解析几何大题答案.docx

1、解析几何大题答案解析几何大题答案解析几何大题答案. - 2 2 1、椭圆冷召1(a,b 0)的两个焦点Fl、F2,点P在 a b椭圆 C 上，且 P Fl 丄 PF2,| P Fi|=4,| P F2|=14.(I)求椭圆C的方程；(II)若直线L过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称， 求直线L的方程。解法一：(I )因为点P在椭圆 C上，所以 2a PFi PF2 6, a=3.在Rt PF1F2中，I F1F2IPF2 |PF2怎故椭圆的 半焦距C=药，从而 b2=a2- c2=4,2 2所以椭圆C的方程为亍丁 = 1.(H )设A, B的坐标分别

2、为(X1,y1)、(X2,y2). 由 圆的方程为(x+2) 2+(y-1)2=5，所以圆心M的坐 标为(2，1). 从而可设直线I的方程为 y=k(x+2)+1,代入椭圆C的方程得 (4+9k2 )x2+(36k2+18k)x+36k2+36k 27=0.因为A，B关于点M对称.所以1肿+% 小 = _2.4 + 9，所以直线/的方程为尸験+”，即8炉9尸25=0. （经检验，符合题意） 解法二：（I）同解法一.（II）已知圆的方程为（X+2）2+（y_l）2=5,所以圆 心M的坐标为（一2, 1）.设儿的坐标分别为&1丿1）9（兀2丿2）由题意且4=* 斗+各1, 由一得(x, -x2)(

3、x,+x2) J (必一儿)(戸+儿)_09 4因为/、关于点M对称，所以xi+x2=4, ji+J2=2,代入得即直线/的斜率为廿Xj -x2 9 9所以直线I的方程为y-i = l（X+2）,即8x-9尸25=0（经检验，所求直线方程符合题意）(I)求过点0、F，并且与椭圆的左准线I相 切的圆的方程；(U)设过点F且不与坐标轴垂直交椭圆于 A、 B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G,求点G横坐 标的取值范围.本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等 基本知识，考查平面解析几何的基本方法， 考查 运算能力和综合解题能力。解：(|) Qa2 2,b2 1,Q圆过点0、F，圆心M在直线x设M

4、( 2t)，则圆半径r ( I；) ( 2)由om| r,得J t2 3,解得t丘.所求圆的方程为(x 1)2 (y .2)2 4.2 4(II )设直线AB的方程为y k(x i)(k 0),代入手 y2 1,整理得(1 2k2)x2 4k2x 2k2 2 0.Q直线AB过椭圆的左焦点F,方程有两个不 等实根。2记 AUBDAB 中点 NS),则 x. X2 2k2 1，AB的垂直平分线NG的方程为y y。1(x xo).k令y o,得. 2k2k2k21 1XgXo kyo 2 2k2 12k2 12k21 2 4k2 2Qk10, 一 XG 0,点G横坐标的取值范围为(2,0).2 23

5、、设A,B分别为椭圆二* 1(a,b 0)的左、右顶点，a b 7椭圆长半轴的长等于焦距，且X 4为它的右准线。(I)、求椭圆的方程；(U)、设P为右准线上不同于点(4, 0)的任意 一点，若直线AP, BP分别与椭圆相交于异于A,B的点 M、N，证明点B在以MN为直径的圆内。点评：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平 面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识 进行推理运算的能力和解决问题的能力。4 3(U)解法 1:由(I)得 A (-2, 0), B (2, 0).设 M (xo, yo). M 点在椭圆上， yo = 3 (4 xo).又点M异于顶点A、B， 2xo2,由P、 A、M三点共

6、线可以得P (4,笫).7 Xo 2从而 bm =( xo 2, yo), bp =( 2, )Xo 2从而/ MBN为钝角，故点B在以MN为直径的圆内解法 2:由(I)得 A (-2, 0), B (2, 0) 设 M (Xi，yi)，N (X2，y2)，则一2xi2, 2X22,又 MN 的中点 Q依题意，计算点B到圆心Q的距离与半径 的差BQ2 4|mn2 =（宁2） 2+（汁）2 4（X1 X2）2 + （yi y2）2=（Xi 2）（X2 2）+ yiyi又直线AP的方程为y= =（x 2）,直线bp“ 2的方程为y=七& 2）,丿 x2 2而点两直线AP与BP的交点P在准线X =

