初中数学数学名师高斯.docx

1、初中数学数学名师高斯高斯高斯，CF(Gauss，Carl Friedrich) 1777年4月30日生于德国不伦瑞克；1855年2月23日卒于格丁根数学、天文、物理、大地测量高斯出生在一个普通城市工人家庭其父格布哈德迪特里希高斯(Gebhard Dietrich Gauss)受教育不多，但能写会算，为人勤奋，靠手艺维持家庭生计，做过园林工人、运河工人、街道小贩，还出任过丧葬机构的会计据说迪特里希高斯虽忠厚却性情暴躁，在家尤为专制小高斯是他第二个妻子的独子高斯的母亲多罗西娅本茨(Dorothea Benze)出身石匠家庭，聪慧而善良，能读但不会写，婚前在一个贵族家当女仆，在其夫去世后长期随高斯生

2、活，母子相伴，直至96岁谢世多罗西娅的弟弟天份颇高，是高斯长辈中智力最突出的一位，他靠自己钻研成为艺术锦缎的著名织匠高斯幼年时的生活跟当时一般市民家的孩子雷同有一个故事说因父母为生计奔波，小高斯有时无人照料，大约在3或4岁时，曾堕入离家不远的运河，几乎溺死另一个故事说高斯自幼对数字有特殊的敏感，在3岁时就发现过父亲算账时的计算错误。这些故事大都是高斯晚年对人谈起的高斯成年后还常对人说，他在学会说话前就会计算了高斯接受教育的状况受制于当时德国的社会背景他出生的城市不伦瑞克是座古城，在17世纪初仍是能跟汉堡和阿姆斯特丹相媲美的贸易中心后因城市民众暴动和欧洲30年战争的破坏而衰落1671年它失去政治

3、独立地位，并入不伦瑞克-沃尔芬比特尔(现德国下萨克森州)公爵领地；1673年成为该领地的首府在18世纪，它像其他德国城邦一样，经济政治状况落后于资本主义蓬勃发展中的英国和法国高斯降生时不伦瑞克的统治者是 C W费迪南德(Carl Wilhelm Ferdinand)公爵，一位久经沙场的贵族；他按传统的封建方式管理他的领地：典型的特征是以农业为其财政的主要来源，并保护组织起来的个体织匠抵制纺织机械的使用他在教育方面虽未实行义务教育，但他的大多数臣民都能识字并掌握一些初等算术知识至于社会下层有天赋的儿童要想获得较高等的教育，则非有贵族、富商或其他有影响的保护人的资助不可1784年，高斯像普通市民的

4、孩子一样入小学读书他进的圣凯瑟琳小学给他带来了好运该校教师 JG比特纳(Bttner)称职而热心，他教的班由50多名年龄各异、原有知识参差不齐的学生组成；比特纳发现高斯才智出众，特意从汉堡弄来一本算术教科书给高斯读一个故事说，一次高斯在班上几乎不加思索就算出了1+2+3+100的和，令比特纳惊讶不已当时任比特纳助手的 M巴特尔斯(Bartels)只比高斯大8岁，酷爱数学(后到俄国喀山大学任教授，是非欧几何创立者之一罗巴切夫斯基的老师)，对高斯的数学才能特别器重，他们常在一起讨论算术和代数问题高斯的父亲不希望儿子继续升中学读书让子女多读书并非当地工人阶层的风尚；读小学时，高斯晚上经常秉父命上织机

5、织布经老师们的帮助，高斯于1788年进入预科学校(相当于现在的中学)，这里班级的编排较正规，但课程颇显陈旧，而且过份强调古典语言特别是拉丁语的教学高斯的目标是学术上的深造，当时的人文学科特别是科学经典都是拉丁文写的，于是他充分利用学校的条件攻读拉丁语，不久成绩就名列前茅他还学会了使用高地德语(路德翻译圣经用的那种德语，即现在的标准德语)，高斯原来只会使用本地方言至于他的数学程度，教师在看了他的第一次数学作业后便认为，高斯已没有必要上该校的数学课了1791年，位于不伦瑞克的卡洛琳学院的教授 EAW齐默尔曼(Zimmermann)向费迪南德公爵引介了14岁的天才少年高斯公爵接见高斯时为他的朴实和腼

