用分式方程解决实际问题.docx

1、用分式方程解决实际问题数学 学科导学案（第次课）教师学生年级:八 日期: 星期: 时段: 课 题分式方程的应用学情分析教学目标与考点分析1、 能够根据实际问题中的数量关系，准确列分式方程解决问题；2、 会将有关实际问题转化成分式方程来解决， 感悟分式方程是反映现实数量关系的 一种模型；3、 培养学生的逻辑思维和灵活运用所学知识点解决问题的能力。教学重点用分式方程解决实际问题；教学方法讲练结合法、归纳总结法学习内容与过程1、 解分式方程应用题的步骤分式方程的应用主要就是列方程解应用题，它与学习一元一次方程时列方程解应用题的基本思路和方法 是一样的，不同的是，表示关系的代数式是分式而已。一般地，列

2、分式方程（组）解应用题的一般步骤：1审清题意；2设未知数；3.根据题意找等量关系，列出分式方程；4.解分式方程，并验根；5.检验分式方程的根是否符合题意，并根据检验结果写出答案.2、 常见的实际问题中等量关系1.工程问题2 .完成某项任务的各工作量的和二总工作量= 1 .基础练习：1、一台甲型拖拉机4天耕完一块地的一半，加一天乙型拖拉机，两台合耕， 1天耕完这块地的另一半乙型拖拉机单独耕这块地需要几天？2、某市为治理污水，需要铺设一段全长 3000米的污水输送管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加 25%，结果提前30天完成了任务，实际每天铺设多长管 道?

3、例：某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共 8700元，乙、丙两队合做10天完成,2厂家需付乙、丙两队共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的-，厂家需付甲、丙两队共55003元.求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由.分析：这是一道联系实际生活的工程应用题，涉及工期和工钱两种未知量对于工期，一般情况下把整 个工作量看成1，设出甲、乙、丙各队完成这项工程所需时间分别为 X天，y天，z天，可列出分式方程组.练习1:某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作 20天可完成.甲工程队单独施工比乙工

4、程队单独 施工多用30天完成此项工程.(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？(2) 若甲工程队独做a天后，再由甲、乙两工程队合作 (用含a的代数式表示)可完成此 项工程；(3)如果甲工程队施工每天需付施工费 1万元，乙工程队施工每天需付施工费 2.5万元，甲工程队 至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？练习2 :某一项工程在招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队款 1.5万元,乙工程队款1.1万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： 方案一：甲队单独完成这项工程刚好如期完成；方案

5、二：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用 5天；方案三：若甲、乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独完成，也正好如期完成。试问：在不耽误工期的情况下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由。拓展：某工程由甲、乙两队合做 6天完成，厂家需付甲、乙两队工程费共 8700元，乙、丙两队合做210天完成，厂家需付乙、丙两队工程费共 9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的二，厂家需付甲、丙两队工程费共5500元.求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天?若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由.思路点拨：这是一道联系实际生活的工程应用题，涉及工期和工

6、钱两种未知量.对于工期，一般情 况下把整个工作量看成1，设出甲、乙、丙各队单独完成这项工程所需时间分别为 芒天，天，了天, 可列出分式方程组.解析：设甲队单独做需总成，乙队单独做需/天完成，丙队单独做需亠天完成，依题意，得6丄 +-) = !,兀 y10(+-3 = bt 25(-+-) = -K Z 51 1111Xi： +X厂+，得- V +亠. 1 1_一X，得-=丁，即卩z = 30， 丄丄一X ，得“=门，即X = 10，I 丄丄X，得；二二，即 y 二 15 .经检验，x = 10，y = 15，z = 30是原方程组的解.设甲队做一天厂家需付左元，乙队做一天厂家需付-元，丙队做一

7、天厂家需付元，根据题意，得由可知完成此工程不超过工期只有两个队：甲队和乙队.此工程由甲队单独完成需花钱I上一二元；此工程由乙队单独完成需花钱二一二 元.所以，由甲队单独完成此工程花钱最少.总结升华：在求解时，把，丁，亠分别看成一个整体，就可把分式方程组转化为整式方程组来解. 举一反三：【变式1】某工程需在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成；若由乙队去做，要超过规定日 期三天完成现由甲、乙两队合做两天，剩下的工程由乙独做，恰好在规定日期完成，问规定日期是多 少天？【答案】工程规定日期就是甲单独完成工程所需天数，设为 x天，那么乙单独完成工程所需的天数就是（x + 3）天.设工程总量为1,

