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1、七年级数学导学案七年级数学导学案第22章 一元二次方程221 一元二次方程1只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是_2_的整式方程，叫做一元二次方程2判断一个方程是否是一元二次方程，必须满足下列条件：(1)是_整式_方程；(2)只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是_2_；(4)二次项系数不能为_0_3关于x的一元二次方程的一般形式是ax2bxc0(a，b，c是已知数，a0)，其中_a_是二次项系数，_b_是一次项系数；_c_是常数项注意：“a0”是一元二次方程一般形式的一个重要组成部分知识点1：一元二次方程的概念1下列方程中是关于x的一元二次方程的是(C)Ax21Bax2bxc0C(x

2、1)(x2)5Dx(2x1)32x22方程(m2)x2mx10是关于x的一元二次方程，则m的值为(C)A任何实数 Bm0Cm2Dm2知识点2：一元二次方程的一般形式3一元二次方程x23x的一般形式为_x23x0_，其二次项系数、一次项系数、常数项分别为_1，3，_4一元二次方程(x1)2(x2)(x2)2的一般形式为_2x22x50_，其中二次项的系数为_2_，一次项是_2x_，常数项是_5_5一元二次方程5x26x8的二次项系数、一次项系数、常数项分别是(C)A5，6，8B5，6，8C5，6，8D6，5，86下列一元二次方程中，不含一次项的是(D)Ax(3x4)0B5x2x(12x)C(2x

3、1)(1x)0Dx(1x)x知识点3：一元二次方程的根7已知x2是一元二次方程x2mx20的一个解，则m的值是(A)A3 B3 C0 D0或38(1)(2014哈尔滨)若x1是关于x的一元二次方程x23xm10的一个解，则m的值为_1_；(2)若1是方程ax2bxc0的一个根，则abc_0_知识点4：根据实际问题列一元二次方程9(2014海南)某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元，已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是(B)A100(1x)281B100(1x)281C100(1x%)281D100x28110某广场准备修建一个面积为200平方米的矩形草坪，它的长比宽多1

4、0米，设草坪的宽为x米，则可列方程为(D)Ax(x10)200B2x2(x10)200C2x2(x10)200Dx(x10)20011根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一般形式(1)正方体的表面积为36，求正方体的边长x；(2)两个相邻偶数的积为328，求其中较小的偶数x.解：(1)6x236，一般形式为：6x2360(2)x(x2)328，一般形式为x22x328012若方程(m1)x2x1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是(C)Am1 Bm0Cm0且m1Dm为任意正实数13目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年

5、发放了438元设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是(B)A438(1x)2389B389(1x)2438C389(12x)438D438(12x)38914(2014菏泽)已知关于x的一元二次方程x2axb0有一个非零根b，则ab的值为(A)A1 B1 C0 D215在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是(B)Ax2130x14000Bx265x3500Cx2130x14000Dx265x350016已知关于x的一元二

6、次方程的一个根是1，写出一个符合条件的方程：_答案不唯一，如x(x1)0_17已知关于x的方程(m3)x|m|1(m2)x5是一元二次方程，则m_3_18直角三角形的三边是三个连续整数，求三边的长若设较长的直角边为x，则根据题意可列方程为_(x1)2x2(x1)2_19把下列关于x的一元二次方程化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项(1)2x25x3；解：一般形式是2x25x30，二次项系数是2，一次项系数是5，常数项是3(2)7x22xx1；解：一般形式是7x2x10，二次项系数是7，一次项系数是1，常数项是1(3)(x3)(x3)2x9.解：一般形式是x22x180，二次项

7、系数是1，一次项系数是2，常数项是1820根据问题，列出关于x的方程：在圣诞节到来之际，九(3)班所有的同学准备送贺卡相互祝贺，所有同学送完后共送了1640张，求九(3)班有多少同学？解：设九(3)班有x名同学，根据题意，得x(x1)164021k为何值时，关于x的方程(k3)(k1)x2(k1)x50.(1)是一元一次方程？解：(k3)(k1)0且k10，k3.即当k3时，原方程是一元一次方程(2)是一元二次方程？解：(k3)(k1)0，k3且k1.即当k3且k1时，原方程是一元二次方程22已知k是方程x22015x10的一个不为0的根，不解方程，你能求出k22014k的值吗？如果能，请写出

