勾股定理经典例题详细讲解A.docx

1、勾股定理经典例题详细讲解A勾股定理经典例题详解熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的：3、4、55、12、13 :8、15、17 ;7、24、25 :10、24、26 ; 9、40、41 .类型二：勾股定理的构造应用1 、如图，已知：在中， . 求： BC 的长 .2.如图，已知：，于 P. 求证：3.已知：如图，/ B= Z D=90 ,Z A=60 , AB=4 , CD=2。求：四边形 ABCD 的面积类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题4、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地 A点出发，沿北偏东60 方向走了到达B点，然后再沿北偏西 30 方向走了 500m

2、到达目的地 C 点。（1 ）求 A、 C 两点之间的距离。 （2）确定目的地 C 在营地 A 的什么方向。5、如图，公路 MN和公路PQ在点P处交汇，且Z QPN = 30。，点A处有一所中学，AP = 160m 假设拖拉机行驶时，周围 100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶 时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为 18km/h ，那么学校受影响的时间为多少秒？（二）用勾股定理求最短问题6、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地 有四个村庄 A、 B、 C、 D ，且正好位于一个

3、正方形的四个顶点， 现计划在四个村庄联合架设一条线路， 他们设计了四种架设方案，如图实线部分请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线7.如图，一圆柱体的底面周长为 20cm，高AE为4cm , BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点 A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C,试求出爬行的最短路程.类型四：利用勾股定理作长为的线段8、作长为、的线段。9、如果A ABC的三边分别为 a、b、c,且满足a2+b 2+c2+50=6a+8b+10c ，判断AABC的形状10.四边形 ABCD 中，/ B=90 , AB=3 , BC=4 , CD=12 , AD=13，求四边形 ABCD 的面积11.已知： ABC

4、的三边分别为 m2 n2 , 2mn ,m 2+n2（m,n为正整数，且m n）,判断 ABC是否为 直角三角形112.如图正方形 ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF - AB。请问FE与DE是否垂直？ 4请说明。13、如图所示， ABC是等腰直角三角形，AB=AC , D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC 边上的点，且 DE丄DF，若BE=12 , CF=5 .求线段EF的长。14、如图所示，已知 ABC中，/ C=90 ,Z A=60 ,，求、的值15.如图所示，折叠矩形的一边 AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm , BC=10cm，求 EF的长。16、矩形

5、ABCD中，AB=6 , BC=8，先把它对折，折痕为F上的A1，求第二次折痕 BG的长。17、在矩形纸片 ABCD 中，AD=4cm , AB=10cm为EF，求（1 ） DE的长；（2 ） EF的长。按图所示方式折叠，使点 B与点D重合，折痕18.如图Rt ABC， C 90 AC 3,BC 4,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积19.如图（8），水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分 BC的长是0.5米,把芦苇拉到岸边，它的顶端 B恰好落到D点，并求水池的深度 AC.E 220、一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙 7米，（1 ）这个梯子的顶端距地

6、面有多高？（ 2）如果梯子的顶端下滑了第18题图21、如图，一块直角三角形的纸片,两直角边AC=6 cm, BC=8 cm。现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边 AB上，且与AE重合，求CD的长.22、如图所示，已知在 ABC中，AB=AC , BAC= 90 , D是BC上任一点，求证:BD 2 CD2 2AD2。答案：1.思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于 D，则有,，再由勾股定理计算出 AD、DC的长，进而求出BC的长解析：作于D，则因，（的两个锐角互余）（在中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）根据勾股定理，在中，根据勾股定理，在中，总结升华：

7、利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用当题目中没有垂直条件时， 也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理 .2.思路点拨：图中已有两个直角三角形，但是还没有以 BP为边的直角三角形因此，我们考虑 构造一个以BP为一边的直角三角形所以连结BM.这样，实际上就得到了 4个直角三角形.那么 根据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系解析：连结BM，根据勾股定理，在中，而在中，则根据勾股定理有.* 驚 .I. . - y . ； I -又T （已知），在中，根据勾股定理有3.分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结 AC ,或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根

8、据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。解析：延长AD、BC交于E。vZ A= Z 60 ,Z B=90 ,aZ E=30 。 AE=2AB=8 , CE=2CD=4 , BE 2=AE 2-AB 2=82-4 2=48 , BE=。/ DE 2= CE 2-CD 2=4 2-2 2=12，二 DE=。S 四边形 abcd =S abe -S cde =AB BE-CD DE=4.思路点拨：把实际问题中的角度转化为图形中的角度，利用勾股定理求解。解析：（1 ）过B点作BE/AD/Z DAB= Z ABE=60 30 + Z CBA+ Z ABE=180 Z CBA=9

9、0 即厶ABC为直角三角形由已知可得：BC=500m , AB=由勾股定理可得：所以厂广+.! +H （2 ）在 Rt ABC 中，/ BC=500m , AC=1000mZ CAB=30 tZ DAB=60 Z DAC=30 即点C在点A的北偏东30 的方向总结升华：本题是一道实际问题，从已知条件出发判断出 ABC是直角三角形是解决问题的关键。本题涉及平行线的性质和勾股定理等知识。5.思路点拨：（1 ）要判断拖拉机的噪音是否影响学校 A,实质上是看A到公路的距离是否小于 100m,小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段 AB并计算其长度。（2）要求出学校受 影响的时间，实质

