1、第八章 863平面与平面垂直8.6.3平面与平面垂直学习目标1.理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法,会求简单的二面角的平面角.2.掌握两个平面互相垂直的概念,能用定义和定理判定面面垂直.3.掌握面面垂直的性质定理,并能利用面面垂直的性质定理证明一些简单的问题.知识点一二面角的概念1.定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.2.相关概念:(1)这条直线叫做二面角的棱;(2)两个半平面叫做二面角的面.3.画法:4.记法:二面角l或二面角AB或二面角PlQ或二面角PABQ.5.二面角的平面角:(1)若有Ol;OA,OB;OAl,OBl,则二面角l的平面角是AOB.(2)二
2、面角的平面角的取值范围是0180.平面角是直角的二面角叫做直二面角.知识点二平面与平面垂直1.平面与平面垂直的定义(1)定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.(2)画法:(3)记作:.2.平面与平面垂直的判定定理文字语言如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直符号语言l,l图形语言知识点三平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直符号语言,l,a,ala图形语言1.组成二面角的平面角的两边所在直线所确定的平面与二面角的棱垂直.()2.若平面内的一条直线垂直于平面
3、内的任意一条直线,则.()3.若平面平面,任取直线l,则必有l.()4.若一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则该直线也垂直于另一平面.()一、二面角的求法例1如图,AB是O的直径,PA垂直于O所在的平面,C是圆周上的一点,且PAAC,求二面角PBCA的大小.解由已知PA平面ABC,BC平面ABC,PABC.AB是O的直径,且点C在圆周上,ACBC.又PAACA,PA,AC平面PAC,BC平面PAC.又PC平面PAC,PCBC.又BC是二面角PBCA的棱,PCA是二面角PBCA的平面角.由PAAC知PAC是等腰直角三角形,PCA45,即二面角PBCA的大小是45.反思感悟在二面角棱上找一特殊点
4、,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线,即两射线夹角为所求二面角的平面角.跟踪训练1如图,在正方体ABCDABCD中:二面角DABD的大小为_.二面角AABD的大小为_.答案4590解析在正方体ABCDABCD中,AB平面AD,所以ABAD,ABAD,因此DAD为二面角DABD的平面角.在RtDDA中,DAD45,所以二面角DABD的大小为45.因为AB平面AD,所以ABAD,ABAA,因此AAD为二面角AABD的平面角,又AAD90,所以二面角AABD的大小为90.二、平面与平面垂直的判定例2在边长为a的菱形ABCD中,ABC60,PC平面ABCD,求证:平面PDB平面PAC.证明PC平面AB
5、CD,BD平面ABCD,PCBD.四边形ABCD为菱形,ACBD,又PCACC,PC,AC平面PAC,BD平面PAC.BD平面PBD,平面PDB平面PAC.反思感悟证明平面与平面垂直的方法(1)利用定义:证明二面角的平面角为直角.(2)利用面面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直.跟踪训练2如图,已知三棱锥SABC中,侧棱SASBSC,ABC90,求证:平面ABC平面ASC.证明作SHAC交AC于点H,连接BH,SASC,AHHC.在RtABC中,H是AC的中点,BHACAH,又SHSH,SASB,SAHSBH(SSS),SHBH,又ACBHH,AC,BH
6、平面ABC,SH平面ABC,又SH平面ASC,平面ABC平面ASC.三、平面与平面垂直的性质定理例3如图,在三棱锥PABC中,PA平面ABC,平面PAB平面PBC.求证:BCAB.证明如图,在平面PAB内,作ADPB于点D.平面PAB平面PBC,且平面PAB平面PBCPB,AD平面PAB,AD平面PBC.又BC平面PBC,ADBC.又PA平面ABC,BC平面ABC,PABC,又PAADA,BC平面PAB.又AB平面PAB,BCAB.反思感悟利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时,要注意以下三点:(1)两个平面垂直;(2)直线必须在其中一个平面内;(3)直线必须垂直于它们的交线.跟踪训练3如
