奥数辅导数的整除1.docx

1、奥数辅导数的整除1奥数辅导数的整除1.一位妇女提一篮鸡蛋，三个三个数余两个，五个五个数余四个，七个七个数余六个这篮子里至少有多少个鸡蛋？【思路或解法】 如果加上一个鸡蛋，题目就变成了求能被3、5和7同时整除的数了，能被3、5和7同时整除的数就是3、5和7的公倍数因为3、5和7的公倍数有105、210、，而题中所问的是“至少”有多少个，所以应取最小公倍数105，但鸡蛋数被3、5、7除都差一个才为整数商，故而鸡蛋数应为 105-1=104（个）。2.152833、93588、127715、223021这四个积中，哪个积与其它积不相等？【思路或解法】 根据积不相等，这个积的各个因数所含有的质因数也就

2、不相同的原理，先分解各个积的质因数：152833=3222571193588=32235711127715=32225711223021=32225711再比较这些积所分解成的质因数及其个数，我们不难发现：93588的质因数比其它的多一个2，故而，93588的积与其它积不相等。3.把26、33、34、35、63、85、91、143分成若干组，要求每一组中任意两个数的最大公约数是1，那么，至少要分成_组。【思路或解法】 根据题目要求，有相同质因数的数不能分在一组，我们先把其中的一些数分解质因数：26213，91=713，1431113因为这三个数有公共的质因数13，不能放在同一组里，所以，所分组

3、数不会少于3组本题的答案有多种，下面列举其中的一种分组方案，即：一组：26、33、35二组：34、85、91三组：63、143因此，至少要分成三组。3.将下列八个数平分成两组，使这两组数的积相等，可以怎样分？说明理由。14、33、35、30、75、39、143、169。【思路或解法】 首先把这些数分解质因数。14=27 35=5733=311 39=313143=1113 169=131375=355 30=235再根据质因数的情况，把含有相同质因数的数归为一组其中质因数3、5、13各有四个，质因数2、7、11各有二个，因其中二个5及二个13在同一个数中，故分摊时应先考虑，于是可得如下两个小组

4、，每小组中两个数的积分别相等：然后把两个小组中左右的数按上下或对角线分别结合，就得如下两种分组结果：第一种：一组是：75、14、69、 33，另一组是：35、30、143、39；第二种：一组是：75、14、143、39，另一组是：35、30、169、33。4.有一个整数，除300、262、205，得到相同的余数问这个整数是几？【思路或解法】 根据题意列表如下：这样可知（300-262=38）=（a-b），又（262-205=57）=（b-c），也就是说38与57都能被这个整数整除因此符合条件的整数是38与57的最大公约数19。5.71427和19的积被7整除，余数是几？【思路或解法】 7142

5、7被7除余6，19被7除余5，56=30，30被7除余2，因此，本题的答案：余数是2。6.修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数问修改后的这个数是几？【思路或解法】 82341=33743，比较33743与31743，可见，只要把31743中的“1”改为“3”，便可得到823的倍数。7.有人说：“任何七个连续整数中一定有质数”请你举一个例子，说明这句话是错误的。【思路或解法】 90、91、92、93、94、95、96是7个连续的整数，但每一个数除了1和它本身以外还有其他约数，所以，“任何七个连续整数中一定有质数”的说法是错误的。8.“华罗庚金杯”少年数学邀请赛，每隔一年举行一次198

6、8年是第二届，问2000年是第几届？【思路或解法】 根据：“1988年是第二届，每隔一年举行一次”可知，“华罗庚金杯”少年数学邀请赛每逢偶数年举行一次”1988年到2000年有7个偶数年，除去1988年，还有6个偶数年，可举行6届，加上原有的2届，故而2000年将举行第八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛。9.一个救生圈（如图）虚线表示大圆半径是33厘米，它的横截面上的小圆半径是9厘米两只蚂蚁同时从两个圆交点A出发，以同样的速度分别沿大圆和小圆爬行问小圆上的蚂蚁爬几圈以后再次碰上大圆上的蚂蚁？【思路或解法】 两只蚂蚁同时从两个圆的交点A处出发，以同样的速度分别沿大圆和小圆爬行，两次相遇A处，它们爬