8、甲的工作效率就是，乙的工作效率是，依题意，得即规定日期是6 天.【变式2】今年某大学在招生录取时，为了防止数据输入出错， 2640名学生的成绩数据分别由两位教师向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致 已知教师甲的输入速度是教师乙的 2倍,结果甲比乙少用2小时输完.问这两位教师每分钟各能输入多少名学生的成绩？【答案】设教师乙每分钟能输入x名学生的成绩，则教师甲每分钟能输入 2x名学生的成绩，依题意，得：2540 2640 利= = DC-1- 1 ，解得 x= 11经检验，x= 11是原方程的解，且当x= 11时，2x = 22，符合题意.即教师甲每分钟能输入22名学生的成绩，教师

9、乙每分钟能输入 11名学生的成绩.2.营销问题1商品利润二商品售价一商品成本价;3.商品销售额二商品销售价x商品销售量；4.商品的销售利润二（销售价一成本价）X销售量.例：某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料每0.5kg少3元，比乙种原料每0.5kg多1元，问混合后的单价每0.5kg是多少元？例：某书店老板去图书批发市场购买某种图书. 第一次用1200元购书若干本，并按该书定价7元出售,很快售完.由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了 20%，他用1500元所购该书数量比第一次多10本.当按定价售出200本时，出

10、现滞销，便以定价的4折售完剩余的书.试问 该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多 少？总结升华：营销类应用性问题，涉及进货价、售货价、禾I润率、单价、混合价、赢利、亏损等概念，要 结合实际问题对它们表述的意义有所了解同时，要掌握好基本公式，巧妙建立关系式随着市场经济 体制的建立，这类问题具有较强的时代气息，因而成为中考常考的热点问题.练习：A、B两位采购员同去一家饲料公司购买同一种饲料两次，两次饲料的价格有变化，但两位采购 员的购货方式不同其中，采购员 A每次购买1000千克，采购员B每次用去800元，而不管购买饲 料多少，问选用谁的购货方式

11、合算？3.行程问题1 路程二速度x时间,2.在航行冋题中，其中数量关系是：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度;3.航空问题类似于航行问题.例：甲、乙两地相距828km，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍.直达快车比普通快车晚出发 2h，比普通快车早4h到达乙地，求两车的 平均速度.分析：这是一道实际生活中的行程应用题， 基本量是路程、速度和时间，基本关系是路程=速度x时间, 应根据题意，找出追击问题总的等量关系，即普通快车走完路程所用的时间与直达快车由甲地到乙地所 用时间相等.思路点拨：这是一道实际生活中的行程应用

12、题，基本量是路程、速度和时间，基本关系是路程二速度X 时间，应根据题意，找出追击问题中的等量关系.解析：设普通快车的平均速度为-km / h，则直达快车的平均速度为1.5芒km / h，依题意，得:竺-(+)輕x 解得2牴经检验，上飞上是方程的根，且符合题意.当不二 46 时，1.5= 69即普通快车的平均速度为46km / h，直达快车的平均速度为69km /h .总结升华：列分式方程与列整式方程一样，注意找出应用题中数量间的相等关系，设好未知数，列出方 程.不同之处是：所列方程是分式方程，最后进行检验，既要检验其是否为所列方程的解，还要检验是 否符合题意，即满足实际意义.举一反三：【变式1

13、】一队学生去校外参观.他们出发 30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍.若骑车的速度是队伍行进速度的 2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间？【答案】设步行速度为x千米/时，骑车速度为2x千米/时，依题意，得：15 15 30 二 x 60方程两边都乘以2x，去分母，得30-15 = x, 所以，x = 15 .检验：当x = 15时，2x = 2 X15丸）,所以x = 15是原分式方程的根，并且符合题意.15 _ J_丁 1 ,二骑车追上队伍所用的时间为30分钟.【变式2】农机厂职工到距工厂

14、15千米的生产队检修农机，一部分人骑自行车先走， 40分钟后，其余的人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的 3倍，求两车的速度.【答案】设自行车的速度为x千米/小时，那么汽车的速度为3x千米/小时，依题意，得：15 15 40 二 解得 x = 15 .经检验x= 15是这个方程的解.当 x = 15 时，3x = 45 .即自行车的速度是15千米/小时，汽车的速度为45千米/小时.例：轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等，已知水流速度为 2千 米/时，求船在静水中的速度分析：此题的等量关系很明显：顺水航行 30千米的时间=逆水中航行20千米的时

