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1、考研数学考研数学讲座（3）极限概念要体验极限概念是微积分的起点。说起极限概念的历史，学数学的都多少颇为伤感。 很久很久以前，西出阳关无踪影的老子就体验到，“一尺之竿，日取其半，万世不竭。” 近两千年前，祖氏父子分别用园的内接 正6n边形周长 替带园周长以计算园周率；用分割曲边梯形为 n 个窄曲边梯形，进而把窄曲边梯形看成矩形来计算其面积。他们都体验到，“割而又割，即将 n 取得越来越大，就能得到越来越精确的园周率值或面积。” 国人朴实的体验延续了一千多年，最终没有思维升华得到极限概念。而牛顿就在这一点上率先突破。 极限概念起自于对“过程”的观察。极限概念显示着过程中两个变量发展趋势的关联。 自

2、变量的变化趋势分为两类，一类是 x x0；一类是 x ， “当自变量有一个特定的发展趋势时，相应的函数值是否无限接近于一个确定的数a ？”如果是，则称数a为函数的极限。 “无限接近”还不是严密的数学语言。但这是理解极限定义的第一步，最直观的一步。 学习极限概念，首先要学会观察，了解过程中的变量有无一定的发展趋势。学习体验相应的发展趋势。其次才是计算或讨论极限值。 自然数列有无限增大的变化趋势。按照游戏规则，我们还是说自然数列没有极限。 自然数 n 趋于无穷时，数列 1/n 的极限是0 ；x 趋于无穷时，函数 1/x 的极限是 0 ； 回顾我们最熟悉的基本初等函数，最直观的体验判断是， x 趋于

3、正无穷时，正指数的幂函数都与自然数列一样，无限增大，没有极限。 x 趋于正无穷时，底数大于1的指数函数都无限增大，没有极限。 x 0+ 时，对数函数 lnx趋于 ；x 趋于正无穷时，lnx 无限增大，没有极限。 x 时，正弦sinx 与 余弦conx 都周而复始，没有极限。在物理学中，正弦 y = sinx 的图形是典型的波动。 我国高等数学教科书上普遍都选用了“震荡因子”sin（1/x）。当 x 趋于0 时它没有极限的原因是震荡。具体想来，当 x 由0.01变为0.001时，只向中心点 x = 0 靠近了一点点，而 正弦sinu 却完成了140多个周期。函数的图形在 +1与1之间上下波动14

4、0多次。在 x = 0 的邻近，函数各周期的图形紧紧地“挤”在一起，就好象是 “电子云”。 当年我研究美国各大学的高等数学教材时，曾看到有的教材竟然把函数 y = sin（1/x）的值整整印了一大页，他们就是要让学生更具体地体验它的数值变化。 x 趋于0 时（1/x）sin（1/x）不是无穷大，直观地说就是函数值震荡而没有确定的发展趋势。1/x 为虎作伥，让震荡要多疯狂有多疯狂。 更深入一步，你就得体验，在同一个过程中，如果有多个变量趋于0，（或无限增大。）就可能有的函数趋于0 时（或无限增大时）“跑得更快”。这就是高阶，低阶概念。 考研数学还要要求学生对极限有更深刻的体验。 多少代人的千锤百

5、炼，给微积分铸就了自己的倚天剑。这就是一套精密的极限语言，（即语言）。没有这套语言，我们没有办法给出极限定义，也无法严密证明任何一个极限问题。但是，这套语言是高等微积分的内容，非数学专业的本科学生很难搞懂。数十年来，考研试卷上都没有出现过要运用 语言 的题目。 研究生入学考题中，考试中心往往用更深刻的体验来考查极限概念。这就是 “若 x 趋于 时，相应函数值 f（x）有正的极限 ，则当x充分大时，(你不仿设定一点x0，当xx0时，)总有 f（x）0 ” *“若 x 趋于 x0 时，相应函数值 f（x）有正的极限 ，则在 x0 的一个适当小的去心邻域内，f（x）恒正” 这是已知函数的极限而回头观

