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1、中考数学韦达定理应用探讨专题复习试题2013年中考数学韦达定理应用探讨专题复习试题【2013年中考攻略】专题4：韦达定理应用探讨韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。韦达第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。韦达定理说的是：设一元二次方程有二实数根，则。这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系

2、数a，b，c的关系。其逆命题：如果满足，那么是一元二次方程的两个根也成立。韦达定理的应用有一个重要前提，就是一元二次方程必须有解，即根的判别式。韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学教学和中考中有着广泛的应用。锦元数学工作室将其应用归纳为：不解方程求方程的两根和与两根积；求对称代数式的值；构造一元二次方程；求方程中待定系数的值；在平面几何中的应用；在二次函数中的应用。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。一、不解方程求方程的两根和与两根积：已知一元二次方程，可以直接根据韦达定理求得两根和与两根积。典型例题：例1：（2012湖北武汉3分）若x1、x2是一元二次方程x23x20

3、的两根，则x1x2的值是【】A2B2C3D1【答案】C。【考点】一元二次方程根与系数的关系。【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得x1x23。故选C。例2：（2001湖北武汉3分）若x1、x2是一元二次方程x24x30的两个根，则x1x2的值是【】A.4.B.3.C.4.D.3.【答案】B。【考点】一元二次方程根与系数的关系。【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，得。故选B。例3：（2012山东烟台3分）下列一元二次方程两实数根和为4的是【】Ax2+2x4=0Bx24x+4=0Cx2+4x+10=0Dx2+4x5=0【答案】D。【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。【分析】根

4、据一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，要使方程的两实数根和为4，必须方程根的判别式=b24ac0，且x1+x2=4。据此逐一作出判断：Ax2+2x4=0：=b24ac=200，x1+x2=2，所以本选项不合题意；Bx24x+4=0：=b24ac=0，x1+x2=4，所以本选项不合题意；Cx2+4x+10=0：=b24ac=280，方程无实数根，所以本选项不合题意；Dx2+4x5=0：b24ac=360，x1+x2=4，所以本选项符号题意。故选D。例4：（2012广西来宾3分）已知关于x的一元二次方程x2+x+m=0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是【】A2B0C1D2【答案】A。【考

5、点】一元二次方程根与系数的关系。【分析】设方程的另一个实数根为x，则根据一元二次方程根与系数的关系，得x1=1，解得x=2。故选A。练习题：1.（2007重庆市3分）已知一元二次方程的两根为x1、x2，则x1+x2=。2.（2005浙江湖州3分）已知一元二次方程的两个根为x1、x2，则x1+x2的值是【】A12B12C7D73.（2011广西来宾3分）已知一元二次方程x2+mx2=0的两个实数根分别为x1、x2，则x1x2=4.（2011湖北咸宁3分）若关于的方程的一个根为，则另一个根为【】ABC1D35.（2011云南昆明3分）若x1，x2是一元二次方程2x27x+4=0的两根，则x1+x2

6、与x1x2的值分别是【】A、，2B、，2C、，2D、，2二、求对称代数式的值：应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。所谓对称式，即若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变（），则称这个代数式为完全对称式，如等。扩展后，可以视中与对称。典型例题：例1：（2012四川攀枝花3分）已知一元二次方程：x23x1=0的两个根分别是x1、x2，则x12x2+x1x22的值为【】A3B3C6D6【答案】A。【考点】一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值。【分析】由一元二次方程：x23x1=0的两个根分别是x1、x2，根据一元二次方程根与系数的关系得，x1+x2=3，x1x2=1

7、，x12x2x1x22=x1x2（x1x2）=（1）3=3。故选A。例2：（2012山东莱芜3分）已知m、n是方程x222x10的两根，则代数式m2n23mn的值为【】A9B3C3D5【答案】C。【考点】一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值。【分析】m、n是方程x222x10的两根，mn=，mn=1。故选C。例3：（2012江苏南通3分）设m、n是一元二次方程x23x70的两个根，则m24mn【答案】4。【考点】求代数式的值，一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系。【分析】m、n是一元二次方程x23x70的两个根，m23m70，即m23m7；mn3。m24mn（m23m）（mn）73

8、4。例4：（2012湖北鄂州3分）设x1、x2是一元二次方程x25x3=0的两个实根，且，则a=.【答案】10。【考点】一元二次方程的解和根与系数的关系。【分析】x1、x2是一元二次方程x25x3=0的两个实根，x225x23=0，x1x2=3。又，即，即。，即，解得a=10。练习题：1.（2012湖南张家界3分）已知m和n是方程2x25x3=0的两根，则=2.（2012四川泸州3分）设x1，x2是一元二次方程x23x1=0的两个实数根，则的值为3.（2012山东日照4分）已知x1、x2是方程2x2+14x16=0的两实数根，那么的值为.4.（2012黑龙江绥化3分）设a，b是方程x2x201