8、解答过程；如果不能，请说明理由解：k是方程x22015x10的一个根，k22015k10，k212015k，k0，k2015，原式k120151201422.2 一元二次方程的解法222.1 直接开平方法和因式分解法第1课时 用直接开平方法和因式分解法解较简单的一元二次方程1利用_平方根_的定义直接开平方求一元二次方程的解叫做直接开平方法2解一元二次方程，实质上是把一个一元二次方程“_降次_”，转化为两个_一元一次_方程3当p0时，x2p的解为_x_4当把一元二次方程的一边化为0，而另一边易分解成两个一次因式的乘积时，可令每个因式分别等于0，得到两个_一元一次方程_，从而实现降次求解的目的，这

9、种解法叫做因式分解法知识点1：用直接开平方法解方程的条件1一元二次方程x2c有解的条件是(D)Ac0 Bc0Db24ac0，所以x2，解得x12，x2218如图，在RtABC中，B90，AB6cm，BC3cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向C以2cm/s的速度移动如果P，Q分别从A，B同时出发，几秒钟后P，Q两点的距离等于4cm?解：设x秒后，P，Q两点的距离等于4cm，则由题意，得APx，PB6x，BQ2x，在RtPBQ中，PQ2PB2BQ2，所以(4)2(6x)2(2x)2，所以5x212x40，解得x1，x22，因为当x2时，BQ2243，所

10、以x2不符合题意，应舍去，所以经过秒钟后P，Q两点的距离等于4cm综合练习 一元二次方程的解法1利用求根公式求方程3x27x的根时，a，b，c的值分别是(C)A3，7 B3，7，C3，7，D3，7，2用配方法解方程x22x50时，原方程应变形为(C)A(x1)26B(x2)29C(x1)26D(x2)293一元二次方程x(x2)2x的根是(D)A1 B2 C1和2 D1和24(2014陕西)若x2是关于x的一元二次方程x2axa20的一个根，则a的值为(B)A1或4B1或4C1或4D1或45要使分式的值等于零的x是(A)A6B1或6C1D66若x220与3x220x5互为相反数，则x的值是(D

11、)A3B2C2.5，2.5D2.57若方程x2x0的两个根为x1，x2(x10，AB17阅读下面的例题：解方程x2|x|20.解析：(1)当x0时，原方程化为x2x20.解得x12，x21(不合题意，舍去)(2)当x0时，方程有_两个不相等的_实数根；(2)当0时，方程有_两个相等的_实数根；(3)当0.此方程有两个不相等的实数根知识点3：由一元二次方程根的情况确定方程中字母系数的取值7(2014广东)关于x的一元二次方程x23xm0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为(B)AmBm1Bm1Cm_时，方程没有实数根11如果关于x的方程x2xk0(k为常数)有两个实数根，那么k的取值范围是

12、_k_12(2014宁波)已知命题“关于x的一元二次方程x2bx10，当b1Bk1且k014关于x的一元二次方程x2mx(m2)0的根的情况是(A)A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C没有实数根D无法确定15若关于x的一元二次方程nx22x10无实数根，则一次函数y(n1)xn的图象不经过(C)A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限16(2014贺州)已知关于x的方程x2(1m)x0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是_0_17关于x的方程(a5)x24x10有实数根，则a满足的条件是_a1_18已知a，b，c为三角形的三边长，且关于x的一元二次方程(bc)x22(ab)xba0

13、有两个相等的实数根，那么这个三角形一定是_等腰_三角形19(2014扬州)已知关于x的方程(k1)x2(k1)x0有两个相等的实数根，求k的值解：关于x的方程(k1)x2(k1)x0有两个相等的实数根，0，(k1)24(k1)0，整理得k23k20，即(k1)(k2)0，解得k1(不符合一元二次方程定义，舍去)或k2，k220已知关于x的一元二次方程ax2bx10(a0)有两个相等的实数根，求的值解：ax2bx10(a0)有两个相等的实数根，b24a0，b24a，原式421已知关于x的一元二次方程x22x2k40有两个不相等的实数根(1)求k的取值范围；(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数

