波器。如果我们看看小波谱的中心频率和该频谱的带宽之比，我们会发现对于所有的小波都是一样的。这个比率通常称为滤波器的保真度Q因此在小波中我们会称恒定Q滤波器。6.插曲：约束作为一个小插曲，我们现在

16、来看一个很重要的约束，这在最后一节中已经有所隐射：我们要分析的信号必须是能量有限信号。当信号能量无限大的时候，就不可能用小波覆盖所有的频谱和它持续的时间。通常如下声明这个条件： （15）它等价于说明我们的信号f（t）的二范数必须是有限的。这就是hilbert空间的由来，最后，我们要指出，自然信号通常都是能量有限信号。7.尺度函数细心的读者一点会问，如何覆盖频谱直到零？因为每次在时域两倍展开小波时，带宽被减为一半。换句话说，每一次小波展开，只能保留一半的频谱，这就意味着需要无数的小波。要解决这个问题，并不是试图使用小波谱覆盖所有直到零的频谱，而是“当洞足够小时用木塞堵住它”（也就是当收敛到足够小

17、的时候用高阶来代替所有余项）。这个软木塞就是一个低通频谱，它属于所谓的尺度函数。尺度函数是由Mallat引入的一个概念【MAL89a】。由于尺度函数频谱的低通特性，它有时被称为平均滤波器。 如果我们只把尺度函数看做是一个具有低通频谱的信号，那么我们可以把它分解为小波分量，表达式如（13）为： （14）由于我们这样选择尺度函数，所以它的频谱在小波展开的尺度空间上整齐的排列。表达式（16）式使用无限多的达到一定规模j的小波（见图3）。这意味着如果我们将尺度伸缩和小波结合起来分析信号，那么尺度函数本身就可以解决小波频谱上直到尺度j的频谱，而余下部分则需要用小波频谱表达。这样，我们把小波的数量从无限限

18、制到了有限范围。通过引入尺度缩放函数，我们绕过了无限长小波的问题，并给小波设置了下界。当然，当我们使用尺度伸缩函数代替小波时，会损失一部分信息。也就是说，从信号恢复角度来讲，我们不会丢失任何信息，但是从小波分析角度来看，我们有可能丢失了宝贵的尺度信息。尺度函数谱的带宽在小波设计中是一个重要的参数。频谱越短，会获得更多的小波系数和更多的尺度信息。但是，实际上你可以处理的小波系数的数目往往会有限制。稍后我们也会看到，在离散小波变换中，这个问题都会或多或少被自动的解决。尺度函数的低通谱允许我们规定一些类似（6）式的一些约束条件： （17） 其中，尺度函数在零时刻不能衰减。 再次做一下总结，如果小波可

19、以被看做是一个带通滤波器，尺度函数是一个低通滤波器，那么小波展开序列与尺度伸缩函数一起可以被看做是一个滤波器。8.子带编码第四节中讲到的三个问题现在已经解决掉两个，我们还不知道如何计算小波变换。因此，通过多分辨率域继续进行我们的旅程。如果我们把小波变换看做是一个滤波器，那么我们可以认为，对信号进行小波变换就是将小波通过这个滤波器。不同的滤波阶段的输出分别是小波和吃段函数变换系数。将信号通过一个滤波器来分析并不是一个新的思想，并且作为自带编码，已经解决很多年了。它被应用在计算机视觉应用实例上。子带编码中的需要的滤波器可以通过多种方法来构造。其一是建立多个带通滤波器来把频谱分为多个带宽。优势是每一

20、个带宽宽度可以自由选择，这样，信号频谱就可以覆盖感兴趣的部分。缺点是我们需要独立设计每一个滤波器，这是一个比较好时间的过程。另一个方法是将频谱划分为两个部分，低通和高通。高通部分包括了我们感兴趣部分的最小细节，到这里就可以停止我们的工作。现在我们有了两个频带。然而，低通部分也包含一些细节，因此我们可以继续进行划分，直到我们对生成的带宽满意为止。这样，我们就生成了一种滤波器。通常带宽数目是受数据量或可用的计算功率限制的。划分频谱的过程如图4所示。这种方法的优点是，我们只需要设计两种滤波器，缺点是信号频谱范围是固定的。观察图4我们发现，在不断重复划分频谱后我们得到一系列二倍带通频带和一个低通频带。

21、（虽然在理论上第一次频谱划分得到一个高通带宽和一个低通带宽，事实上高通带宽也还是一个受信号宽阔限制的带通带宽。）换句话说，我们可以使用同样的子带分析方法，将信号输入到一个右半边带宽都两倍与左半边带宽的带通滤波器滤波器和一个低通滤波器中。在本节开始之前，我们需要首先说明，这与把对信号进行小波变换相同。小波给了我们两倍带宽的带通带宽，尺度伸缩函数给了我们低通带宽。从这里我们可以总结出，小波变换同使用衡量Q滤波器进行子带编码的过程一样【mal89a】。通常我们称这种分析方法为多分辨率分析。总结来说，如果我们将小波变换作为一种迭代滤波器使用，我们不需要明确指定小波！这是一个很有用的结论。9.离散小波变

