北京海淀区高三一模数学试题及答案.docx

1、北京海淀区高三一模数学试题及答案2021 北京海淀高三一模数 学2021. 04本试卷共 6 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后， 将本试卷和答题纸一并交回。第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合 A1，Bx | xa）。若 ABB，则实数 a 的取值范围是（A）（、1） （B）（，1 （C）（1，） （D）1，）z（2）如图，在复平面内，复数 z 对应的点为 P.则复数i（A）1 （B）1（C）2 （D）2的虚部为（3）

2、已知an为等差数列，Sn 为其前 n 项和.若 a5S55，则 a1（A）5 （B）4 （C）3 （D）2（4）在(x - a )6 的展开式中，x4 的系数为 12，则 a 的值为x（A）2 （B）2 （C）1 （D）1（5）函数 f (x) = sin x + cos x ， f (x) = sin x cos x ， f (x) = cos2 (x + ) - 1 中，周期是 且为奇函数的4 2所有函数的序号是（A） （B） （C） （D）（6）已知函数 f (x) 满足 f (1+ x) = f (1- x) ，且当 x1 时，f（x）log2x，则 f (8) - f (-2) =（

3、A）2 （B）1 （C） 1 （D） 3（7）已知 a，b 是单位向量，ca2b，若 ac，则|c|（A）3 （B）2 2（C）1（D）（8）已知点 A(x1, x1 ) ， B(x2 , x2 )， C(0, 4) ，则“ABC 是等边三角形”是“直线 AB 的斜率为 0”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（9）设无穷等比数列an的前 n 项和为 Sn 若a1a2a1，则（A）Sn为递减数列 （B）Sn为递增数列（C）数列Sn有最大项 （D）数列Sn有最小项（10）我国魏晋时期的数学家刘徽创造了一个称为“牟合方盖”的立体图形来推算球

4、的体积，如图 1，在一个棱长为2a 的立方体内作两个互相垂直的内切圆柱，其相交的部分就是牟合方盖，如图 2，设平行于水平面且与水平面距离为 h 的平面为 a，记平面 a 截牟合方盖所得截面的面积为 s，则函数 Sf（h）的图象是第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.（11）已知函数 f（x） x3at 若曲线 yf（x）在点（1，f（1） 处的切线的斜率为 2.则实数 a 的值是 。（12）已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率为 。（13）已知点 O（0，0），A（1，2），B（m，0）（m0），则 cos = ,若 B 是以 O

5、A 为边的矩形的项点，则 m 。（14）若实数 ， 满足方程组1+ 2 cos = 2 cos ，则 的一个值是 。 3 + 2sin = 2sin （15）对平面直角坐标系 xOy 中的两组点，如果存在一条直线 axbyc0 使这两组点分别位于该直线的两侧， 则称该直线为“分类直线”，对于一条分类直线 l，记所有的点词 l 的距离的最小值为 d，约定：d1 越大，分类直线 l 的分类效果越好，某学校高三（2）出的 7 位同学在 2020 年期间网购文具的费用 x（单位：百元）和网购图书的费用 y（单位：百元）的情况如图所示，现将 P1，P2，P3 和 P4 归为第 I 组点，樽 Q1，Q2，

6、和 Q3 归为第II 组点，在上述约定下，可得这两组点的分类效果最好的分类直线，记为 L 给出下列四个结论：直线 x2.5 比直线 3xy50 的分类效果好；分类直线 L 的斜率为 2；该班另一位同学小明的网购文具与网购图书的费用均为 300 元，则小明的这两项网购花销的费用所对应的点与第 II 组点位于 L 的同侧；如果从第 I 组点中去掉点 P1，第 II 组点保持不变，则分类效果最好的分类直线不是 L。其中所有正确结论的序号是 。三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（16）（本小题共 14 分）如图，在四边形 ABCD 中，AB/CD，AB2，C

7、D，cos A 6 ，cos ADB = 1 。3 3（I）求 cosBDC；（II）求 BC 的长.（17）（本小题共 14 分）在如图所示的多面体中，AB/CD，四边形 ACFE 为矩形，ABAE1，ADCD2.（I）求证：平面 ABE/平面 CDF；（II）设平面 BEF平面 CDFl，再从条件、条件、条件这三个条件中选择若干个作为已知，使二面角 BlC 的大小确定，并求此二面角的余弦值.条件：ABAD；条件：AE平面 ABCD：条件：平面 AED平面 ABCD.（18）（本小题共 14 分）每年的 4 月 23 日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”，为了解