6、腆所动，欣然应允资助高斯的全部学业此后，高斯在经济上便独立于父母，父亲也不再反对儿子的继续深造1792年，高斯入家乡的卡洛琳学院(Brunswick Collegium Carolinum)学习，开始脱离家庭的独立生活这所学校不同于普通的大学，它由政府直接兴办和管理，目标是培养合格的官吏和军人，在德国各城邦的类似学校中属于最优秀之列，其教学强调科学方面的科目高斯在校的三年间，全身心地投入学习和思考，获得了一系列重要的发现：入学前他就研究算术-几何平均(1791)，此时发现了它和其他许多幂级数的联系(1794)；发现最小二乘法(1794)；考虑了几何基础问题，即平行公设在欧几里得几何中的地位(1

7、792)；由归纳发现数论中关于二次剩余的基本定理，即二次互反律(1795)；研究素数分布，猜想出素数定理(1792)在这一时期，贯穿高斯一生的研究风格的一个重要方面已趋成熟：不停地观察和进行实例剖析，从经验性质的研究中获得灵感和猜想高斯在学院学习期间还开始了对数学经典著作的钻研，阅读了I牛顿(Newton)的自然哲学的数学原理(Philosophiae naturalis Principia mathematica)、 L欧拉(Euler)的代数与分析著作和JL拉格朗日(Lagrange)的若干论著，以及雅格布伯努利(Jacob Bernoulli)的猜度术(Ars conjectandi)等

8、高斯的志向不是谋取官吏的职位，而在于他最喜好的两门学问：数学和语言1795年，他离开费迪南德公爵管辖的领地，到格丁根大学就读格丁根大学的办学方式追随英国的牛津和剑桥大学，资金较其他德国大学充裕，较少受政府和教会的管理和干涉高斯选中这所大学另有两个原因一是它有藏书(尤其是数学书)极丰的图书馆；二是它有注重改革、侧重科学的好名声当时的格丁根对学生可谓是个“四无世界”：无必修科目，无指导教师，无考试和课堂的约束，无学生社团高斯完全在学术自由的环境中成长，将来从事什么职业完全由他自己抉择入学初期，语言学家 G海涅(Heyne)对高斯 作数学家还是语言学家可能曾在高斯脑际徘徊有两个支持这种看法的旁证：高

9、斯到校第一年所借阅的25本书中，仅有5本科学著作，其余皆属人文学科，而且高斯终其一生始终未改对语言和文学的爱好；那个时代以数学为职业者收入不丰，高斯当时仍在靠公爵的补贴生活，寻找有较高收入的职业是高斯一生中经常考虑的问题1796年是高斯学术生涯中的第一个转折点：他敲开了自欧几里得时代起就搅扰着数学家的尺规作图这一难题的大门，证明了正十七边形可用欧几里得型的圆规和直尺作图这一成功最终决定了他走科学之路而非文学之路，高斯真正认识了自己的能力之所在在注明3月30日的“科学日记”中，高斯写道：“圆的分割定律，如何以几何方法将圆分成十七等分”所谓“科学日记”是1898年偶然在高斯的孙子的财产中发现的一本

10、笔记；高斯在上面记录他的众多科学发现，并称之为 Notizen journal(日志录)日记中简要记载着他自1796年至1814年间的共146条新发现或定理的证明由于高斯的许多发现终身没有正式发表，这本日记成了判定高斯学术成就的重要依据在格丁根学习期间，高斯在日记中记录了许多重要信息：1796年4月8日，得到数论中重要定理二次互反律的第一个严格证明；1797年1月7日，开始研究双纽线；1797年3月19日，认识到在复数域中，双纽线积分具有双周期；1797年5月，由实例计算得到算术-几何平均和双纽线长度间的一些关系(双纽线函数是椭圆函数的一种)；1797年10月，证明了代数基本定理1798年秋，