9、3=0的两个不相等的实数根，则a22ab的值为5.（2012黑龙江大庆4分）若方程的两实根为、，求的值6.（2011湖北荆州、荆门3分）关于的方程有两个不相等的实根、，且有，则的值是【】 A.B.C.或D.7.（2011贵州黔东南4分）若、是一元二次方程的两根，则的值为【】A、2010B、2011C、D、8.（2011江苏苏州3分）已知、是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于9.（2011山东德州4分）若x1，x2是方程x2+x1=0的两个根，则x12+x22=10.（2011广西玉林、防城港6分）已知：、是一元二次方程的两个实数根求：的值三、构造一元二次方程：如果我们知道问题中某两个字

10、母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。扩展后字母可为代数式。典型例题：例1：（2012湖北随州4分）设，且1ab20，则=.例2：（2012四川内江12分）如果方程的两个根是，那么请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于的方程求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；（2）已知满足,求；（3）已知满足求正数的最小值。【答案】解：（1）设关于的方程的两根为，则有：，且由已知所求方程的两根为，。所求方程为，即。（2）满足，是方程的两根。（3）且。是一元二次方程的两个根，代简，得。又此方程必有实数根，此方程的，即，。又。正数的最小值为4。【考点】一元

11、二次方程根与系数的关系和根的判别式，代数式化简。【分析】（1）设方程的两根为，得出，再根据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，即可求出答案。（2）根据满足，得出是一元二次方程的两个根，由，即可求出的值。（3）根据，得出，是一元二次方程的两个根，再根据，即可求出的最小值。例3：（2012四川宜宾8分）某市政府为落实“保障性住房政策，2011年已投入3亿元资金用于保障性住房建设，并规划投入资金逐年增加，到2013年底，将累计投入10.5亿元资金用于保障性住房建设（1）求到2013年底，这两年中投入资金的平均年增长率（只需列出方程）；（2）设（1）中方程的两根分别为x1，x2，且mx1

12、24m2x1x2+mx22的值为12，求m的值【答案】解：（1）设到2013年底，这两年中投入资金的平均年增长率为x，根据题意得：3+3（x+1）+3（x+1）2=10.5。（2）由（1）得，x2+3x0.5=0，由一元二次方程根与系数的关系得，x1+x2=3，x1x2=0.5。又mx124m2x1x2+mx22=12即m（x1+x2）22x1x24m2x1x2=12，即m9+14m2（0.5）=12，即m2+5m6=0，解得，m=6或m=1。【考点】一元二次方程的应用，一元二次方程根与系数的关系。【分析】（1）方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为：2011年、201

13、1年和2013某市用于保障房建设资金总量=10.5亿元，把相关数值代入求得合适的解即可。（2）由（1）得到的一元二次方程，根据根与系数的关系求得关于m的一元二次方程，解之即得m的值。例4：（2012贵州黔西南14分）问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍。解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以把代入已知方程，得化简，得：故所求方程为这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”。请阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化成一般形式）（1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：；（2）已知关于x的一元二次方

14、程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的倒数。【答案】解：（1）y2y2=0。（2）设所求方程的根为y，则（x0），于是（y0）。把代入方程，得，去分母，得a+by+cy2=0。若c=0，有，可得有一个解为x=0，与已知不符，不符合题意。c0。所求方程为cy2+by+a=0（c0）。【考点】一元二次方程的应用。【分析】（1）设所求方程的根为y，则y=x所以x=y。把x=y代入已知方程，得y2y2=0。（2）根据所给的材料，设所求方程的根为y，再表示出x，代入原方程，整理即得出所求的方程。练习题：1.（2004辽宁沈阳2分）请你写出一个二次项系数为1，两实数根之和为

15、3的一元二次方程：.2.（2005山东临沂3分）请写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且其两根互为倒数.3.（2002浙江杭州10分）已知某二次项系数为1的一元二次方程的两个实数根为p、q，且满足关系式，试求这个一元二次方程4.（2007江苏淮安3分）写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：.四、求方程中待定系数的值：已知方程两根满足某种关系，则可以利用韦达定理确定方程中待定字母系数的值。典型例题：例1：（2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x22x12x25=0，那么a的值为【】A3B3C13D13