7、行的距离是相等的，我们知道：2R圈数= 距离当距离一定时，圆的半径和蚂蚁爬的圈数成反比例因为大圆半径与小圆半径的比是339，化简后便是：113所以分别沿大小圆爬行的两只蚂蚁爬行圈数的比是311也就是说，在小圆上爬的蚂蚁，要爬行11圈以后，才能再次碰上在大圆爬行3圈的蚂蚁。10.全班同学去划船如果减少一条船，每条船正好坐9个同学，如果增加一条船，每条船上正好坐6个同学问这个班有多少同学？【思路或解法】 先把已知条件列出来：每船坐9人，则减少一只船，每船坐6人，则增加一只船。通过比较可知：这两种情况所需要的船相差2只当每只船坐6人时比每只船坐9人时多要2只船，这两只船上坐6212（人），把这12人

8、分配到其余的船上去，则每船要增加9-6=3（人），所以每船坐9人时，要123=4（条船），那么这个班有学生94=36（人），据此，列综合算式是：9（62）（9-6）= 36（人）。11.甲、乙二人对一根3米长的木棍涂色首先，甲从木棍一端点开始涂黑5厘米，间隔5厘米不涂色，接着再涂黑5厘米，这样交替做到底然后，乙从木棍同一端点开始留出6厘米不涂色，交替做到底最后，木棍上没有被涂黑部分的长度总和为_厘米。【思路或解法】 根据题意，甲、乙两人从同一端点开始涂色，甲是黑、白、黑、白、黑、交替进行到底的乙是白、黑、白、黑、白、交替进行到底的根据他们每段的长度，甲黑乙白从同一端点起到再同一次甲黑乙白同时出

9、现应是5与6的最小公倍数的2倍，也就是每周期长度为562=60（厘米）这样可知，每一周期中没有被涂黑部分的长度是13542=15（厘米），则这根木棍上没有被涂黑部分的总长度是75厘米。12.甲数是36，甲、乙两数的最小公倍数是288，最大公约数是4，乙数应该是_。【思路或解法】 根据“甲数乙数=甲乙两数的最大公约数甲乙两数的最小公倍数”的性质，设乙数为x：列方程：36x=4288=32。答：乙数应是32。13.有甲、乙、丙三只船，甲船每小时航行6千米，乙船每小时航行5千米，丙船每小时航行3千米三船同时同地同方向出发，环绕周围是15千米的海岛航行（ ）小时后三船再次相会在一起。【思路或解法】 甲

10、船绕海岛一周要156=2.5（小时）=150（分），乙船绕海岛一周155=3（小时）=180（分），丙船绕海岛一周要 153= 5（小时）= 300（分）150、180、300三个数的最小公倍数是900，即15小时所以，航行15小时后三船再次相会。14. 大雪后的一天，小明和爸爸共同步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和走的方向完全相同，小明的平均步长54厘米，爸爸的平均步长为72厘米，由于两人的脚印重合，并且他们走了一圈后都回到起点，这时雪地上只留下60个脚印这个花圃的周长是（ ）米【思路或解法】 要想求出花圃的周长，只要求出小明或爸爸走一圈留下了多少个脚印就行了我们知道小明和爸爸步测时的起点

11、和走的方向完全相同，且两人的脚印有重合的，这说明他俩从起点出发起到第一次脚印重合止所走的路程是相同的这个路程是小明和爸爸步长的倍数，又是第一次重合，所以这个路程是他们步长的最小公倍数54和72的最小公倍数是216，从起点到第一次脚印重合时止：小明的脚印数为21654=4（个），爸爸的脚印数为 21672=3（个） 因为他们俩有一个脚印是重合的，所以在216厘米长的这段路程内共有脚印（4+3-1）=6（个）。又因为606=10，21610=2160（厘米）所以这个花圃的周长为21.6米。15. 4只同样的瓶子内分别装有一定数量的油每瓶和其它瓶分别合称一次，记录千克数如下：8、9、10、11、12

12、、13已知4只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数，求最重的两瓶内有多少油？【思路或解法】 由于每只瓶都称了三次，因此，记录数据之和是4瓶油（连瓶）重量之和的3倍，即4瓶油（连瓶）共重：（8910111213）321（千克）又因为油重之和及瓶重之和均为质数，所以它们必为一奇一偶，而2是唯一的偶质数，故有矛盾，故删去。16.找出四个互不相同的自然数，使得对于任何两个数，它们的总和总可以被它们的差整除如果要求这四个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小，那么这四个数里中间两个数的和是_。【思路或解法】 如果最小数是1，只有2、3两数与1符合要求，因此，最小数必须大于或等于1如果我们假设最小数是2，

