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1、文档网络流算法第三节 网络流算法一、网络流的基本概念先来看一个实例。现在想将一些物资从S运抵T，必须经过一些中转站。连接中转站的是公路，每条公路都有最大运载量。如下图：每条弧代表一条公路，弧上的数表示该公路的最大运载量。最多能将多少货物从S运抵T？这是一个典型的网络流模型。为了解答此题，我们先了解网络流的有关定义和概念。若有向图G=(V,E)满足下列条件： 1、有且仅有一个顶点S，它的入度为零，即d-(S) = 0，这个顶点S便称为源点，或称为发点。2、有且仅有一个顶点T，它的出度为零，即d+(T) = 0，这个顶点T便称为汇点，或称为收点。3、每一条弧都有非负数，叫做该边的容量。边(vi,

2、vj)的容量用cij表示。则称之为网络流图，记为G = (V, E, C)譬如图5-1就是一个网络流图。1可行流对于网络流图G，每一条弧(i,j)都给定一个非负数fij，这一组数满足下列三条件时称为这网络的可行流，用f表示它。1、每一条弧(i,j)有fijcij。2、除源点S和汇点T以外的所有的点vi，恒有： 该等式说明中间点vi的流量守恒，输入与输出量相等。3、对于源点S和汇点T有：这里V(f)表示该可行流f的流量。例如对图5-1而言，它的一个可行流如下：流量V(f) = 5。2可改进路给定一个可行流f=fij。若fij = cij，称为饱和弧；否则称为非饱和弧。若fij = 0，称为零流弧

3、；否则称为非零流弧。定义一条道路P，起点是S、终点是T。把P上所有与P方向一致的弧定义为正向弧，正向弧的全体记为P+；把P上所有与P方向相悖的弧定义为反向弧，反向弧的全体记为P-。譬如在图5-1中，P = (S, V1, V2, V3, V4, T)，那么P+ = , , , P- = 给定一个可行流f，P是从S到T的一条道路，如果满足：那么就称P是f的一条可改进路。（有些书上又称：可增广轨）之所以称作“可改进”，是因为可改进路上弧的流量通过一定的规则修改，可以令整个流量放大。具体方法下一节会重点介绍，此不赘述。3割切要解决网络最大流问题，必须先学习割切的概念和有关知识。G = (V, E,

4、C)是已知的网络流图，设U是V的一个子集，W = VU，满足SU，TW。即U、W把V分成两个不相交的集合，且源点和汇点分属不同的集合。对于弧尾在U，弧头在W的弧所构成的集合称之为割切，用（U，W）表示。把割切（U，W）中所有弧的容量之和叫做此割切的容量，记为C（U，W），即：例如图5-1中，令U = S, V1，则W = V2, V3, V4, T，那么C(U, W) = + + +=8+4+4+1=17定理：对于已知的网络流图，设任意一可行流为f，任意一割切为(U, W)，必有：V(f) C(U, W)。通俗简明的讲：“最大流小于等于最小割”。这是“流理论”里最基础最重要的定理。整个“流”的

5、理论系统都是在这个定理上建立起来的，必须特别重视。下面我们给出证明。证明 对任意一个中间点（即非S、也非T的点）vi，恒有： （1）当vi = S时有 （2）从（1）、（2）对iU求和得因为：V = UW，所以又因： 即 故有：所以即V(f) C(U,W)命题得证。网络流、可改进路、割切都是基础的概念，应该扎实掌握。它们三者之间乍一看似乎风马牛不相干，其实内在联系是十分紧密的。二、求最大流何谓最大流？首先它必须是一个可行流；其次，它的流量必须达到最大。这样的流就称为最大流。譬如对图5-1而言，它的最大流如下：下面探讨如何求得最大流。在定义“可改进路”概念时，提到可以通过一定规则修改“可改进路”

6、上弧的流量，可以使得总流量放大。下面我们就具体看一看是什么“规则”。对可改进路P上的弧，分为两种情况讨论：第一种情况：P+，可以令fij增加一个常数delta。必须满足fij + delta cij，即delta cij fij。第二种情况：P-，可以令fij减少一个常数delta。必须满足fij - delta 0，即delta fij根据以上分析可以得出delta的计算公式：因为P+的每条弧都是非饱和弧，P-的每条弧都是非零流弧，所以delta 0。容易证明，按照如此规则修正流量，既可以使所有中间点都满足“流量守恒”（即输入量等于输出量），又可以使得总的流量有所增加（因为delta 0）。