14、，求k的值解：(1)44(2k4)208k.方程有两个不相等的实数根，0.即208k0，k0，方程有两个不相等的实数根 (2)方程有两个不相等的实数根，ABAC不成立要使ABC是等腰三角形，则AB与AC其中一条边与BC相等，即方程必有一根为5，525(2k1)k2k0，解得k4或k5.经检验k4或k5均符合题意即k的值为4或522.2.5 一元二次方程的根与系数的关系1若一元二次方程x2pxq0的两根为x1，x2，则x1x2_p_，x1x2_q_2一元二次方程在应用根与系数的关系时应注意两个条件：(1)方程必须是_一般_形式；(2)_0.3若一元二次方程ax2bxc0(a0)的两根为x1，x2

15、，则x1x2_，x1x2_知识点1：一元二次方程根与系数的关系1(2014昆明)已知x1，x2是一元二次方程x24x10的两个根，则x1x2等于(C)A4 B1 C1 D42下列一元二次方程两实数根的和为4的是(D)Ax22x40Bx24x40Cx24x100Dx24x503已知方程x25x20的两个解分别为x1，x2，则x1x2x1x2的值为(D)A7B3C7D34方程x212x的两根的和等于_2_5不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积：(1)x23x0；解：x1x23，x1x2(2)3x22x10；解：x1x2，x1x2(3)2x237x2x；解：x1x2，x1x2(4)5x56x2

16、4.解：x1x2，x1x2知识点2：一元二次方程根与系数的运用6已知一元二次方程x23x10的两个根分别是x1，x2，则x12x2x1x22的值为(A)A3B3C6D67若关于x的一元二次方程x24(m1)x4m10两根互为相反数，则m的值是(D)AmBmCm且m0Dm18已知关于x的方程x2mx60的一个根为2，则这个方程的另一个根是_3_9已知关于x的方程x2mxn0的两个实根是0和3，则m_3_，n_0_10(2014莱芜)若关于x的方程x2(k2)xk20的两根互为倒数，则k_1_11若一元二次方程x2(a2)x2a0的两个实数根分别是3，b，则ab_5_12已知x1，x2是方程x23

17、x20的两个实根，不解方程，求下列代数式的值；解：由根与系数的关系得x1x23，x1x22.(1)；解：原式(2)x12x22；解：原式(x1x2)22x1x29413(3)；解：原式(4)x123x1x2x22；解：原式(x12x22)3x1x2133(2)19(5)(x12)(x22)解：原式x1x22(x1x2)4264413(2014攀枝花)若方程x2x10的两实根为，那么下列说法不正确的是(D)A1 B1C223D.114(2014来宾)已知一元二次方程的两根分别是2和3，则这个一元二次方程是(D)Ax26x80Bx22x30Cx2x60Dx2x6015如果关于x的一元二次方程x24

18、xa0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x22x12x250，那么a的值为(B)A3 B3 C13 D1316(2014呼和浩特)已知m，n是方程x22x50的两个实数根，则m2mn3mn_8_点拨：m，n是方程的两个实数根，mn5，mn2，m22m50，m252m，原式(52m)mn3mn10mn102817在解某个二次项系数为1的方程时，甲看错了一次项系数，得出的两个根为9，1；乙看错了常数项，得出的两根为8，2.则这个方程为_x210x90_18若关于x的一元二次方程x24xk30的两个实数根为x1，x2，且满足x13x2，试求出方程的两个实数根及k的值解：由根与系数的关系，得又x13

19、x2，联立、，解方程组，得kx1x233136.答：方程两根为x13，x21，k619关于x的一元二次方程x22xk10的实数根是x1和x2.(1)求k的取值范围；(2)如果x1x2x1x22，又k0，且k为整数，k1或020已知关于x的一元二次方程x2(2m1)xm20有两个实数根x1和x2.(1)求实数m的取值范围；(2)当x12x220时，求m的值解：(1)由题意有(2m1)24m20，解得m.即实数m的取值范围是m (2)由x12x220得(x1x2)(x1x2)0.若x1x20，即(2m1)0，解得m.，m不合题意，舍去，若x1x20，即x1x2，0，由(1)知m.故当x12x220