16、【答案】B。【考点】一元二次方程根与系数的关系。【分析】x1，x2是关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根，x1+x2=4，x1x2=a。x1x22x12x25=x1x22（x1+x2）5=a2（4）5=0，即a+3=0，解得，a=3。故选B。例2：（2012湖南株洲3分）已知关于x的一元二次方程x2bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=2，则b与c的值分别为【】Ab=1，c=2Bb=1，c=2Cb=1，c=2Db=1，c=2【答案】D。【考点】一元二次方程根与系数的关系。【分析】关于x的一元二次方程x2bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=2，x1+x2=b=1+（2）

17、=1，x1x2=c=1（2）=2。b=1，c=2。故选D。例3：（2012内蒙古呼和浩特3分）已知：x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，则a、b的值分别是【】Aa=3，b=1Ba=3，b=1C，b=1D，b=1【答案】D。【考点】一元二次方程根与系数的关系。【分析】x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，x1+x2=2a，x1x2=b，x1+x2=3，x1x2=1，2a=3，b=1，解得，b=1。故选D。例4：（2012内蒙古包头3分）关于x的一元二次方程的两个正实数根分别为x1，x2，且2x1+x2=7，则m的值是【】A.2B.6C

18、.2或6D.7【答案】B。【考点】一元二次方程根与系数的关系，解不等式和一元二次方程。【分析】方程有两个正实数根，。又2x1+x2=7，x1=7m。将x1=7m代入方程，得。解得m=2或m=6。，m=6。故选B。例5：（2012山东威海3分）若关于x的方程的两根互为倒数，则a=.【答案】1。【考点】一元二次方程根与系数的关系，倒数。【分析】关于x的方程的两根互为倒数，设两根为x和。则根据一元二次方程根与系数的关系，得。由得。但当时，无意义。a=1。例6：（2012湖北孝感12分）已知关于x的一元二次方程x2(m3)xm10(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(2)若x1、x

19、2是原方程的两根，且|x1x2|2，求m的值和此时方程的两根【答案】解：（1）证明：由关于x的一元二次方程x2(m3)xm10得=（m+3）24（m+1）=（m+1）2+4，无论m取何值，（m+1）24恒大于0，原方程总有两个不相等的实数根。（2）x1，x2是原方程的两根，x1+x2=（m+3），x1x2=m+1。|x1x2|2，（x1x2）2=8，即（x1x2）24x1x2=8。（m+3）24（m+1）=8，即m22m3=0。解得：m1=3，m2=1。当m=3时，原方程化为：x22=0，解得：x1=，x2=。当m=1时，原方程化为：x24x2=0，解得：x1=2+，x2=2。【考点】一元二次

20、方程根的判别式和根与系数的关系。【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2(m3)xm10的根的判别式=b24ac的符号来判定该方程的根的情况。（2）根据根与系数的关系求得x1x2和x1x2，由已知条件|x1x2|2平方后可以得到关于x1x2和x1x2的等式，从而列出关于m的方程，通过解该方程即可求得m的值，最后将m值代入原方程并解方程。例7：（2012湖南怀化10分）已知是一元二次方程的两个实数根.（1）是否存在实数a，使成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使为负整数的实数a的整数值.【答案】解：（1）成立。是一元二次方程的两个实数根，由根与系数的关系可知，；一元二次方

21、程有两个实数根，=4a24（a6）a0，且a-60，解得，a0，且a6。由得，即。解得，a=240，且a60。存在实数a，使成立，a的值是24。（2），当为负整数时，a60，且a6是6的约数。a6=6，a6=3，a6=2，a6=1。a=12，9，8，7。使为负整数的实数a的整数值有12，9，8，7。【考点】一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，解分式方程。【分析】根据根与系数的关系求得；根据一元二次方程的根的判别式求得a的取值范围。（1）将已知等式变形为x1x2=4+（x2+x1），即，通过解该关于a的方程即可求得a的值；（2）根据限制性条件“（x1+1）（x2+1）为负整数”求得a的取值范

22、围，然后在取值范围内取a的整数值。例8：（2011四川南充8分）关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2（1）求k的取值范围；（2）如果x1+x2x1x21且k为整数，求k的值【答案】解：（1）方程有实数根，=224（k+1）0，解得k0。k的取值范围是k0。（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=2，x1x2=k+1，x1+x2x1x2=2（k+1）。由2（k+1）1，解得k2。又由（1）k0，2k0。k为整数，k的值为1和0。【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解一元一次不等式组。【分析】（1）方程有两个实数根，必须满足=b24ac0，从而求出实