8、某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了 500 名高一学生进行在线调查，得到了这 500 名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成0，2，（2，4，（4，6，（6，8，（8，10，（10，12，（12，14，（14，16，（16，18九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.（I）求 a 的值；（II）为进一步了解这 500 名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在（12，14，（14，16，（16，18三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了 10 人、现从这 10 人中随机抽取3 人，记日平均阅读时间在（14，16内的学生人数为 X，求

9、 X 的分布列；（III）以调查结果的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取 20 名学生，用“P20（k）”表示这 20 名学生中恰有 k 名学生日平均阅读时间在（10，12（单位：小时）内的概率，其中 k0，1，2，20.当 P20（k）最大时，写出 k 的值.（只需写出结论）（19）（本小题共 15 分）已知函数 f（x）x sin x.（I）判断函数 f（x）在区间（0，2）上的单调性，并说明理由；（II）求证：函数 f（x）在（ ， ）内有且只有一个极值点；2（III）求函数 g（x） f (x) +1 在区间（1， 上的最小值.ln x（20）（本小题共 14 分）x2 +

10、y2 =已知椭圆 M： a2 b2 1（ab0）过 A（2，0），B（0，1）两点.（I）求椭圆 M 的离心率；（II）设椭圆 M 的右顶点为 C，点 P 在椭圆 M 上（P 不与椭圆 M 的顶点重合），直线 AB 与直线 CP 交于点 Q，直线 BP 交 x 轴于点 S，求证：直线 SQ 过定点.（21）（本小题共 14 分）已知无穷数列an，对于 mN*，若an同时满足以下三个条件，则称数列an具有性质 P(m).条件：an0（n1，2，）；条件：存在常数 T0，使得 anT（n1，2，）；条件：anan+1man2（n1，2，）.（I）若 an54x (- 1 )n （n1，2，），且数

11、列an具有性质 P（m），直接写出 m 的值和一个 T 的值；2（II）是否存在具有性质 P（1）的数列an?若存在，求数列an的通项公式；若不存在，说明理由；（III）设数列an具有性质 P（m），且各项均为正整数，求数列an的通项公式.2021 北京海淀高三一模数学参考答案一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）答案BACBDCCADD二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。题号（11）（12）（13）（14）（15）答案-125 550.答案不唯一.满足2k + 2 , k Z3或2k, k

12、Z 即可三、解答题共 6 小题，共 85 分。（16）（本小题共 14 分）解：（）在ABD 中，因为cos A =6 ， cosADB = 1 ，所以sin A =3= 3 ， sin ADB =33= 2 2 .3所以cosABD = cos( - A - ADB)= -cos(A + ADB)= -(cos AcosADB - sin Asin ADB)= - 6 1 +3 2 2 = 6 .3 3 3 3 9因为 AB/CD ，所以BDC = ABD .所以cosBDC = cosABD = 6 .9（）在ABD 中，由正弦定理得BDsin AABsin ADB .因为 AB = 2

13、，所以 BD = AB sin A sin ADB2 6 3= 3 = 3 .2 23因为CD = ，在CBD 中，由余弦定理得 BC2 = BD2 + CD2 - 2BD CD cosBDC= 9 + 6 - 2 3= 11 .6 69所以 BC = 11 .（17）（本小题共 14 分）解：（）因为四边形 ACFE 为矩形，zEA F DyBxC所以CF / AE .又因为 AB / CD ， AB AE = A ， AB 平面 ABE ， AE 平面 ABE ， CD 平面CDF ， CF 平面CDF ， 所以平面 ABE / 平面CDF .（）选择，或因为 AE 平面 ABCD ， A

14、B 平面 ABCD ， AD 平面 ABCD ， 所以 AE AB ， AE AD .又因为 AB AD ，所以分别以 AB ， AD ， AE 所在的直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得B(1, 0, 0) ， E(0, 0,1) ， F (2, 2,1) .所以 BE = (-1, 0,1) ， BF = (1, 2,1) .设平面 BEF 的法向量为 n = (x, y, z) ，则BE n = 0, -x + z = 0,BF n = 0, 即x + 2 y + z = 0. 令 x = 1 ，则 y = -1 ， z = 1 .于是 n = (1,