22、换在许多实际应用中，尤其是本文描述的对目标信号进行采样。为了对离散信号使用我们得到的结论，我们同样需要将小波离散化。考虑到我们的离散小波不是时域离散，只有变换域和尺度域是离散的。凭直觉，我们可以简单的将小波滤波器作为一个数字滤波器似乎可行。但是仅仅靠直觉是不够的，我们需要肯定。在（16）式中，我们指出，可以使用小波来表示从负无穷到一定规模j的尺度函数。如果我们把小波频谱加到尺度函数频谱中，我们可以得到一个新的尺度函数，其频谱带宽为原先的两倍。这样加的影响是我们可以使用第二个尺度函数项来表示第一个尺度函数，这是由于我们要做的所有信息都包含在第二个尺度函数中。我们可以使用多分辨率公式【Bur98】

23、或二尺度（二进制）关系来表述【She96】： （18） 二尺度关系说明了某一尺度确定的尺度函数可以用下一个更小尺度的变换尺度函数来表达。不要弄混淆了：更小的尺度意味着更多的细节信息。 第一个尺度函数代替了小波基，因此，我们同样可以使用下一级尺度的尺度变换函数来表示小波。更具体的我们来写出j级小波表示： （19）j表示尺度函数和小波之间的二尺度关系。 由于我们的信号f(t)可以用扩展的、j-1级小波变换来表示，这使得f(t)同样可以使用扩展的、j级尺度函数来表示： （20） 为了和我们的表述一致，在这种情况下，只应该说离散尺度函数，因为只允许离散展开和变换。 如果在这个等式中，我们记到j-1阶，

24、我们需要加进小波，来保证等阶性。这样，信号f(t)可以表示为： （21）如果尺度函数和小波都是正交或紧框架，那么系数和可以通过内积得到： （22）如果我们使用合适的尺度和变换后的（18）（19）式替换和小波，并操作一位。由于内积也可以些微积分，我们得到了一个重要的结果【Bur98】： （23） （24）这两个等式指出小波域和一定尺度的尺度函数系数可以通过计算当前的尺度函数系数加权和得到。现在我们回顾尺度函数那一节，尺度函数系数是从低通滤波器来的，子带编码那一节讲我们如何通过反复将一个低通频带划分为一个低通和高通频带得到滤波器。滤波器迭代是从信号频谱开始，所以我们设想信号频谱是一个低通滤波器在当

25、前尺度下的输出，那么我们就可以将我们的采样信号看做是一个当前尺度下的尺度函数系数。换句话说，我们的采样信号f(k)就等于最大尺度上的！ 但是，还有更多。从信号处理理论我们知道，一个离散加权和，如（23）（24）式，就相当于一个数字滤波器，由于从划分开的信号频谱的低通部分我们可以得到系数，（23）式中的加权因子h(k)必须形成一个低通滤波器。是从高通部分得到的，所以（24）式中的加权因子g(k)必须形成一个高通滤波器。这意味着（23）（24）式合起来形成一阶迭代数字滤波器，之后我们用系数h(k)作为尺度滤波器，系数g(k)作为小波滤波器。 现在，我们已经确定将小波变换作为一种迭代数字滤波器是有可

26、能的，之后我们就可以说离散小波变换或者DWT。我们的直觉是正确的。因此，我们得到了（23）（24）式两个非常有用的特性，抽样特性。如果我们最后看一下这两个方程，我们可以看到尺度伸缩和小波滤波器在变量k是2阶。效果是，在卷积中，每个间隔使用一次，结果，数据输出率等于数据输入率。即使这不是一个新的思想，而且在子带编码中方案中一直使用，它在这里出现仍是一种很好的观点。 尺度函数这一节最后提出的抽样特性解决了如何选择尺度函数频谱带宽的问题。因为i没刺迭代滤波时，下一次迭代的采样数目都是这次的一半，这样，到最后我们就只剩下一个采样数目（极端情况下）。很显然，迭代次数是有限的，它终将停止，这决定了尺度函数

27、频谱的带宽。一般迭代将会在采样数目少于尺度滤波器或者小波滤波器的长度时停止，不论哪一个最长。所以最长的滤波器 决定了尺度函数频谱的带宽。10.结束 现在，我们已经将高度冗余的连续小波变换，如（1）式，从无限个不确定小波降为一个有限长阶数的迭代数字滤波器，它可以直接应用到数字计算机中。冗余度是通过使用离散小波和尺度函数解决小波变换中无限个小波数目的问题来移除的。滤波器解决了解析解的不存在问题，在离散小波那一节中讲到。最后，我们建立了数字应用版本如（1）式，其中不需要制定小波。小波变换已经变为一种很实用的工具。11 参考文献这部分是本文章所用到的参考著作、参考论文和一些网络资源，在此列出，详见英文原版。