11、高斯突然离开格丁根回到故乡，原因不详，很可能是费迪南德公爵不愿由他资助的学生在他所辖的领地之外的大学获取文凭正是在公爵的要求下，高斯于1799年接受了海尔姆斯台特(Helmstedt)大学的博士学位，名义上的导师是 JF普法夫(Pfaff)，当时德国最负盛名的数学家，高斯在格丁根求学期间曾访问过他，但尚不知他们之间有无学术上的联系有一则故事表明他们二人在数学界的地位在高斯成名后，他的好友 A洪堡(Humboldt)曾询问法国大数学家、力学家 PSM拉普拉斯(Laplace)谁是德国最伟大的数学家拉普拉斯答是普法夫，洪堡惊鄂之余追问道：那么高斯呢？拉普拉斯戏谑地说：高斯是全世界最伟大的数学家！高

12、斯博士论文的题目很长：“单变量有理整代数函数皆可分解为一次或二次式的定理的新证明”(Demo-nstratio nova theorematis omnem functionem algelraicam rati-onalem integram unius variabilis in factores reals primi vel secundi gradus resolvi posse，1799年8月在公爵资助下出版)高斯在给他大学时的同学 W波尔约(Bolyai)的信(1799年12月16日)中说：“题目相当清楚地讲明了文章的主要目的，虽然它只占篇幅的三分之一，其余是讲述历史和对其他数学

13、家JR达朗倍尔(dAlembert)、LAde 布干维尔(Bougainville)、欧拉、拉格朗日等相应工作的批判，以及关于当代数学之浮浅的各种评论”此文反映了高斯研究风格的另一个方面：强调严密的逻辑推理，这是区别于18世纪大部分数学家的高斯风格的主要特征在此论文中，他并未具体构造出代数方程的解，而是一种纯粹的存在性证明这类证明此后便在数学中大量涌现还应指出，他的证明虽然必须依赖复数，但因当时的数学家仍在为虚数的本质争论不休，所以高斯尽量避免直接使用虚数他预先假定了直角座标平面上的点与复数的一一对应。而将论及的函数分为实部和虚部分别加以讨论高斯的证明也并非在逻辑上完美无缺，如他视连续函数的一

14、些性质自然成立而未加证明这些性质后来为捷克数学家 B波尔查诺(Bolzano)首先证明高斯可能认识到这一问题，此后又给出了代数基本定理的另外三个证明(1815，1816，1849)，最后的证明是为庆祝他获博士学位50周年而作，方法跟博士论文基本一致，只是“现在大家都认清了复数是什么”，所以他直接运用了复数自1796年解决正十七边形的作图到1801年，是高斯学术创造力最旺盛的时间按数学史家 O梅(May)统计，在这6年间(19岁24岁)高斯提出的猜想、定理、证明、概念、假设和理论，平均每年不少于25项，其中最辉煌的成就是1801年发表的算术研究(Disquisitiones arithmetic

15、ae)，它把过去一直是零星成果堆砌成的数论，织成一张结构紧凑、自成系统的网；以及在1801年中根据少量观测数据准确预报小行星“谷神星”的运行轨道天文学是当时科学界最关注的课题，高斯的这项预报引起了轰动上述两项成就使他不仅在数学界而且在科学界一举成名1802年初，圣彼得堡科学院聘高斯为外籍院士；同年9月又邀请他出任圣彼得堡天文台台长，这是极崇高的荣誉高斯出于对公爵的忠心，也因公爵打算为他创造更好的工作条件(计划专为高斯在不伦瑞克修建小天文台)并给他提薪，高斯最终决定留在家乡此后，高斯虽从未完全放弃对数论、代数、几何及分析学的研究，但其主要精力和时间逐步转向更有实际效用的科学，如天文学、测地学、物