15、间，即度、逆水航行速度可用未知数表示，冋题可解决.练习1:轮船顺流航行120km所用时间是逆流航行50km所用时间的2倍，如果水流速度为2km/h, 求轮船在静水中的速度。练习2:某人沿一条河顺流游泳I米，然后逆流游回出发点，设此人在静水中的游泳速度为 xm/s,水流速度为nm/s,求他来回一趟所需的时间t。（1 ）小芳在一条水流速度是0.01m/s的河中游泳，她在静水中游泳的速度是0.39m/s,而出发点与河边 一艘固定小艇间的距离是60m,求她从出发点到小艇来回一趟所需的时间。（2）志勇是小芳的邻居，也喜欢在该河中游泳，他记得有一次出发点与柳树间来回一趟大约用了2.5min ,假设当时水流

16、的速度是 0.015m/s，而志勇在静水中的游泳速度是 0.585m/s，那么出发点与柳树间的距离大约是多少?4、货物运输应用性问题例：一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用已知甲、乙、丙三辆车每次运货物量不变，且甲、乙两车单独运这批货物分别运 2a次、a次能运完；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了 180t ;若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了 270t .问：（1）乙车每次所运货物量是甲车每次所运货物量的几倍；（2）现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完时，货主应付车主运费各多少元？ （按每运1t付运费20元计算）分析：解题思路应先求出乙车与甲车每

17、次运货量的比， 再设出甲车每次运货量是丙车每次运货量的 n倍,列出分式方程.课内练习与训练1、改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种 960棵树，由于青年志愿者的支援，每日比原计划多种1/3，结果提前4天完成任务，原计划每天种多少棵数？2、某超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨 11000元资金购进该品种苹果，但这次的进价比试销时的进价每千克多了 0.5元，购进苹果数量是试销时的2倍。 试销时该品种苹果的进价是每千克多少元？ 如果超市将该品种苹果按每千克 7元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的 400千克按定价的 七折售完，那么超市在这两次苹果

18、销售中共盈利多少元？3、轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行 60千米所用的时间相同。已知水流的速度是 3千米 /时，求轮船在静水中的速度。4、一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300枝以上，（不包括300枝）,可以按批发价付款， 购买300枝以下，（包括300枝）只能按零售价付款。小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购 买1 枝,那么只能按零售价付款，需用120元，如果购买60 枝,那么可以按批发价付款，同样需要120 元，（1）这个八年级的学生总数在什么范围内？（2）若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？6、为了提高产品的附加值，某

19、公司计划将研发生产的 1 200件新产品进行精加工后再投放市场现在甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用 10天；信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的 1.5倍。根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？7、近几年高速公路建设有较大的发展，有力地促进了经济建设欲修建的某高速公路要招标现有甲、 乙两个工程队，若甲、乙两队合作，24天可以完成，费用为120万元；若甲单独做20天后剩下的工程 由乙做，还需40天才能完成，这样所需费用110万元，问：(1 )甲

20、、乙两队单独完成此项工程，各需多少天？(2 )甲、乙两队单独完成此项工程，各需多少万元？8、周末某班组织登山活动，同学们分甲、乙两组从山脚下沿着一条道路同时向山顶进发设甲、乙两 组行进同一路程所用时间之比为 2: 3 .(1)直接写出甲、乙两组行进速度之比.(2)当甲组到达山顶时，乙组行进到山腰 A处，且A处离山顶的路程尚有1. 2 km，试求山脚到山顶 的路程.(3)在第(2)题所述内容(除最后的问句外)的基础上，设乙组从 A处继续登山，甲组到达山顶后休 息片刻，再从原路下山，并且在山腰 B处与乙组相遇，请你先根据以上情景提出一个相应的间题，再给 予解答.(要求：问题的提出不得再增添其他条件；问题的解决必须利用上述情景提供的所有.己知条件).学生对本次课的小结及评价1、 本次课你学到了什么知识2、 你对老师下次上课的建议 O特别满意 O满意 O 一般 O差 学生签字：课后练习：（无）课后小结教师签字：审阅签字: 时间: 教务主任签字: 时间: 25、某广告公司将一块广告牌任务交给师徒两人，已知师傅单独完成时间是徒弟单独完成时间的 2 3，现3由徒弟先做一天，师徒再合作2天完成。（1 ）师、徒两人单独完成任务各需几天？（2）若完成后得到报酬540元，你若是部门经理，按个人完成的工作量计算报酬，该如何分配？