6、察。逆向思维总是更加困难。不过，这不正和“近朱者赤，近墨者黑”一个道理吗。 除了上述苻号体验外，能掌握下边简单的数值体验则更好。 若 x 趋于无穷时，函数的极限为 0 ，则 x 的绝对值充分大时，( 你不仿设定一点 x0 ，当xx0 时，)函数的绝对值恒小于1 若 x 趋于无穷时，函数为无穷大，则 x 的绝对值充分大时，(你不仿设定一点 x0 ，当xx0时，) 函数的绝对值全大于1 *若 x 趋于 0 时，函数的极限为 0 ，则在 0 点 的某个适当小的去心邻域内，或 x 的绝对值充分小时，函数的绝对值全小于1 （你不仿设定有充分小的数 0，当 0x 时，函数的绝对值全小于1 ） 没有什么好解

7、释的了，你得反复领会极限概念中“无限接近”的意义。你可以试着理解那些客观存在，可以自由设定的点 x0 ，或充分小的数 0 ，并利用它们。考研数学讲座（37）欲说线代先方程大自然中最简单的图形是直线。社会生活中最简单的关系是“成比例”。 据说当年“工x 队”进驻清华。有一位队员对“井岗山”群众讲话。开场白说，我们工人阶级大老粗，不象你们知识分子弯弯多。我们是“一根肠子通屁眼直来直去”。一句话 让满场 红28团的钢杆粉丝们笑得捧腹弯腰，花枝乱颤。“直”代表简单，早已融进人们的思维。 初等数学以引入负数为起点，以方程为其重心之一。 最简单的方程是一元一次方程。最基本的概念是方程的“根”或“解”。 什

8、么东东叫方程（组）的根 (解) 把东东代入这个方程（组），方程（组）化为恒等式。这个概念是学习线性代数的基本需要。不少人读到“齐次线性方程组有限个解的线性组合，仍然是该方程组的解”感觉茫然没反应，一是忘了概念，二是不动笔。应对这些貌似理论的语句，其实方法很简单。是不是“解”，代入方程（组）算一算。 由一元一次方程出发，关于方程的研究向两个方向发展： （1）一元 n 次方程 （2）n 元一次方程组（线性方程组） 大学数学线性代数教材有两大板块。第一板块解线性方程组。基本工具是矩阵，核心概念是矩阵的秩，理论重心是“齐次线性方程组解集的构造”。 第二板块是矩阵特征理论基础知识。n 阶方阵 A 的特征

9、方程是个一元n 次方程。 一元 n 次方程的讨论点为：求根公式，根的个数，根与系数的关系。 一元二次方程有求根公式，在复数范围内有两个根。（二重根算两个根。）有韦达定理显示根与系数的关系。 人们努力探索了大半个世纪，也没能找到一元五次方程的求根公式。回头又花了几十年，证明了所期盼的求根公式不存在。同时也证明了一元 n 次方程在复数范围内有n个根。（k 重根算 k 个根。）还同样找到了高次方程的 “韦达定理”。 对线性方程组的讨论则衍生出若干基本理论。可以合称为线性理论。依靠着完美透彻的线性理论，所有的线性问题（线性方程组，线性微分方程组，- - - ）都得到了园满解决。 在研究非线性问题时，人

10、们找到了“有限元”，“边界元”等线性化计算方法。但是一个非线性问题用线性化计算方法产生的齐次线性方程组可能有成千上万个方程。这样一来，方程组的表达方式自然就上升为首要问题。 描述一个齐次线性方程a1x1 + a2x2 + - + a nx n = 0 ，实际上只需按顺序写出它的系数组就行了。这就产生了形式上的 n 维向量（a1，a2， - ，an）。方程组的两种同解变换，即方程两端同乘以一个数与两个方程相加（减），正好是数乘向量与向量加法。 如果是有 m 个方程的齐次线性方程组，则 m 个系数行就排成一个 mn 阶矩阵。 如果把 n 个未知量也按顺序排成一个向量，每个方程的左端 “a1x1 +

11、 a2x2 + - + a nx n”，正好是，系数向量与未知量向量的 “对应分量两两相乘，加在一起”。数学家们把这个计算方式规定为“向量的内积”。进而规定出“矩阵的乘法”。 运用有限元方法转换模型时，要多方交互使用每个节点处的数据。这就不可避免地会产生一个负面效应。即所得齐次线性方程组中可能有相当数量“多余的”方 程。（如果用几个方程的左端作线性组合，可以得到组内别的某个方程，那个方程就会在同解变换中化为恒等式。所以是“多余的”方程。）这就产生了第二个问 题： “一个齐次线性方程组中，究竟有多少个方程是相互独立的？”由此有相应概念 矩阵的秩，n 维向量组的秩。 解决一个复杂的数学问题，往往需