7、图,边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直,AD与CE的交点为M,ACBC.求证:AM平面EBC.证明平面ACDE平面ABC,平面ACDE平面ABCAC,BC平面ABC,BCAC,BC平面ACDE.又AM平面ACDE,BCAM.四边形ACDE是正方形,AMCE.又BCCEC,BC,EC平面EBC,AM平面EBC.1.已知l,则过l与垂直的平面()A.有1个 B.有2个 C.有无数个 D.不存在答案C解析由面面垂直的判定定理知,凡过l的平面都垂直于平面,这样的平面有无数个.2.对于直线m,n和平面,能得出的一个条件是()A.mn,m,nB.mn,m,nC.mn,n,mD.mn,m,n
8、答案C解析n,mn,m,又m,由面面垂直的判定定理,得.3.从空间一点P向二面角l的两个面,分别作垂线PE,PF,E,F为垂足,若EPF60,则二面角l的平面角的大小是()A.60 B.120C.60或120 D.不确定答案C解析PE,PF,P,E,F三点确定的平面垂直于和.过点E作l的垂线,垂足为O,连接OF,易知lOF且P,E,O,F四点共面,则FOE为二面角的平面角,如图所示,此时,FOEEPF180,二面角l的平面角为120.当点P的位置如图所示时,此时FOEEPF,二面角l的平面角为60.4.下列命题正确的是()A.平面内的一条直线a垂直于平面内的无数条直线,则B.若直线m与平面内的
9、一条直线平行,则mC.若平面,且l,则过内一点P与l垂直的直线垂直于平面D.若直线a与平面内的无数条直线都垂直,则不能说一定有a答案D解析A项,平面内的一条直线a垂直于平面内的任意一条直线,则,故A错误;B项,直线m与平面内的一条直线平行,也可能m,故B错误;C项,平面,且l,则过内一点P与l垂直的直线,只有当此直线在内时才垂直于,故C错误;D项,a与平面内的任意一条直线都垂直可以推出a,故D正确.5.已知一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,若这两个二面角的平面角均为锐角,则这两个二面角的关系是()A.相等 B.互补C.相等或互补 D.既不相等也不互补答案A解析画图易得到
10、满足已知条件的两个二面角相等或互补,若它们的平面角均为锐角,则这两个二面角相等.1.知识清单:(1)二面角以及二面角的平面角.(2)平面与平面垂直的判定定理.(3)平面与平面垂直的性质定理.2.方法归纳:转化法.3.常见误区:面面垂直性质定理中在其中一个面内作交线的垂线,与另一个平面垂直.1.过平面外两点且垂直于平面的平面()A.有且只有一个 B.有一个或两个C.有且仅有两个 D.有一个或无数个答案D2.直线l平面,l平面,则与的位置关系是()A.平行 B.可能重合C.相交且垂直 D.相交不垂直答案C解析由面面垂直的判定定理,得与垂直.3.下列命题中正确的是()A.平面和分别过两条互相垂直的直
11、线,则B.若平面内的一条直线垂直于平面内的两条平行直线,则C.若平面内的一条直线垂直于平面内的两条相交直线,则D.若平面内的两条直线垂直于平面内的无数条直线,则答案C解析当平面和分别过两条互相垂直且异面的直线时,平面和有可能平行,故A错;由直线与平面垂直的判定定理知,B,D错,C正确.4.在二面角l的棱l上任选一点O,若AOB是二面角l的平面角,则必须具有的条件是()A.AOBO,AO,BOB.AOl,BOlC.ABl,AO,BOD.AOl,BOl,且AO,BO答案D5.如图,已知PA矩形ABCD所在的平面,则图中互相垂直的平面有()A.2对 B.3对C.4对 D.5对答案D解析PA平面ABC
12、D,平面PAD平面ABCD,平面PAB平面ABCD,又由题意可得CD平面PAD,AB平面PAD,BC平面PAB,平面PCD平面PAD,平面PAB平面PAD,平面PBC平面PAB,共有5对互相垂直的平面.6.如图所示,在三棱锥DABC中,若ABCB,ADCD,E是AC的中点,则下列说法中正确的是_.(填序号)平面ABC平面ABD;平面ABC平面BCD;平面ABC平面BDE,且平面ACD平面BDE;平面ABC平面ACD,且平面ACD平面BDE.答案解析由ABCB,ADCD,E为AC的中点知,ACDE,ACBE.又DEBEE,DE,BE平面BDE,从而AC平面BDE,故正确.7.二面角l的大小为60