7、因此我们对于任意的可行流f，只要在f中能找到可改进路，那么必然可以将f改造成为流量更大的一个可行流。我们要求的是最大流，现在的问题是：倘若在f中找不到可改进路，是不是f就一定是最大流呢？答案是肯定的。下面我们给出证明。定理1 可行流f是最大流的充分必要条件是：f中不存在可改进路。证明：首先证明必要性：已知最大流f，求证f中不存在可改进路。若最大流f中存在可改进路P，那么可以根据一定规则（详见上文）修改P中弧的流量。可以将f的流量放大，这与f是最大流矛盾。故必要性得证。再证明充分性：已知流f，并且f中不存在可改进路，求证f是最大流。我们定义顶点集合U, W如下：（a）SU，（b）若xU，且fxy

8、0，则yU。（这实际上就是可改进路的构造规则）（c）W = V U。由于f中不存在可改进路，所以TW；又SU，所以U、W是一个割切（U, W）。按照U的定义，若xU，yW，则fxy = cxy。若xW，yU，则fxy = 0。所以，又因 v(f)C(U,W)所以f是最大流。得证。根据充分性证明中的有关结论，我们可以得到另外一条重要定理：最大流最小割定理：最大流等于最小割，即max V(f) = min C(U, W)。至此，我们可以轻松设计出求最大流的算法：step 1. 令所有弧的流量为0，从而构造一个流量为0的可行流f（称作零流）。step 2. 若f中找不到可改进路则转step 5；否则

9、找到任意一条可改进路P。step 3. 根据P求delta。step 4. 以delta为改进量，更新可行流f。转step 2。step 5. 算法结束。此时的f即为最大流。下面看一个实例。求图5-4所示网络流图的最大流。图中弧上的数字是该弧的容量。第一步，令所有弧的流量为0。找到一条可改进路P=(S, V1, V2, T)，delta = min4-0, 2-0, 4-0=2。找到一条可改进路P=(S, V1, T)，delta = min4-2, 4-0=2这时又找到一条可改进路P = (S, V2, V1, T)，P+ = , ，P-=。此时，delta = minCs2 FS2，C1t

10、 F1t，F12=min4 0, 4 2, 2=2新的流如下：（反向弧F12被减少了2）最后找到一条可改进路P = S, V2, T，delta = 2。对此流再也找不到可改进路了。所以它就是图2所示网络流图的最大流。再回到求网络最大流的算法中来。算法的关键步骤是step 2，即：判断是否存在可改进路，若存在又如何求。可以考虑用广度优先搜索。设置标志数组，记录顶点是不是被访问过；使用队列来存储已经访问过的顶点；另用一个一维数组，记录每个顶点是由哪个顶点扩展而来（即记录父亲节点）。首先S入队列。然后每次取队首顶点v，分析所有与v相邻的未访问顶点u：1、存在弧（正向弧），且u未访问。若fvuCvu

11、（非饱和弧），那么u入队列，给u打上“已访问”的标志，记u的父亲节点为v。2、存在弧（反向弧），且u未访问。若fuv 0（非零流弧），那么u入队列，给u打上“已访问”的标志，记u的父亲节点为-v。（以示和正向弧的区别）。扩展完成后，若T还没有被访问就必然不存在可改进路；否则就从T出发，根据记录好的每个顶点的父亲节点信息，顺藤摸瓜，找出可改进路（同时还可以计算出delta）。这只是算法的初步勾勒，具体细节的优化余地极大，留给读者思考。注：有些书上是介绍的用“标号法”求可改进路。“标号法”实质上就是广搜，只是细节的实现上略有偏差。【程序】程序中以1为源点，n为汇点program max_flow;