12、要发展一门甚至多门基础理论。人类的最终收获，常常是远远超越问题本身。欧洲历史上有很多理髮师与钟表匠热衷于数学研 究。中国民间也有大量的数学爱好者。中国数学协会常常收到很多诸如“证明哥德巴赫猜想”之类的民间论文，无人敢于拜读只能束之高阁。作者们责难专家们为什 么不能帮帮老百姓。回答曰，解决这样巨难的数学问题，必然需要新的基础理论。没有这个前提，你的证明自然是错的。 实际问题的需要促成了线性理论百花竞艳。柯召先生的开山之作就是一部矩阵论。我在本科时是柯先生的钢杆粉丝，企图课余时间读完这套专著。结果读不到一半，但已收获不浅。考研那年，有幸在YM石油局图书馆书库中得到了张远达先生的线性代数。张先生主要

13、以行列式为工具。常常在证明一个定理时，出人意料地给出一个辅助行列式，通过计算解决问题。直令我佩服得五体投地。又读了谢邦杰先生的线性代数，谢先生创新的“高矩阵” 方法，让我耳目一新。还读了李尔重等老师合写的线性代数，这部教材着重照应线性代数方法在计算机上实现，让我对高斯消元，矩阵分解等内容有了更深的理解。 （题外话：最终在考研考场上。我花了不到30分钟，拿到了线性代数的100分。那真是读书改变命运啊。） 知道一点实际背景，会感到一切都自然而然。因为需要而创生新的描述方式；因为需要而定义新的概念；因为需要而“规定”集合中的运算；- 。愿这能有助于你减少一点抽象感。有意思（8）逻辑推理与一个正交问题

14、-如果你作了一个假设，你就建立了逻辑推理的一个基本点。如果你还要作第二个假设，那得小心思考，新的假设是否与第一个假设独立。 一个同学在论坛上发贴，先设“对任意x，总有 f（x）x ”，推出“f（f（x）f（x）”，突然又假设“f（x）单减”，然后就不明白，“为什么会矛盾”。这就是没考虑逻辑，随意作第二个假设造成的。 数学历史上，正当人们陶醉于“集合理论”与“勒贝格积分”等成果的完美之际，“悖论”的出现给大家当头一棒，砸得人晕头转向。仿佛有世界末日来临的感觉。以至于对很多成功的“公理化假设”也提出怀疑：“是否在筑好篱笆之时，已经圈进了狼？” 思考“第二假设是否与第一个假设独立”，有时的确较为困难

15、。看一个线性代数问题。 （讲座（40）例15设n维行向量组 a1，a 2，-，a k 线性无关，kn ，以它们为系数作有k个方程的齐次线性方程组。若向量是这个方程组的非零解。试证向量组 a1，a 2，-，a k， 线性无关。 例15是原数学四的考题。它可以深化为， *例 “设向量组 1，2，-，r 线性无关，向量组1，2，-， k 线性无关。若前一向量组的每一个向量都与后一向量组的各向量正交。则两向量组的合并组线性无关。（暂时不写一个条件） 证明 设有一组数C1，C r ，C r+1，C r +k，使得 C11 + + C rr + C r+1 1 + + C r + k k = 0 用 1

16、对等式两边作内积，得 11 C1 + + 1r C r = 0 用 2 对等式两边作内积，得 21 C1 + + 2r C r = 0 用 r 对等式两边作内积，得 r1 C1 + + rr C r = 0 现在，问题归结为，证明这个齐次方程组仅有零解。 问题延伸1，若记 A =（1，2，-，r），则系数矩阵恰为 AA （潜台词：矩阵乘法，“左行右列作内积”） 问题延伸2， 秩R(A) = 秩R(A A) 证明作齐次线性方程组 AX = 0和 A AX = 0，AX = 0 的解显然都是 A AX = 0 的解。 如果列向量 是 A AX = 0 的解，则 内积(A)(A) = A A = (