16、理学和应用数学学术研究重点的转移也带来了高斯结交朋友方面的转折高斯在纯数学的研究中是相当孤独的，没有同事和助手，即使在他创作高峰期也几乎未进行过直接的学术交流W波尔约虽是跟高斯有过长达50年通信联系的数学家，但未见他们在数学思想上的深入讨论唯一的例外是法国女数学家 S热尔曼(Sophie Germain)，她曾化名男子和高斯通信(18041805)讨论数论问题，二次互反律的一个证明就跟她的想法有关但是，在天文学界和物理学界，高斯却有不少挚友，他们不仅切磋学术，而且过往甚密现存的7000多封高斯的通信中，跟这些人的信件占极大比例18021803年间，高斯先后访问了 W奥尔伯斯(Wilhelm O

17、lbers)博士医生兼天文学家，1802年发现了小行星“小惑星”(Pallas)和著名天文学家F察赫Zach，为当时德国最著名的塞堡(Seeberg)天文台的台长，1801年12月7日晚第一个在高斯预报的位置上重新观测到谷神星，讨论了天文和大地测量问题，从此高斯开始了天文观测和野外测量奥尔伯斯为堵绝圣彼得堡良好的工作条件对高斯的引诱，提议由高斯出任正在筹备中的格丁根新天文台的台长(1804年此建议得到格丁根方面的确认)1804年底，高斯又开始跟年轻的 FW贝塞尔(Bessel，后成为一流的理论及实用天文学家)进行维持终身的通信据现存信件可知，高斯的长期通信者还有 CL格林(Gerling，物理

18、学家，高斯的学生)，HC舒马赫(Schumacher，高斯的学生，天文学家)和JG雷普索尔德(Repsold，仪器制作家，曾和高斯探讨消色差双物镜镜片的设计等问题)1805年，高斯跟制革商的独生女约翰娜奥斯多夫(Johanna Osthoff)结为伉俪此次婚姻颇为美满，得二子一女，高斯分别以三个小行星发现者的名字为他们的教名跟宁静的家庭生活相悖的是政治环境的骤变自1789年法国大革命后，德法之间爆发了多次短期战争为扼制拿破仑在中欧的扩张，德国最主要的部分普鲁士决定加强跟法国的对抗1806年，曾任普鲁士将军的费迪南德公爵率部与法军决战，70多岁的沙场老将在战斗中负了致命伤，同年11月死于阿尔唐纳

19、(Altona)，这意味着高斯失去了经济来源，从此必须完全靠自己的努力维持生计1807年，高斯携全家迁往格丁根，出任格丁根天文台台长(实际上新天文台尚在建设中，他需亲自为其购置仪器设备)，同时担任格丁根大学天文学教授高斯选择台长为其主职，教授只为次职，这跟他不喜欢当时的教学有关1802年高斯在致奥尔伯斯的信中说过：“我真的不喜欢教课对真正有天赋的学生，他们绝不会依赖课堂上的传授，而必是自修自学的做这种不值得感谢的工作，唯一的代价是教授浪费了宝贵的时间”在以后的通信中，可看出他对当时大多数学生无钻研兴趣、很少或根本没有学习动力，甚至有的学生缺少必要的常识不满至于对禀赋好的学生，高斯愿意“偶尔给他

20、一点提示，以便他找到最近的路”格丁根原属汉诺威公国，此时已划归法国控制下的西伐利亚王国(1814年汉诺威公国复辟后，格丁根才摆脱法国统治)法国政府征收的高额赋税给了高斯当头一棒，他无力筹足大学教授需交的2 000法币德、法两国的多名学者闻讯主动伸出援助之手，均遭高斯婉拒；最后是一位匿名者替他交纳了全部税金后知此人是法兰克福的大主教达尔贝格(Dahlberg)伯爵，曾任罗马帝国的重臣法国入侵，费迪南德伯爵战死，加上此次征税，无形中加深了高斯在政治上的保守倾向，纵观其一生，他对政治上的变革或激烈行为都持旁观或反对的态度高斯到格丁根后所受的第二次打击是爱妻在生第三个孩子时难产，不久便去世了(1809