23、数k的取值范围。（2）先由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=2，x1x2=k+1再代入所给不等式即可求得k的取值范围，然后根据k为整数，求出k的值。例9：练习题：1.（2011湖南株洲3分）孔明同学在解一元二次方程时，正确解得，则的值为2.（2011湖北孝感10分）已知关于x的方程有两个实数根x1，x2，（1）求的取值范围；（2）若，求的值。3.（2012湖北鄂州8分）关于x的一元二次方程。（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；（2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且x1=x22，求m的值及方程的根。4.（2012四川南充8分）关于x的一元二次方程x23xm1=0的两个实数根分别

24、为x1,x2。（1）求m的取值范围；（2）若2（x1+x2）+x1x2+10=0求m的值。5.（2011四川达州3分）已知关于x的方程x2mx+n=0的两个根是0和3，则m=，n=。6.（2011四川泸州2分）已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k22=0的两实根的平方和等于11，则k的值为。7.（2011四川乐山10分）题甲：已知关于x的方程的两根为x1、x2，且满足.求的值。8.（2006北京市7分）已知：关于x的方程有两个实数根x1和x2，关于y的方程有两个实数根y1和y2，且2y1y24当时，求m的取值范围。9.（2006四川凉山6分）已知：x2+a2x+b=0的两个实数根为x1、x

25、2；y1、y2是方程y2+5ay+7=0的两个实数根，且x1y1=x2y2=2求a、b的值。五、在平面几何中的应用：在平面几何中，两圆外切，两圆圆心距离等于两圆半径之和；勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方的应用，可以与一元二次方程根与系数的关系相结合命题。典型例题：例2：（2003江苏镇江6分）已知，如图，RtABC中，ACB=900，AB=5，两直角边AC、BC的长是关于x的方程的两个实数根。（1）求m的值及AC、BC的长（BCAC）（2）在线段BC的延长线上是否存在点D，使得以D、A、C为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出CD的长；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）设方程的两

26、个根分别是x1、x2。x1+x2=m+5，x1x2=6m。RtABC中，ACB=90，AB=5，。，m2-m=0。m=0或m=2。当m=0时，原方程的解分别为x1=0，x2=5，但三角形的边长不能为0，所以m=0舍去；当m=2时，原方程为x27x+12=0，其解为x1=3，x2=4，所以两直角边AC=3，BC=4。m=2，AC=3，BC=4。（2）存在。已知AC=3，BC=4，AB=5，欲使以AD1C为顶点的三角形与ABC相似，则。，则CD1=。欲使以AD2C为顶点的三角形与ABC相似，则。BC=CD2=4。综上所述，在线段BC的延长线上是存在点D，使得以D、A、C为顶点的三角形与ABC相似，

27、CD的长为或4。【考点】相似三角形的判定，根与系数的的关系，相似三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】（1）先利用根与系数的关系与勾股定理求出m的值，再代入m的值求出AC、BC的长。（2）根据相似三角形的性质来解答此题，利用相似比即可求出CD的长。练习题：1.（2012山东潍坊3分）已知两圆半径r1、r2分别是方程x27x+10=0的两根，两圆的圆心距为7，则两圆的位置关系是【】A相交B内切C外切D外离2.（2006四川广安8分）已知：ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5试问：k取何值时，ABC是以BC为斜边的直

28、角三角形？3.（2002江苏无锡9分）已知：如图，O的半径为r，CE切O于C，且与弦AB的延长线交于点E，CDAB于D如果CE=2BE，且AC、BC的长是关于x的方程的两个实数根求：（1）AC、BC的长；（2）CD的长4.（2002湖南益阳10分）巳知：如图，在ABC中，B=90，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的半圆交AB于点E，与AC切于点D当时，AD、AE（ADAE）是关于x的方程x2（m1）xm2=0（m0）的两个根（1）求实数m的值；（2）证明：CD的长度是无理方程的一个根；（3）以B点为坐标原点，分别以AB、BC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，求过A、B、D三点且对称

29、轴平行于y轴的抛物线的解析式5.（2010湖南株洲3分）两圆的圆心距d=5，它们的半径分别是一元二次方程x2-5x+4=0的两个根，这两圆的位置关系是七、在二次函数中的应用：一元二次方程ax2bxc(a0)可以看作二次函数yax2bxc(a0)当y0时的情形，因此若干二次函数yax2bxc(a0)的图象与轴交点的综合问题都可以用韦达定理解题。典型例题：例1：（2012天津市3分）若关于x的一元二次方程（x2）（x3）=m有实数根x1,x2，且x1x2，有下列结论：x1=2，x2=3；二次函数y=（xx1）（xx2）m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）其中，正确结论的个数是【】（A）0（B）1（C）2（D）3例2：（2012甘肃兰州10分）若x1、x2是关于一元二次方程ax2bxc(a0)的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1x2，x1x2把它称为一元二次方程根与系数关系定理如果设二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的两