13、,异面直线a,b分别垂直于,则a与b所成角的大小是_.答案60解析过直线a上一点作b的平行线b,则根据二面角的定义和线面垂直的性质可知,a与b的夹角为60,所以a与b所成角的大小是60.8.已知两条不同的直线m,n,两个不同的平面,给出下列结论:若m垂直于内的两条相交直线,则m;若m,则m平行于内的所有直线;若m,n,且,则mn;若n,n,则.其中正确结论的序号是_.(把正确结论的序号都填上)答案解析中的内容即为线面垂直的判定定理,故正确;中,若m,则m与内的直线平行或异面,故错误;中,两个平行平面内的直线平行或异面,所以错误;中的内容为面面垂直的判定定理,故正确.9.在直三棱柱ABCA1B1
14、C1中,ABBC,D为棱CC1上任一点.(1)求证:直线A1B1平面ABD;(2)求证:平面ABD平面BCC1B1.证明(1)由直三棱柱ABCA1B1C1,得A1B1AB.因为A1B1平面ABD,AB平面ABD,所以直线A1B1平面ABD.(2)因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱,所以ABBB1.又因为ABBC,BB1平面BCC1B1,BC平面BCC1B1,且BB1BCB,所以AB平面BCC1B1.又因为AB平面ABD,所以平面ABD平面BCC1B1.10.如图,在三棱锥ABCD中,ABAD,BCBD,平面ABD平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EFAD.求证
15、:(1)EF平面ABC;(2)ADAC.证明(1)在平面ABD内,因为ABAD,EFAD,则ABEF.又因为EF平面ABC,AB平面ABC,所以EF平面ABC.(2)因为平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCDBD,BC平面BCD,BCBD,所以BC平面ABD.因为AD平面ABD,所以BCAD.又ABAD,BCABB,AB平面ABC,BC平面ABC,所以AD平面ABC.又因为AC平面ABC,所以ADAC.11.已知平面平面,则下列命题中真命题的个数是()内的任意直线必垂直于内的无数条直线;在内垂直于与的交线的直线必垂直于内的任意一条直线;内的任意一条直线必垂直于.A.0 B.3 C.2 D.
16、1答案C解析设l,a,b,bl,则ab,故内与b平行的无数条直线均垂直于内的任意直线,为真命题;内垂直于与交线的直线垂直于平面,则它垂直于内的任意直线,为真命题;内不与交线垂直的直线不垂直于,为假命题.12.如图,已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形,PA平面ABC,PA2AB,则下列结论中正确的是()A.PBADB.平面PAB平面PBCC.直线BC平面PAED.直线PD与平面ABC所成的角为45答案D解析PA平面ABC,ADP是直线PD与平面ABC所成的角.六边形ABCDEF是正六边形,AD2AB,tanADP1,直线PD与平面ABC所成的角为45.13.已知正四棱锥的体积为12,底面对
17、角线的长为2,则侧面与底面所成的二面角的大小为_.答案60解析正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为2,则底面边长为2,底面积为12,所以正四棱锥的高为3,所以侧面与底面所成的二面角的正切值为,故所求的二面角为60.14.,是两个不同的平面,m,n是平面及之外的两条不同直线,给出四个论断:mn;n;m.以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题_.答案解析mn,将m和n平移到一起,则确定一平面,n,m,该平面与平面和平面的交线也互相垂直,从而平面和平面的二面角的平面角为90,.故答案为.15.如图所示,在四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,且底面各边都相等,M是P
18、C上的一动点,当点M满足_时,平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)答案DMPC(或BMPC等)解析由题意得BDAC,PA平面ABCD,PABD.又PAACA,PA,AC平面PAC,BD平面PAC,BDPC.当DMPC(或BMPC)时,即有PC平面MBD,而PC平面PCD,平面MBD平面PCD.16.如图,四棱锥PABCD的底面是边长为a的菱形,BCD120,平面PCD平面ABCD,PCa,PDa,E为PA的中点,求证:平面EDB平面ABCD.证明设ACBDO,连接EO,则EOPC.PCCDa,PDa,PC2CD2PD2,PCCD.平面PCD平面ABCD,平面PCD平面ABCDCD,PC平面PCD,PC平面ABCD,EO平面ABCD.又EO平面EDB,故有平面EDB平面ABCD.
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