7、4 上，2 2又点M在椭圆上，则宁牛1，即yi2弓(4 X!2)7 4 3 4于是将、代入,化简后可得|BQ2 -丄|MN 245=5( 2-xJ(X2 2) 0.4从而，点B在以MN为直径的圆内。r . 2 24、已知椭圆Ci三 七1,抛物线C2：(y m)2 2px(p 0), 4 3且Ci、C2的公共弦AB过椭圆Ci的右焦点.(I )当AB丄x轴时，求m、p的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上;(n )是否存在m、p的值，使抛物线C2的焦点恰 在直线AB上？若存在，求出符合条件的m、p的 值；若不存在，请说明理由解：(I)当AB丄x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m= 0,直线A

8、B的方程为：x =1,从而点A的坐标为(1，| )或(1，- |.因为点A在抛物线上.所以9 2p，即p 8此时C2的焦4 8点坐标为(彩，0)，该焦点不在直线AB上.（II ）解法一：假设存在m、p的值使C2的焦点恰 在直线AB上，由（I）知直线AB的斜率存在， 故可设直线AB的方程为y k（x 1）.2(kx k m) 2px.因为C2的焦点F Gp,m）在直线y k（x 1）上，.2 2k2X2 p(k2 2)x P 04由于Xi, X2也是方程的两根，所以 Xi + X2 =2P(k 2) k28k23 4k22P(k 2)k28k2p 2 2(4 k 3)(k 2)又AB过Ci、C2

9、的焦点，所以AB(X, 2) (X2 2) Xi X2 p (2 2Xi) (2 ),1).由(I)知Xi X2, p 2，于是直线 AB的斜率y2 y1 m 0 2mX2 X|且直线AB的方程是y诜(x 1),2 23xi 4yi 123x 4y 123(X1 X2)4(y1 y2)出 0m2 3( p 4)( p 2)216(1 p)2(y1 m) 2 PX1 (y2 m)2 2px2x2 x1% y2 2m 2p-y2 y1将、代入得23p(P 2)16 10p2解得P -或P 8(舍去)将p -代入得m23 3 3普或m普由上知，满足条件的m、p存在，且m再或 込P电3 P 32 25

10、、如图，椭圆Q :冷+b=1 (a b 0)的右焦点F7 a b(c, 0),过点F的一动直线m绕点F转动，并 且交椭圆于A、B两点，P是线段AB的中点(1)求点P的轨迹H的方程(2) 在Q的方程中，令 a2= 1 + cos + sin , b2= sin (0 -),确定 的值，使原点距 椭圆的右准线I最远，此时，设I与x轴交 点为D，当直线m绕点F转动到什么位置 时，三角形ABD的面积最大？、 亠 . - 2 2解：如图，(1)设椭圆Q :笃+占=1 (a b 0) 上 a b的点 A (X1，yj、B坐标为P (x，y)，则b2x2+ a2y2= a2b2 ( 1)b2x；+ a2y；

11、= a2b2 ( 2)1当AB不垂直x轴时,X1 X2，由(1) ( 2)得 b2 (X1 X2)2x + a2 (y1 y2) 2y 02y1 y2 b X y 2x1 x2 a y x cb2x2+ a2y2 b2cx= 0 ( 3)2当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方 程(3)故所求点P的轨迹方程为：b2x2 + a2y2 b2cx = 02(2)因为，椭圆 Q右准线I方程是x = a_，原 c点距I的距离为-，由于 c2= a2 b2, a2= 1 + cos + csin , b2= sin (0 ) 2则a2 = 1+严 + sin = 2sin ( +) c Vi + co

12、s 2 4 7当=-时，上式达到最大值。此时a2 = 2, b2= 1,c= 1, D (2, 0), |DF| = 12设椭圆Q :才+ y2=1上的点 A (X1, y1)、B (X2, y2),三角形ABD的面积S= 2|y1|+ 2|y2l=扌 M y2l2设直线m的方程为x = ky + 1,代入+y2=1中，得(2+ k2) y2 + 2ky 1 = 0由韦达定理得 y1 + y2= I*，y1y2= +产,4S2=( yi-y2)2=( yi + y2) 2-4 yiy2=()令t = k2+ 1 1,得4$2=岛=亠 夕=2，当t =(丫 十卩 t + - + 2 4t1, k

