1、全国初中数学竞赛试题及答案2007年全国初中数学竞赛试题班级 座号 姓名 成绩 一、选择题(共5题,每小题6分,共30分)1、方程组的实数解的个数为( )A1 B2 C3 D42、口袋中有20个球,其中白球9个,红球5个,黑球6个。现从中任取10个球,使得白球不少于2个但不多于8个,红球不少于2个,黑球不多于3个,那么上述取法的种数是( )A14 B16 C18 D203、已知a、b、c是三个互不相等的实数,且三个关于x的一元二次方程恰有一个公共实数根,则的值为( )A0 B1 C2 D34、已知ABC为锐角三角形,O经过点B,C,且AB、AC分别相交于点D、E,若O的半径与ADE的外接圆的半
2、径相等,则O一定经过ABC的( )A内心 B外心 C重心 D垂心5、方程的整数解(x,y)的个数是( )A0 B1 C3 D无穷多二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)6、如图,点A、C都在函数的图象上,点B、D都在x轴上,且使得OAB,BCD都是等边三角形,则点D的坐标为 .7、如图,在直角三角形ABC中,ACB =90,CA= 4,点P是半圆弧AC的中点,连接BP,线段BP把图形APCB(指半圆和三角形ABC组成的图形)分成两部分,则这两部分面积之差的绝对值是 .8、如图,ABCDEFG = n90,则n = .9、已知点A,B的坐标分别为(1,0),(2,0),若二次函数的图象与
3、线段AB只有一个交点,则a的取值范围是 .10、已知对于任意正整数n,都有则 .三、解答题(共4题,每题15分,满分60分)11、已知抛物线C1:和抛物线C2:相交于A,B两点。点P在抛物线C1上,且位于点A和点B之间;点Q在抛物线C2上,也位于点A和点B之间。 (1)求线段AB的长; (2)当PQy轴时,求PQ长度的最大值。12、已知a,b都是正整数,试问关于x的方程是否有两个整数解?如果有,请把它们求出来;如果没有,请给出证明。13、如图,点E,F分别在四边形ABCD的边AD,BC的延长线上,且满足. 若CD,FE的延长线相交于点G,DEG的外接圆与CFG的外接圆的另一个交点为点P,连接PA,PB,PC,PD。求证: (1); (2)PABPDC.14、(1)是否存在正整数m,n,使得 (2)设k(k3)是给定的正整数,是否存在正整数m,n,使得