13、则符合条件的四个数是：2、3、4、6，那么这四个数里中间两个数的和是：34=7。17.如果自然数有4个不同的质因数，那么这样的自然数中最小的是_。【思路或解法】 为了满足自然数是“最小的”要求，四个不同的质因数应是4个最小的质因数除1以外，最小的质因数分别是2，3，5，7这个质因数的连乘积：2357=210所以，210就是有四个不同质因数的最小的自然数18. 一个小于200的自然数，它的每位数字都是奇数，并且它是两个两位数的乘积那么，这个自然数是_ 【思路或解法】 依题目条件，这个自然数写成两位数的乘积时，两位数中不能出现11除开11，小于200的自然数能写成两个两位数乘积形式的有：1010=

14、100，1012=120，1019=190；1213=156，1214=168，1215=180，1216=192；1314=182，1315=195。在列举的这些数中，只有195的每位数字都是奇数，又能写成两个两位数的乘积形式，所以这个数是195。19.有8个不同约数的自然数中，最小的一个是_。【思路或解法】 约数个数为8，而8=24=222=81，当8=24=（11）（31）时，说明所求的自然数分解质因数后，只有两个不同的质因数，其个数分别为1和3如果两个质因数中有一个为2，其个数为1，当另一个质因数为3，其个数为3，这个自然数为233=54，如果两个质因数中有一个为3，其个数为1，当另一

15、个质因数为2，其个数为3，这个自然数为：323=24。按此思路，多次试验，分析比较，可知最小的数是24。20.有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数组成个四位数（例如：1409），把其中能被3整除的这样的四位数，从小到大排列起来，第五个数的末尾数字是_ 【思路或解法】 根据能被3整除的数的特征，从0、1、4、7、9中可选取0、1、4、7和1、4、7、9这两组四个数字组拼四位数，它们从小到大的顺序排列是：1047、1074、1407、1470、1479、1497、1704、1740、1749、1794、1947、1974、可知第五个数（1479）的末尾数字是9。21.有一本故事书，每2页文

16、字之间有3页插图，也就是3页插图前后各有一页文字（1）假如这本书有96页，而第一页是插图，这本书共有插图多少页？（2）假如这本书有99页，而第一页是插图，这本书共有插图多少页？说明理由。【思路或解法】 书是按文字，插图、插图、插图，文字，插图、插图、插图，排列的，实际上是一张文字，三张插图交替排列。（1）因为96刚好是4的倍数，所以这本书共有插图：396（13）=72（页）。（2）99不是4的倍数，但我们已知96页中有72页是插图，其余3页只可能有以下几种情况：图、图、文；图、文、图；图、图、图即余下的3页书中，可能有2页插图，也可能有3页插图因此，这本书可能共有74页插图，也可能共有75页插

17、图。22. 写出小于20的三个自然数，使它们的最大公约数是1，但两两均不互质，是否只有一组解？【思路或解法】 根据“它们的最大公约数是1，但两两均不互质”的条件可知：这三个自然数是合数而且是互质数，但只能是两个偶数和一个奇数在小于20的自然数中，把所有合数分解质因数，因为最小的三个质数之积为235=30，所以这三个数中的每个数在分解质因数时，至多只有两个不同的质因数这样，三个数分别应是：23=6，35=15，25=10可见6、10、15是符合题意的一组解。因为允许有相同的质因数，所以还有：22312，2510，35=15。233=18，25=10，35=15可见这两组数12，10，15；18，

18、10，15也是符合题意的两组解。23. 给出一个数n，n的约数的个数用一个记号A（n）表示，n的约数的和用一个记号B（n）表示例如，n=8时，因为8的约数有1、2、4、8四个，所以A（8）=4，B（8）=15。（1）求A（42），B（42）；（2）使A（n）=8的最小自然数n是什么？【思路或解法】 （1）根据分解质因数，可求出A（42）和B（42）的值：42=237，即42的约数有1、2、3、6、7、14、21、42，这样A（42）=8，B（42）=96。（2）根据上题A（n）=8，n为42是否是最小自然数呢？经验证：30=235，A（3042）8；24=2223，A（24）=8，所以，A（n