13、 = 0时取等号。因此，当直线m绕点F转到垂直x轴位置时， 三角形ABD的面积最大。2 26、双曲线C与椭圆令七1有相同的焦点，直线 y=氐为C的一条渐近线.（1） 求双曲线C的方程；（2） 过点P（0,4）的直线i，交双曲线C于A,B 两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合）. 当PQ QA 2QB，且12 8时，求Q点的坐标.32 27古1 由椭圆解：（I）设双曲线方程为1求得两焦点为（2,0）,（2,0）,2 2x y_8 4对于双曲线C：c 2，又y 3x为双曲线C的一条渐 近线b 3 解得 a2 1,b2 3，a 7(H)解法一：B(X2,y2)则 Q(和)由题意知直线i的斜率k存

14、在且不等于零设 I 的方程：y kx 4,A(Xi,yJ，umrmu44Q PQ1QA(k,4)1(X1R,y1)4444X1k )1 kkk4 $4y11Q A(xi,yi)在双曲线C上，叫)2 16 1 0k i i2 16 2 2 216 32 1 16 1 k k 0.32 2 16 2 (16 k2) ； 32 1 16 k2 0.1 3同理有：(16 k2) ； 32 2 16 k2 0.3若16 k2 0,则直线I过顶点，不合题意.16 k2 0,此时0, k 2.所求Q的坐标为(2,0).7、在平面直角坐标系XO y中，直线I与抛物线y2 = 2x相交于A、B两点.(1)求证：

15、“如果直线I过点T (3, 0),那么OA OB =3”是真命题；(2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命 题还是假命题，并说明理由.解(1)设过点T(3,0)的直线i交抛物线y2=2x 于点 A(xi,yi)、B(x2,y2).当直线i的钭率不存在时，直线i的方程为 x=3，此时，直线i与抛物线相交于点 A(3,血)、B(3, 一 0),M为 直 线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线， 切点分别为A, B.(I)求证：A, M , B三点的横坐标成等差数 列；()已知当M点的坐标为(2,-2p)时，AB 4局,求此时抛物线的方程；(皿)是否存在点 M，使得点C关 于直线AB的对称点

16、D在抛物线 x2 2 py( p 0)上，其中，点C满足皑oA OB （O为坐标原点）若存在，求出所有适 合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.（I）证明：由题意设 A（Xi,2 2Xi X2-),B(X2,-2p 2p),B(X2,),Xi 彳cd g 4P2 i，所以题设矛盾，所以X0 0时，不存在符合题意的 M点.综上所述，仅存在一点 M(0, -2p)适合题意.i0、(本题i5分)已知曲线C是到点P (雳)2 8和到直线y 5距离相等的点的轨迹。是8过点Q(-1，0)的直线，M是C上(不在上)的动点；A、B在上，MA ,MB x轴 (如图)(I)求曲线C的方程；(H)求出直线的方程

17、，使得碟为常数。 本题主要考查求曲线的轨迹方程、两条直线的位 置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方 法和综合解题能力满分15分.(I)解：设N(x, y)为C上的点，贝0|NP|21x N到直线y222135x -y -y -288y由题设得585的距离为(H)解法一：2X,设 M ，直线 l：y kx k，则B(x, kx k), 从而 |QB| 1| 在Rt QMA中，因为2 2 x|QM |2 (x 1)2 1 ，|QB|2 2(1 k2)J1 k2gx 1TQAT ii g73k从而所求直线l方程为2x y 2 0 .2解法：设M兀丄于，直线l : y kx k，则B(x, kx k), 从而|QB|、1 k2 |x 1| .过Q( 1,0)垂直于I的直线l1：y丄(x 1).k因为|QA| | MH |， 所以 |QA|QB|2 2(1 k2)j1 k2 x 1Qa |T| g7 k从而所求直线I方程为2x y 2 0.