12、const fin = maxflow.in; fout = maxflow.out; maxn = 100;type tline = array0 . maxn of integer; tmap = array1 . maxn of tline; 网络流图的邻接矩阵var n : integer; limit, flow : tmap; 上界和流量procedure getinfo; 读入数据var i, j, c : integer;begin assign(input, fin); reset(input); readln(n); while not seekeof do begin r

13、eadln(i, j, c); limiti, j := c; end; close(input);end;procedure maxflow; 最大流var i, j, delta, x : integer; last : tline; 可改进路中的前趋 check : array0 . maxn of boolean; 是否已经检查过begin repeat fillchar(last, sizeof(last), 0); fillchar(check, sizeof(check), false); last1 := maxint; repeati := 0; repeat inc(i)

14、until (i n) or (lasti 0) and not checki;找到一个已检查而未标号的点 if i n then break; for j := 1 to n do if lastj = 0 then if flowi, j 0 then lastj := -i; 反向弧 checki := true; until lastn 0; if lastn = 0 then break; delta := maxint; i := n; repeat j := i; i := abs(lastj); if lastj 0 then x := limiti, j - flowi, j

15、 else x := flowj, i; if x 0 then inc(flowi, j, delta) else dec(flowj, i, delta); until i = 1; 放大网络流 until false;end;procedure print; 输出var i, j, sum : integer;begin sum := 0; assign(output, fout); rewrite(output); for i := 1 to n do for j := 1 to n do if flowi, j 0 then begin if i = 1 then inc(sum,

16、flowi, j); writeln(i, -, j, , flowi, j); end; writeln(maxflow = , sum); close(output);end;begin getinfo; 输入 maxflow; 加工 print; 输出end.三、最小费用最大流1问题的模型流最重要的应用是尽可能多的分流物资，这也就是我们已经研究过的最大流问题。然而实际生活中，最大配置方案肯定不止一种，一旦有了选择的余地，费用的因素就自然参与到决策中来。图5-8是一个最简单的例子：弧上标的两个数字第一个是容量，第二个是费用。这里的费用是单位流量的花费，譬如fs1=4，所需花费为3*4=12

17、。容易看出，此图的最大流（流量是8）为：fs1 = f1t = 5, fs2 = f2t = 3。所以它的费用是：3*5+4*5+7*3+2*3 = 62。一般的，设有带费用的网络流图G = (V, E, C, W)，每条弧对应两个非负整数Cij、Wij，表示该弧的容量和费用。若流f满足：(a)流量V(f)最大。(b)满足a的前提下，流的费用Cost(f) =最小。就称f是网络流图G的最小费用最大流。2算法设计我们模仿求最大流的算法，找可改进路来求最小费用最大流。设P是流f的可改进路，定义为P的费用（为什么如此定义？）。如果P是关于f的可改进路中费用最小的，就称P是f的最小费用可改进路。求最小

18、费用最大流的基本思想是贪心法。即：对于流f，每次选择最小费用可改进路进行改进，直到不存在可改进路为止。这样的得到的最大流必然是费用最小的。算法可描述为：step 1. 令f为零流。step 2. 若无可改进路，转step 5；否则找到最小费用可改进路，设为P。step 3. 根据P求delta（改进量）。step 4. 放大f。转step 2。step 5. 算法结束。此时的f即最小费用最大流。至于算法的正确性，可以从理论上证明。读者可自己思考或查阅有关运筹学资料。2最小费用可改进路的求解求“最小费用可改进路”是求最小费用最大流算法的关键之所在，下面我们探讨求解的方法。设带费用的网络流图G =

19、 (V, E, C, W)，它的一个可行流是f。我们构造带权有向图B = (V, E)，其中：1、V = V。2、若E，fijCij，那么E，权为Wij。若E，fij0，那么E，权为-Wij。显然，B中从S到T的每一条道路都对应关于f的一条可改进路；反之，关于f的每条可改进路也能对应B中从S到T的一条路径。即两者存在一一映射的逻辑关系。故若B中不存在从S到T的路径，则f必然没有可改进路；不然，B中从S到T的最短路径即为f的最小费用可改进路。现在的问题变成：给定带权有向图B = (V, E)，求从S到T的一条最短路径。考虑到图中存在权值为负数的弧，不能采用Dijkstra算法；Floyd算法的效

