第一届图灵杯网络大学生数学竞赛试题参考答案非数学专业组.docx

1、第一届图灵杯网络大学生数学竞赛试题参考答案非数学专业组2021 年第一届“图灵杯”网络大学Th数学竞赛参考答案(非数学专业组)一、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）1.由 sin x 的泰勒展开式，当 x 为正且充分小时，有x3x 6 sin x 0 而 x + 时， x + t 0，故可将原式进行放缩 dt 3 1 dt sin dt x dt0 x + tx6 0 (x + t)3x0 x + t0 x + t而 dt = ln 2， 对0 x + t 0 1 dt 有(x + t)3 1 dt1 ( 1 1 )0 , x 故由破敛准则知，原式 = ln 2.2.注

2、意到函数 f (x) = x2n+1 + x 1 只有唯一的实数根 x0, 则 y = x0 因而有0y = x0x + C 其中C任意常数 因此 x = y C , 于是微分方程的隐式解为x3.解法一： 令 u = 2x, 则(y C )2n+1xy Cx = 1.+ 2 1 0 4 1 ( ) + 2 1 + ( ) ( ) 1 t 1 1 .+ 1 ( t 1 ) 1 1 1 1 ) + 1 1 s= 1 es2s 1 + 2 1 2s 3ds =+es0s 1ds = (1 ) = 解法二:+x2 1 4 ( ) + 1 ( 2) 2 t e 1 .+ (1 2 ) e 1 dt+ 1

3、 1 + (1 ) 解法三: 先求不定积分2= 2x2 22x d 1 x2 + 12e 1 ex2 2x 1 dx2 1 +2ex2 2x x2 + 1 x2 + 1ex2x 2x2 ex2 (2x) 1 dx2x2 + 1= + 2 ex2 dx2则 I =xex2 +x2 + 1 .0+ 2 ex2 dx = .0解法四: 广义重积分交换积分次序+ex2 =x2tet2 dt,所以+ +I =2tet2dtdx0 x (x2 + 1 )2 交换积分次序 +t2 dx + t2 t 02te0 (x2 + 1 )2dt =2te02 arctan2t + t2 + 1 dt+ 2t2=1

4、etdt + + 2 2tet2arctan 2tdt0 t2 + 2 0= 2 +et2+dt et21 dt + 2 arctan 2tdet20+= 2 et20+0+dt 0t2 + 2et2 2 120 2 arctan 2tet2 .+ et2 2 12= 2 et2 dt = 0n 1 1 1 1 1 4.易知 n 2 ，故 n n 2n . 而 2n 发散，故 1+ 1 发散.n n n=1 n=1 n n5.椭圆上的点 M(x, y, z) 到原点的距离为 x2 + y2 + z2.解方程组 2x + 2 x + = 0,2y + 2 y + = 0,2z + = 0, z

5、= x2 + y2, x + y + z = 1.2入后两个方程可得 x = 6.由题1 2divF = div p = ( x ) + ( y ) + ( z )p x p3 3 3 ( x y p3y z ) z p3 3 3 (x2 + y2 + z2) 3 = p3 3 x2 + y2 + z2 p3cos (p, n0) dSp2 p n0 1 dS = p n0dS = F n0dS,当原点在曲面 上时，则以原点为球心，以充分小的 0 为半径作球面 S , 它含在 V 内的部分记作 ，以内法向为定向。小球面截得 得球外侧部分为 ，则 +F n0dS = VdivFdV = V0dV

6、 = 0 F n0dS = F n0dS = ( x x + y y + z z )dS (2 )dS 3 1 dS3 1 S 3 122 1 o 1= 4= 2= 2( ) = 2 ( )F n0dS = lim0+ F n0dS = lim0+2 1 o (1) = 2其中 S( ) = 221 o(1)( 0+) 是由于 z f (x, y) fx (0, 0) x + fy (0, 0) y + o (x2 + y2) tan =x2+ y2 =x2+ y2 = x2 + y20 x + 0 y + o (x2 + y2)= x2 + y2 = o (x2 + y2)x2 + y2 (

7、 0+ = x2 + y2 0).二、（本小题满分 12 分）令f (x) = e2x + sin x + cos x + Pn (x)注意到所以f (x) f (x) =2 sin x e2xxn+ n!2n! sin x n!e2x + xne2x + sin x + cos x + Pn (x) dx= n! f (x) f (x) dx f (x)= n! dx n! f (x) dxf (x). .= n!x n! ln .e2x + sin x + cos x + Pn (x). + C所以lim 1 2n! sin x n!e2x + xndx 1ln 3lim ln .e2si

8、n 1cos 1n 1 . 三、（本小题满分 12 分）构造函数 g(x) = ex2 f (x)，则ln 3ee + e + sin 1 + cos 1g (x) = 2xex2 f (x) + ex2 f (x)g (x) = f (x) + 4x f (x) + (2 + 4x2) f (x) ex2则limxf (x) = limg (x)x2 = limf (x) ex2x2+x+ e x+ e f (x) + 4x f (x) + (2 + 4x2) f (x) ex2 = limx+f (x) + 4x f (x) + 2 + 4x2 f (x)2 + 4x2 = 0四、（本小题

9、满分 14 分）(1)设点 P(x, y, z) S, S 在 P 处的法向量n = (2x, 2y z, 2z y)C 的方程,C : 2z y = 0 也可写成 C : 2z y = 0 .x + y+ z yz = 1 x + 4 y = 1(2)由 C 的第一个表达式知道,C 在平面 2z y = 0 上, 所以 C 是一条平面曲线. 由第二个表达式知 C 是一个椭圆.C 在 xOy 平面上的投影是一个椭圆C : z = 0 , 2 2+ 4 y = 1其围成的面积 AxOy = 3 1 = 3 . 所以 C 在平面 2z y = 0 上所围成区域的面积为A = AxOy =cos 2

10、3 = 5 .2 35其中 cos 为平面 2z y = 0 的法向量 (0, 1, 2) 与 z 轴夹角的余弦.五、（本小题满分 16 分）(1)证明： 1 1 1 (1 1 )m=1m(m + 1)(m + 2) . . . (m + n) =m=11n (m + 1)(m + 2) . . . (m + n 1)n m + n= n!n所以bn = nan = 1 , Sn = 1 + 1 + 1 + + 1n! 2! 3! n!因为e = 1 + 1 + 1 + + 1 + . . .2! n!所以e 1 + 1 + 1 + + 1 + 1 = Sn + n an + 1又对 m n，2! n!(n + 1)!n + 1 1 1 1 1 1 1 + + + 1 + + + . . .(n + 1)! 1 1 n + 2所以(n + 1)!(n + 1)n!ne 0)