19、）=8的最小自然数n是24。24. 三个不同的最小真分数的分子都是质数，分母都是小于20的合数，要使这三个分数的和尽可能大，这三个分数分别是_、_、_。【思路或解法】 依据题意可知：这三个分数之和的最大值应小于3只有所取的每个分数之值尽可能接近于25.一盒弹子可以平均分给2、3、4、5或6个儿童，问这盒弹子最少有多少颗？【思路或解法】 这盒弹子的数目是2、3、4、5、6的最小公倍数，即60个弹子。26. 这样的三位数存在吗？它可以被11整除而且它的第一位数字比第二位数字大，第二位数字又比第三位数字大。【思路或解法】 不存在这样的三位数。假设三位数被11整除后得到了商数10a+b，如果ab10，

20、那么 a、a+b、b将是所求的三位数的数字，而a+b不可能小于a，因为与题目要求矛盾。如果a+b大于10，那么a1、a+b-10，b将是所求的三位数的三个数字。因为a+b-10小于b，又与题目要求矛盾，所以说不存在这样的三位数。27. 能同时被2、3、7整除的最小两位数是什么数？【思路或解法】 根据题意可知，本题就是求出2、3和7的最小公倍数，且2、3和7互为质数，互质数的最小公倍数就是它们相乘的积，所以能同时被2、3和7整除的两位数是237=4228.有一个数，在700和800之间，用15、18和24去除，都不能整除；如果在这数上加上1，就能被15、18和24整除这个数是_。【思路或解法】

21、根据题意可知：本题可以先求15、18、24的最小公倍数，15、18、24的最小公倍数是3603602=720，刚好在700到 800之间，但题目告诉我们，这个数加上1后就能同时被15、18、24整除，那么720-1=719就是所求的数了，因此，这个数是719。29.从写有7、4、1、0、9的五张卡片中取出四张，组成若干个被3整除的四位数把这些数按照从小到大的顺序排列起来，第三个数应该是_。【思路或解法】 因为7、4、1、0、9这五个数中：1+470=12，1479=21，12和21均能被3整除，所以由这两组数所组成的许多四位数都能被3整除，把这些数排列起来可知，第三个数是1407。30.被3除

22、余2，被5除余3，被7除余4的最小自然数是_。【思路或解法】 先考虑第一个条件，满足被3除余2这一条件的数从小到大排列依次是：5、8、11、8这个数又满足被5除余3这一个条件，而且是最小的53这个数又满足被7除余4这一条件，而且是最小的，所以符合题意的这个数是53。31. 最小的合数除最小的质数，商是_。是有限小数，所以本题的商是有限小数32.有6个学生都面向南站成一行，每次只能有5个学生向后转，则最少要做多少次，就能使6个学生都面向北？【思路或解法】 根据6个学生向后转的总次数能被每次向后转的总次数整除，可知：6个学生向后转的总次数是5和6的公倍数：30、60、90，。根据题意，要求6个学生

23、向后转的总次数是30次，所以至少要做305=6（次），就能使6个学生都面向北。33.阳历1978年1月1曰是星期曰，阳历2000年的1月1曰是星期几？【思路或解法】 从阳历1978年1月1曰到阳历2000年1月1曰，共经历了22年，在这22年中，有1980年、1984年、1988年、1992年、 1996年这五年是闰年因此从1978年1月1曰到2000年1月1曰止，共经历了：3652251=8036（天），因为 80367=1148，所以2000年的1月1曰是星期六。34.在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能被3、4、5整除，并且要求这个数值尽可能小这个六位数是_。【思路或解法】

24、根据“数值尽可能小”的条件，可知被5整除的数的个位数字只能是0，被3整除的数的各位数字之和只能是568=19，再加上2得21根据一个数能被4整除的条件，这个数的末两位数能被4整除，由此可知，这个六位数是568020。35.有一个四位数，千位上的数字和百位上的数字都被擦掉了，知道十位数上的数字是1，个位上的数字是2，又知道这个数如果减去7就能被7整除，减去8就能被8整除，减去9就能被9整除，这个四位数是_。【思路或解法】 根据“这个数减去7就能被7整除，减去8就能被8整除，减去9就能被9整除”的条件，可知这个四位数同时能被7、8和9整除，即这个四位数是7、8和9的公倍数。因为7、8和9的最小公倍

25、数是504根据“十位数上的数字是1，个位上的数字是2”的条件，可知这个四位数的末两位数是12，只有43才能是12，所以这个四位数是5043=1512。36.今有语文课本42册，数学课本112册，自然课本70册，平均分为若干堆每堆中这三种课本的数量分别相等，那么最多可分_堆。【思路或解法】 根据“每堆中这三种课本分别相等”的条件可知：42=每堆语文课本的数量堆数112=每堆数学课本的数量堆数70=每堆自然课本的数量堆数这说明堆数是这三种课本数的公约数，由“最多可分几堆”的条件可知：堆数是这三种课本数的最大公约数。42、112、70的最大公约数是14，所以，最多可以分成14堆。37.桌面上原有硬纸