20、率又不尽如人意所以，这里采用一种折衷的算法：迭代法。设Shorti表示从S到i顶点的最短路径长度；从S到顶点i的最短路径中，顶点i的前趋记为Lasti。那么迭代算法描述如下：（为了便于描述，令n = |V|，S的编号为0，T的编号为n+1）step 1. 令Shorti +（1in+1），Short0 0。step 2. 遍历每一条弧。若Shorti + Shortj，则令Shortj Shorti + ，同时Lastj i。倘不存在任何一条弧满足此条件则转step 4。step 3. 转step 2.step 4. 算法结束。若Shortn + 1= +，则不存在从S到T的路径；否则可以根据

21、Last记录的有关信息得到最短路径。一次迭代算法的时间复杂度为O(kn2)，其中k是一个不大于n的变量。在费用流的求解过程中，k大部分情况下都远小于n。【程序】程序中以1为源点，n为汇点program cost_flow;const fin = costflow.in; fout = costflow.out; maxn = 100;type tline = array0 . maxn of integer; tmap = array1 . maxn of tline; var n : integer; limit, cost, flow : tmap; 上界、费用、流量procedure g

22、etinfo; 读入数据var i, j, c, w : integer;begin assign(input, fin); reset(input); readln(n); while not seekeof do begin readln(i, j, c, w); limiti, j := c; costi, j := w; end; close(input);end;procedure print; 输出var i, j, sum, acost : integer;begin assign(output, fout); rewrite(output); sum := 0; acost :

23、= 0; for i := 1 to n do for j := 1 to n do if flowi, j 0 then begin if i = 1 then inc(sum, flowi, j); inc(acost, flowi, j * costi, j); writeln(i, -, j, , flowi, j); end; writeln(maxflow = , sum); writeln(mincost = , acost); close(output);end;procedure costflow; 求最小费用最大流var i, j, x, delta : integer;

24、best, last : tline; best：最短路长度；last：可改进路中的前趋顶点 more : boolean;begin repeat fillword(best, sizeof(best) shr 1, maxint); fillchar(last, sizeof(last), 0); last1 := maxint; best1 := 0; 赋初值 repeat more := false; for i := 1 to n do if besti maxint then for j := 1 to n do begin if (flowi, j limiti, j) and

25、(besti + costi, j 0) and (besti - costj, i 0 then x := limiti, j - flowi, j else x := flowj, i; if x 0 then inc(flowi, j, delta) else dec(flowj, i, delta); until i = 1; until false; 根据改进量放大流end;begin getinfo; 输入 costflow; 计算 print; 输出end.3思维发散与探索1）可改进路费用：“递增！递增？”设f从零流到最大流共被改进了k次，每i次选择的可改进路的费用为pi，那么会

26、不会有p1p2p3pk呢？2）迭代法：“小心死循环！嘿嘿”迭代法会出现死循环吗？也就是说，构造的带权有向图B中会存在负回路吗？3）费用：“你在乎我是负数吗？”网络流图中的费用可以小于零吗？4）容量：“我管的可不仅是弧。”网络流图中的“容量”都是对弧而言的，但若是给每个顶点也加上一个容量限制：即通过此顶点的流量的上限；任务仍然是求从S到T的最小费用最大流。你能解决吗？四、有上下界的最大流上面讨论的网络流都只对每条弧都限定了上界（其实其下界可以看成0），现在给每条弧加上一个下界限制Aij（即必须满足Aijfij）。例如图5-9：弧上数字对第一个是上界，第二个是下界。若是撇开下界不看，此图的最大流如图5-10(a)所示，流量是6；但若是加入了下界的限制，它的最大流量就只有5了，具体方案见图5-10(b)。那么有上下界的网络最大流怎么求呢？一种自然的想法是去掉下界，将其转化为只含上界的网络流图。这种美好的愿望是可以实现的。具体方法如下：设原网络流图为G = (V, E, C, A)，构造不含下界的网络流图G = (V, E, C)：1、V = VS, T2、对每个顶点x，令，若h-(x)0，就添加一条弧，其上界为h-(x)。3、对每个顶点x，令，若h+(x)0，就添加一条弧，其上界为h+(x)。4、对于任