21、年10月)时隔不到半年，新生儿也夭折而去高斯以独有的克制精神和毅力，很快从精神沮丧中复原为了正常的生活和工作，为让不满4岁的儿子和刚2岁的女儿得到照顾，高斯于1810年8月跟格丁根大学法学教授的小女儿米纳沃尔德克(Minna Waldeck)成婚第二次婚姻也得二子一女：欧根纳(Eugene)、威廉(Wilhelm)和女儿特雷泽(Therese)在这一非常时期，高斯完成并发表了他的理论天文学方面的名著天体沿圆锥曲线的绕日运动理论(Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis So-lem ambientium)，阐述他预测天体轨

22、道的方法，首次发表他的最小二乘法，提出现称高斯分布的著名统计规律1814年，格丁根天文台新址基本建成为配置最好的望远镜等设备，高斯多方奔走，如于1816年赴巴伐利亚会见光学仪器制造家 Gvon 赖兴巴赫(Reichenbach)等，买到了他最中意的装备1818年，高斯发表了“确定行星对任意点的引力，假定行星质量按下述比例均匀分布在它的整条轨道上，即每一部分轨道上的质量正比于行星通过该段轨道所用的时间”(Determinatio attra-ctionis quam in punctum quodvis positionis datae exerceret planeta si eius mas

23、sa per totam orbitam ratione temporis，quo singulae partes describuntur， uniformiter esset dispertita)，文中利用椭圆积分、算术-几何平均等工具探讨了困难的天体摄动问题该文是高斯结束其理论天文学研究的标志，此后他的天文研究主要在天文观测，记录特殊天象，计算并报告他对观测数据的分析，亲自调试仪器以达到最佳观测条件，一直到1854年他最后病倒为止高斯退出理论天文学研究的一个原因是大地测量工作引起了他的兴趣1815年前后，中欧各重要国家出于经济和军事目的，纷纷开始大规模的大地测量1816年，舒马赫应丹麦

24、政府之请，测绘全丹麦的地理形状，他请高斯协助在一系列准备之后，高斯于1818年正式同意担负将丹麦的测地工作向南延伸，并开始参加艰苦的夏季野外测绘，冬季则对所获数据进行分析整理1820年，汉诺威政府正式批准高斯对汉诺威全境作地理测量的计划，任命高斯为实施计划的负责人1818至1825的八年间，高斯请他前妻所生之子约瑟夫(Joseph)和若干军人为野外考察的助手，工作井然有序，表现了高斯的组织才能高斯动用军人的理由是“农夫们尊敬军官”，“军队管理中的纪律和秩序对任何事情都有益而无害”为提高测量精度，高斯发明了“日光反射信号器”(1820)和光度计(1821)至于实测数据汇集后的计算，几乎由高斯一人

25、承担他每年撰写的测地报告后汇集于利用拉姆斯登(Ramsden)仪观测所确定的格丁根与阿尔唐纳两天文台之经度差(Bestim-mung desch Beobachtungen am Ramsdenschen Zenithsector，1828)长年的劳累损伤了高斯强壮的体魄；1825年医生诊断他患有气喘病和心脏病，迫使他停止了野外作业此后高斯仍指挥整个计划的执行，并于1847年完成汉诺威全境的测量高斯全力关注测地工作的十年(18181828)，是他创造活动的又一个高峰期高斯在1825年致奥尔伯斯的一封信中说，他这些年未能把充斥脑际的许多思想加以实现尽管如此，他的两项理论成果已成永垂青史之作182

26、2年，丹麦哥本哈根科学院设奖征答地图制作中的难题，高斯以“将给定凸面投影到另一面而使获头奖此文在数学史上首次对保形映射作了一般性的论述，建立了等距映射的雏形1827年，高斯写成曲面的一般研究(Disquisitiones generales circa supe-rficies curvas，1828年出版)，这是他积10多年思考测地问题所得之精萃，提出了内蕴几何的新观念，成为此后长达一个多世纪微分几何研究的源泉测地问题中的大量计算也推动高斯完善他的最小二乘法和对统计规律的严格研究，如他的与最小可能误差有关的观测值的组合理论(Theoria binationis observationum e