26、片5张从中取出若干张来，并将每张都任意剪成7张较小的纸片，然后放回桌面像这样取出，剪小，放回，再取出，剪小，放回，是否可能在某次放回后，桌上的纸片数刚好是1991？【思路或解法】 若先取1张，剪小放回，桌面上就有71+（5-1）=11；若先取2张，剪小放回，桌面上就有72+（5-2）=17；若先取3张剪小放回，桌面上就有73+（5-3）=23，若先取4张或5张剪小放回，桌面上就有（74）+（5-4）=29或75+（5-5）=35，。而 11=62-1，17=63-1，23=64-1，29=65-1，35=66-1由此可见，每次取出剪小放回后，桌面上的纸片数一定是6的倍数减1或加5，而1991=

27、6332-1或1991=6331+5，所以，可能在某次放回后，桌面上的纸片数刚好是1991。38.一月份有三十一天，如果某年的1月1曰是星期一，这年的2月22曰是星期几？【思路或解法】 从某年的1月1曰到这年的2月22曰，共有31+22=53（天）537=74，所以这年的2月22曰是星期四。39.一个自然数既能被3又能被5整除，同时它被7除的余数是4试求这样的自然数中的最小的数是多少。【思路或解法】 一个自然数既能被3整除，又能被5整除，这个自然数就是3和5的公倍数3和5的公倍数有：15、30、45、60、75、90再根据“它被7除余4”这一条件，用7分别去除这些数，余数为4的最小数是60。本

28、题还可以从“被7除余4”这一条件想起：被7除余4的自然数有：11，18，25，32，39，46，53，60，67这些数中同时能被3和5整除的数是60。40.在10226之间有多少个数是3的倍数？【思路或解法】 10226之间有216个数，每3个数就有一个数是3的倍数，2163=72，故10226之间有72个数是3的倍数。也可以这样想：2263=751，而10以内有3个数是3的倍数，故10226之间的数是3的倍数的数共有75-3=72（个）。41.30！表示从1到30的所有自然数的乘积即1234282930如果这个积被分解成质因数连乘的形式，求它所包含的因数5的个数。【思路或解法】 在12345

29、6282930中，以5作为因数的数有5，10，15，20，25，30这些数里共有7个因数5。42. 求出比1大，比100小的数用5除余2，用6除余5的所有数来。【思路或解法】 比1大，比100小的数用5除余2的数的个位数都是2或7100以内的数个位是2的自然数，用6除有两种结果：是整除，如：12，42，72是除不尽，如：22，32，52，62，82，92所以个位数是2的数不符合用6除余5的条件。再看：在100以内个位是7的自然数，用6除余数有三种情况：是余数为1，如37，67，97是余数为3，如27，57，87是余数为5，如17，47，77由此可知：比 1大，比100小的用5除余2，用6除余5

30、的数有17，47，77。43. 把16个石头子排列着，并记上从1到16的记号从第1个石头子，往前进3个，就到了第4个石头子如这样，从第1个石头子向右旋转前进328个，从那里向左旋转前进485个，又向右旋转前进了136个，就到了第_个石头子。【思路或解法】 485-328=157看作向左旋转；157-136=21看作向左旋转；2116=15看作向左旋转一周又回到了第一个石头后，又向左旋转了5个，所以这时到了第6号石头子的位置上。44.用1、2、3、4、5这5个数两两相乘，可以得到10个不同的乘积问乘积中偶数多还是奇数多？【思路或解法】 判断乘积是偶数还是奇数的依据是奇偶数乘积运算性质：奇奇=奇，奇偶=偶，偶偶=偶1、2、3、4、5这五个数中，只有1、3、5三个数是奇数，这三个数两两相乘的算式只有13、15、35三个，乘积也就只有3个了这三个乘积是奇数，所以，10个乘积中奇数只有3个，偶数就有 10-3=7个了故本题的答案是乘积中偶数多，奇数少。45.2310的约数的个数为_个。【思路或解法】 2310=235711（1+1）（1+1）（1+1）（1+1）（1+1）=22222=32（个）共有约数32个。46.小张在计算有余数的除法时，把被除数113错写成131，结果商比原来多