20、时，m21已知关于x的一元二次方程x2(2k1)xk22k0有两个实数根x1，x2.(1)求实数k的取值范围；(2)是否存在实数k使得x1x2x12x220成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由解：(1)原方程有两个实数根，(2k1)24(k22k)0，4k24k14k28k0，14k0，k，当k时，原方程有两个实数根 (2)假设存在实数k使得x1x2x12x220成立，x1，x2是原方程的两根，x1x22k1，x1x2k22k.由x1x2x12x220，得3x1x2(x1x2)20.3(k22k)(2k1)20，整理得：(k1)20，只有当k1时，上式才能成立，又由(1)知k，不存

21、在实数k使得x1x2x12x220成立22.3 实践与探索第1课时 用一元二次方程解决简单的应用问题1列一元二次方程解决实际问题时，与应用一元一次方程一样，一般步骤为：(1)审题，找等量关系；(2)设_未知数_；(3)列_方程_；(4)解_方程_；(5)检验并作答2构建一元二次方程来解决实际问题时，必须验证方程的解是否符合_实际意义_3几何图形问题常根据_面积(或体积)_公式列出一元二次方程4若设每次的平均增长(或降低)率为x，原来的基数为a，则第一次增长(或降低)后的数量为_a(1x)_，第二次增长(或降低)后的数量为_a(1x)2_知识点1：用一元二次方程解决几何问题1一个面积为35m2的

22、矩形苗圃，它的长比宽多2m，则这个苗圃的长为(C)A5m B6m C7m D8m2等腰梯形面积为160cm2，上底比高多4cm，下底比高多20cm，这个梯形的高为(B)A20cmB8cmC8cm或20cmD非以上答案3一个正方形的边长增加了3cm，面积相应增加了39cm2，则原来这个正方形的边长为_5_cm.4如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米若设道路宽为x米，则根据题意可列方程为_(22x)(17x)300_5如图是一个矩形花园，花园的长为100米，宽为50米，在它的四角

23、各建一个同样大小的正方形观光休息亭，四周建有与观光休息亭等宽的观光大道，其余部分(图内阴影部分)种植的是不同花草已知种植花草部分的面积为3600平方米，那么花园各角处的正方形观光休息亭的边长为多少米？解：设正方形观光休息亭的边长为x米依题意，有(1002x)(502x)3600.整理，得x275x3500.解得x15，x270.x27050，不合题意，舍去，x5.答：矩形花园各角处的正方形观光休息亭的边长为5米知识点2：用一元二次方程解决增长率问题6某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得(B)A168(1x)2128

24、B168(1x)2128C168(12x)128D168(1x2)1287某企业五月份的利润是25万元，预计七月份的利润将达到36万元设平均月增长率为x，根据题意所列方程是_25(1x)236_8(2014随州)某小区2013年绿化面积为2000平方米，计划2015年绿化面积要达到2880平方米如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是_20%_.知识点3：用一元二次方程解决其他问题9若两个连续整数的积是42，那么这两个整数的和是(C)A13B13C13或13D12或1410一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数比十位数大3，则这个两位数是(C)A25B36C25或36D25或3611一

25、球以15m/s的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)近似满足关系式：h15t5t2，则小球在什么时刻的高度为10m?解：由题意知，1015t5t2，解得t1或t2，所以小球在1秒或2秒时的高度为10m12某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是(C)A50(1x2)196B5050(1x2)196C5050(1x)50(1x)2196D5050(1x)50(12x)19613如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪要使草坪的面积为540m2，求道路的

26、宽如果设小路宽为xm，根据题意，所列方程正确的是(A)A(20x)(32x)540B(20x)(32x)100C(20x)(32x)540D(20x)(32x)54014有一间长20m，宽15m的会议室，在它的中间辅一块地毯，地毯子的面积是会议室面积的一半，四周未铺地毯的留空宽度相同，则留空宽度为_2.5_m_15(2014丽水)如图，某小区规划在一个长30m，宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少？设通道的宽为xm，由题意列方程_(302x)(20x)678_16某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元求3月份到5月份营业额的月平均增长率解：设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x，根据题意，得400(110%)(1x)2633.6，解得x0.220%，x22.2(不舍题意，舍去)答：3月份到5月份营业额的