27、rroribus minimis obnoxiae ，1823)，以数学的严格性推广最小二乘法，使它在任何概率误差的假设下，都以最适当的方法来组合观测值在第二次创造高峰期的后期，高斯因测地工作得到额外的津贴(1825年开始领取此前的18071824年间，高斯的薪金一直固定未动，而家庭负担有增无减)，他的经济状况有了根本好转；但高斯却在为他自我感觉到的创造力开始下降担忧在1826年2月19日致奥尔伯斯的信中，他抱怨自己不能再如此努力而成果不佳，觉得应该去搞有别于数学的其他领域1828年高斯到柏林参加了他一生中唯一的一次学术会议：柏林自然科学工作者大会洪堡希望他到柏林科学院工作以发挥更大的影响，并

28、答应为他提供磁学研究的仪器高斯当时对磁学的兴趣确实在增长，但对到柏林就职并不热心在18221825年间，柏林方面曾和高斯谈判他来柏林的条件，高斯发现这个大都市的办事效率很低，要他担负的领导或顾问方面的责任也过多，因此高斯宁肯留在格丁根高斯此次柏林之行最大的收获是结识了年轻的、才华横溢的实验物理学家 W韦伯(Weber)高斯正准备全力投入的物理学各学科原非他熟悉的领域，他正需要一个象韦伯这样的合作者高斯一旦决定转变研究方向，他进入新课题的加速度是惊人的，他发表的下述文章和发明就是明证：s allgemeines Grundgesetz der Mechanik)；1830年，发表了论平衡状态下流

29、体性质的一般理论原则(Principia generalia theoriae figurae fluidorum in statu aequ-ilibrii)；1832年，发表了以绝对单位测定的地磁强度(Intensitas vis magneticae terrestris ad mensuram absolutam revocata)；1833年，又与1831年到格丁根工作的韦伯合作发明了电磁电报高斯跟韦伯的合作对他深入磁学研究影响颇大，1833年他们在格丁根兴建了地磁观测站洪堡曾设想建立全球的地磁测量网，高斯和韦伯的参与加速了这项计划的实施为使测量准确，他们精心设计以铜材代替铁材，以免

30、磁针受其他铁器的干扰不久，格丁根的观测站成了地磁测量的中心，各国纷纷仿照他们的设计建站，到1834年欧洲已建起了几十处磁观测站为促进交流，高斯和韦伯组织了磁学会(Magnetisch Verein)，出版年刊磁学会年度观测成果(Resultate aus den Beobachtungen des magne-tischen Vereins，18361841年间共出版6卷，其中有高斯的15篇和韦伯的23篇文章)1837年，他们改进了测量地磁强度的仪器，发明了双线地磁仪1839年，高斯发表地磁的一般理论(Allgemeine Theorie des Erdmagnetismus)，澄清、简化并发

31、展了已有的地磁理论1840年，除和韦伯合作出版了不朽的地磁图(Atlas des Erdmagnetismus)，高斯还发表了与距离平方成反比而发生作用的引力地磁学之余，高斯还探讨了若干光学问题在高斯全力投入物理研究的时期，他的家庭生活和人事关系屡屡出现麻烦夫人米纳在生育特雷泽后身体虚弱，经常卧床不起；儿子欧根纳在选择学业上跟高斯意见相悖欧根纳是高斯所有孩子中最富语言和数学才能的一个，他想选读科学方面的学科，但终拗不过父亲的威严，不得不进大学去读法律；于是在大学他常放纵自己，时因赌博而负债父子间的不睦最终导致欧根纳于1830年出走，远度重洋移居美国米纳不堪这一打击，次年便病故了高斯的另一个儿子威廉热衷务农，这在父亲眼里是无前途的职业，他因在德国生活不如意，于1832年征得高斯的同意，携妻去了北美此后父子们再未见面高斯的第二次婚姻不能说美满，对高斯唯一的安慰是女儿特雷泽十分孝顺，在米纳去世后担起了全部家务，直到高斯去世后才出嫁在30年代初期，高斯还因一个地磁实验方案而对德高望重的洪堡进行严厉的抨击，造成两人感情上的疏远纵观高斯一生，他待人接物都极力避免感情用事，而且厌恶争吵，即使在有人议论他有剽窃他人成果的嫌疑时也能泰然处之，如