10、是要求拖拉机对学校 A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始 影响学校，行至哪一点后结束影响学校。解析：作AB丄MN，垂足为B。在 Rt 从BP 中，tZ ABP = 90 ,Z APB = 30 , AP = 160 ,AB = AP = 80。（在直角三角形中，30。所对的直角边等于斜边的一半） 点A到直线MN的距离小于100m,这所中学会受到噪声的影响。如图，假设拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么 AC = 100（m）,由勾股定理得： BC2 = 100 2-80 2 = 3600, BC = 60。同理，拖拉机行驶到点 D处学校开始脱离影响

11、，那么， AD = 100（m） , BD = 60（m）,CD = 120（m）。拖拉机行驶的速度为 ：18km/h = 5m/s t = 120m 5m/s = 24s。答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为 24秒。6.思路点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进 行比较，得出结论.解析：设正方形的边长为1，则图（1 ）、图（2）中的总线路长分别为AB+BC+CD = 3 , AB+BC+CD = 3图（3 ）中，在Rt ABC中同理图（3）中的路线长为图（4 ）中，延长 EF交BC于H，贝V FH丄BC

12、 , BH = CH由/ FBH = 及勾股定理得：EA = ED = FB = FC = EF = 1 2FH = 1 此图中总线路的长为 4EA+EF =3 2.8282.732图(4)的连接线路最短，即图(4)的架设方案最省电线.总结升华：在实际生产工作中，往往工程设计的方案比较多， 需要运用所学的数学知识进行计算,比较从中选出最优设计本题利用勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的性质.7.解：如图，在Rt ABC中，EC=底面周长的一半=10 cm , 根据勾股定理得(提问：勾股定理) AC = =10.77( cm )(勾股定理). 答：最短路程约为1 0.77 cm .8.思路点

13、拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和 1的直角三角形斜边长就是，类似地可作。作法：如图所示(1 )作直角边为1 (单位长)的等腰直角 ACB，使AB为斜边；(2 )以AB为一条直角边，作另一直角边为 1的直角。斜边为；(3 )顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、的长度就是、0总结升华：(1 )以上作法根据勾股定理均可证明是正确的； (2 )取单位长时可自定。一般习惯用国际标准的单位，如 1cm、1m等，我们作图时只要取定一个长为单位即可。举一反三 【变式】在数轴上表示的点。解析：可以把看作是直角三角形的斜边，为了有利于画图让其他两边的长为整数，而10

14、又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是 3和1。作法：如图所示在数轴上找到 A点，使OA=3，作AC丄OA且截取AC=1 ,以OC为半径， 以O为圆心做弧，弧与数轴的交点 B即为。9.思路点拨：要判断A ABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c ，故只有从该条件入手，解决问题。解析：由 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c ，得：a2-6a+9+b 2-8b+16+c 2-10c+25=0,(a-3) 2+(b-4) 2+(c-5) 2=0。 (a-3)2 0, (b-4) 2 0, (c-5) 2 0。a=3 , b

15、=4 , c=5。 32+42=52,a2+b 2=c2。由勾股定理的逆定理，得A ABC是直角三角形。总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的 ，在证明中也常要用到10.【答案】：连结ACvZ B=90 , AB=3 , BC=4 AC2=AB 2+BC 2=25 （勾股定理） AC=5v AC2+CD2=169 , AD2=169AC2+CD 2=AD 2Z ACD=90。（勾股定理逆定理）11.分析:本题是利用勾股定理的的逆定理， 只要证明：a2+b2=c2即可证明： 弓” J： 1 :八;所以 ABC是直角三角形12【答案】答：DE丄EF。证明：设 BF=a，贝V

16、 BE=EC=2a, AF=3a , AB=4a,EF2=BF 2+BE 2=a2+4a 2=5a 2;DE2=CE2+CD 2=4a2+16a 2=20a 2。连接DF （如图）DF2=AF2+AD2=9a2+16a 2=25a 2。DF2=EF2+DE2,FE 丄DE。13思路点拨：现已知BE、CF ,要求EF，但这三条线段不在同一三角形中， 所以关键是线段的转化,根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接 AD .解：连接AD .因为Z BAC=90 , AB=AC . 又因为AD为厶ABC的中线， 所以 AD=DC=DB . AD 丄 BC .且Z BAD= Z C=4

17、5 .因为Z EDA+ Z ADF=90 . 又因为Z CDF+ Z ADF=90 . 所以Z EDA= Z CDF . 所以 AED CFD （ASA ）.所以 AE=FC=5 .同理：AF=BE=12 .在Rt AEF中，根据勾股定理得：，所以 EF=13。总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解：当 已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求 解。14 思路点拨：由，再找出、的关系即可求出和的值。解：在 Rt ABC 中，Z A=60 ,Z B=90 - Z A=30 :贝V,由勾股定理，得。因为，所以，,。总结升华：在直角三角形中，30。的锐角的所对的直角边是斜边的一半。15. 解：因为 ADE与厶AFE关于AE对称，所以 AD=AF , DE=EF。所以。因为四边形ABCD是矩形，所以/ B= Z C=90 ,在 Rt ABF 中， AF=AD=BC=10cm ， AB=8cm ， 所以。设，则。在 Rt ECF 中，即，解得。 即 EF 的长为 5cm 。