15、 -1,1) .由（）可得： AD 平面CDF .取平面CDF 的一个法向量为 m = (0,1, 0) .所以cos = m n = = - 3 .| m | n | 3所以二面角 B - l - C 的余弦值为 3 .3选择因为平面 AED 平面 ABCD ，平面 AED 平面 ABCD = AD ,AB AD ， AB 平面 ABCD ,所以 AB 平面 AED .又因为 AE 平面 AED ， 所以 AB AE .在矩形 ACFE 中， AE AC .因为 AB 平面 ABCD ， AC 平面 ABCD ， AB AC = A ， 所以 AE 平面 ABCD .又因为 AD 平面 AB

16、CD ， 所以 AE AD .分别以 AB ， AD ， AE 所在的直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得 B(1, 0, 0) ，E(0, 0,1) ， F (2, 2,1) .所以 BE = (-1, 0,1) ， BF = (1, 2,1) .设平面 BEF 的法向量为 n = (x, y, z) ，则BE n = 0, -x + z = 0,BF n = 0, 即x + 2 y + z = 0. 令 x = 1 ，则 y = -1 ， z = 1 .于是 n = (1, -1,1) .由（）可得： AD 平面CDF .取平面CDF 的一个法向量为 m

17、 = (0,1, 0) .所以cos = m n = = - 3 .| m | n | 3所以二面角 B - l - C 的余弦值为 3 .3（18）（本小题共 14 分）解：（）由频率分布直方图可得：2(0.02 + 0.03 + 0.05 + 0.05 + 0.15 + a + 0.05 + 0.04 + 0.01) = 1解得 a = 0.10 .（）由频率分布直方图可知，这 500 名学生中日平均阅读时间在(12,14 ， (14,16 ， (16,18 三组内的学生人数分别为500 0.10 = 50 人， 500 0.08 = 40 人， 500 0.02 = 10 人.若采用分层

18、抽样的方法抽取了 10 人，则从日平均阅读时间在(14,16 内的学生中抽取了 4050 + 40 + 1010 = 4 人.现从这 10 人中随机抽取 3 人，则 X 的可能取值为0,1, 2,3 .C3 20 1P ( X = 0) = 6 = = ， 3 120 6C1C 260 1P ( X = 1) = 4 6 = = ， 3 120 2C 2C136 3P ( X = 2) = 4 6 = = ， C103 120 10C3 4 1P ( X = 3) = 4 = = . 3 120 30所以 X 的分布列为X0123P1612310130（） k = 4 .（19）（本小题共 1

19、5 分）解：（）由题意知， f (x) = sin x + x cos x .因为 x (0， ) ，2所以 f (x) 0 .所以 f (x) 在(0， ) 上单调递增2（）设 h(x) = f (x) ，则 h(x) = 2cos x - x sin x 当 x ( ，) 时， h(x) 0 ， f () = - 0 ， f () = 0 ，所以当 x (1, 时， f (x) + 1 1 又因为当 x (1, 时， 0 0 （ n = 1, 2 , ），所以 an+2 an+1 ，即 a2 a3 a4 0 ，当 n T - a3 时， a na + a T ，与矛盾a2 n+3 2 3所

20、以不存在具有性质 P (1) 的数列an （）因为数列an 具有性质 P(m) ，由（）知 m 1 当 m = 2 时， a= 1 (a+a ) ，即 a- a = - 1 (a- a ) ， n = 1, 2 , n+2 2 n+1 n所以 a - a = a - a n+2n+12n+1 nn+2 n+1 2 1若 a1 = a2 = c （ c 为常数，且c N* ），则 an = c ， n = 1, 2 ,经检验，数列c （ c N* ）具有性质 P(2) .若 a a，当 n loga - a时， a - a =a - a(0，1) ，1 2与 an N* 矛盾2 2 1n+2n+

21、1 2 1 当 m 3 时，令bn = maxan，an+1 N* ，则a = 1 (a + a ) 1 (a + a ) 1 (b + b ) b ， n = 1, 2 , .n+2 m n+1 n3n+1 n 3 n n n所以 a= 1 (a+ a ) 1 (a+ a ) 1 (b + b ) b .n+3m n+2n+1 3 n+2n+1 3 n n n所以bn+2 = maxan+2，an+3 bn 所以bn+2 bn -1 ， n = 1, 2 , 所以b3 - b1 -1 ， b5 - b3 -1 ， ， b2n+1 - b2n-1 -1 所以b2n+1 - b1 -n 当 n b