17、A A)= 0 这说明 A= 0(向量), 即 A AX = 0 的解也都是 AX = 0 的解。两方程组同解。 解集秩 n - R(A) = n - R(A A) 故 秩R(A) = 秩R(A A) 前述关于C1，C r 的齐次方程组仅有零解。带回假设式，由后一向量组的线性无关性知其余系数也全为零。故两向量组的合并组线性无关。 （画外音：这是一个可以记住的结论。请体会证明的特色 。） 好象什么问题都没有？！？！？！联想“n + 1 个 n 维向量线性相关。”这里还有向量个数问题。在没有限定向量个数时，第二个假设，“前一向量组的每一个向量都与后一向量组的各向量正交”，不一定成立。必须先说“k

18、+ r n” 这个条件不影响证明。有点复杂。慢慢体会。考研数学讲座（78）分布函数是核心-分布函数是大学数学概率部分的核心概念。 “分布函数”本值上是按照一个特定方式来计算与描述随机变量事件的概率。 随机变量的分布函数 设X是一个随机变量，定义其分布函数F(x)为： 对任意实数x ，x F(x) = P (X x) 如果 X 是离散型随机变量，则分布函数F(x) = P ( X x)= 不超过x的那些点的概率和 如果X 是连续型随机变量，其概率密度函数为 f (x) ，则分布函数为 F(x) = P ( X x)=f (x)在(-,x 上的积分 (变上限广义积分) 由概率的性质可知，F(x)

19、非负不减。且 x - 时 lim F(x) = 0 而 x + 时 lim F(x) = 1 （画外音：有趣的是，定义分布函数 F(x) = P ( X x)，是美国及西欧发达国家所采用的方式。前苏联等用的是F(x) = P ( X 0时，f (x) = (1/2)exp(-x)，f (x) 在(-,0 ) 与 (0，x 上有不同定义，故 F (x) =F(0) + P（0Xx）= 1-(1/2)exp(-x) 还有既不是离散型也不是连续型的随机变量。 *例40 设随机变量X的绝对值不大于1；且P（X = -1）=1/8，P（X = 1） = 1/4 ；在事件-1X1出现的条件下，X在（-1，

20、1）内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比，试求 （1）X的分布函数F（x）= P (X x) ； （2）X取负值的概率p 分析随机变量X有概率质点X = -1与X = 1，但概率质量又不完全分布在质点上，因而它既不是离散型随机变量，也不是连续型随机变量。所以题（1）中特别告诉你，它的分布函数定义同样是F（x）= P (X x) 我们按照定义计算，先考查并给出 F（x）= 0 及F（x）= 1的最特殊段。 （1）任给一点x ，显然有x-1时，F (x) = 0 ；而x1时，F (x) = 1 -1x1时，F (x) = P(X-1) + P (X = -1) + P(-1X x)

21、 = 1/8 + P(-1 X x ) （画外音：不要忘了，分布函数是概率的特殊描述。逆向思维，求分布函数就是算概率。 在这里还有，P(X-1) = F（-1-0） ） 设比例系数为k，已知条件概率可以表示为 P（(-1 X x )-1X1 ) = k（x+1） x 无限靠近 1 时这个条件概率应该趋于1，因而可以确定 k =1/2 另一方面，由条件概率定义P(AB) = P(B) P(AB) ，且 P(-1X1) = 5/8 ，而 事件 (-1 X x ) 与 -1X1 的交就是 (-1 X x )故 P(-1X x) = P(-1X1) (x+1)/2 = 5 (x+1)/16 （潜台词：

22、由已知条件算得条件概率P(AB)，由条件概率定义得到P(AB)。）最终得 -1x1时， F (x) =1/8 + 5 (x+1)/16 （2） P (X0) = F(0-0) = 7/16 典型计算与算法 “分布函数法” 已知随机变量X的密度（或分布）函数，用“分布函数法”求随机变量 g (X) 的分布密度。这是程序化的典型计算。是考研试题的一个重点题型。 例41 已知随机变量X有密度函数 f (x) =1/(1+ x), 求随机变量 Y = 2X 的密度 分析尽管是简单的线性函数，也得按定义及标准步骤来计算 经观查没有分布函数为0或为1的最特殊段。 任给一点y，（视为定数），分布函数 G (Y) = P (Y y) = P (2X y) = P (X y/2) = F(y/2) 问题经过反函数变化已经转换为计算X的分布函数。 f (x)在（(-, y/2 上积分 得G(Y) =（arctg（y/2）+/2）/求导得 Y = 2X的密度函数 g (y) =1/(4 + y ) 例42 随机变量X有概率密度f (x)，