数学建模案例.docx

1、数学建模案例案例1 化工厂排污某河流有两个化工厂，流经第一化工厂的河流为每天500万m2，在两个工厂之间有一条流量为每天200万m2支流，第一化工厂每天排放含有某种有害物质的工业污水2万m2，第二化工厂每天排放这种工业污水1.4万m2，第一化工厂每天排放的工业污水流到第二化工厂以前，有20%可自然净化。根据环保要求，河流中工业污水的含量不大于0.2%，这两个工厂都需要各自处理不部分工业污水。第一化工厂处理工业污水的成本是1000元/万m2，第二化工厂处理工业污水的成本是800元/万m2。现在满足环保要求的条件下，每厂各应处理多少工业污水，使这两个工厂总的处理工业污水费用最小。案例2 自来水输送

2、收入：900元/千吨 引水管理费元/千吨甲乙丙丁A160130220170B140130190150C190200230/其他费用:450元/千吨 应如何分配水库供水量，公司才能获利最多？ 若水库供水量都提高一倍，公司利润可增加到多少？ 案例3 公共部门建模（ST. JOSEPH 公共事业委员会）St. Joseph公共事业委员会负责对最近一次洪水所导致的公共事业问题进行检查并汇报。需要调查的项目包括电线、天然气管道以及绝缘设施。委员会只有1星期时间用于检查。委员会分到了3名电气专家与2名天然气专家，每人可以在其专业领域范围内进行40小时的检察工作。另外委员会还预留出了$10,000用于绝缘设

3、施的检查。这$10,000可以雇用当地专业的绝缘设施企业Weathertight Insulation进行多达100小时（$100/小时）的检察。这些专家需要对当地的民宅、写字楼以及工厂进行检查。目标是在指定时间内对尽可能多的建筑进行全面检查以收集所需信息。但是检查的写字楼及工厂数量均不能低于8处，且检查的民宅数量不能低于检查总数的60%。一旦确定了需要检查的每种建筑的数量，接下来就将专家随机安排到各个建筑执行检查工作。委员会指定了每种建筑及检查项目的大致检查时间：电气天然气绝缘民宅213写字楼452工厂631委员会雇用了一个管理咨询团队来确定需要检查的民宅、写字楼以及工厂的数量。案例4 项目

4、选择模型（塞勒姆城市委员会）在财政年度的最后一次会议上，塞勒姆城市委员会将制订计划分配本年的预算余额。全年共有9个项目列入了考虑。为了估计社会对不同项目的支持情况，委员会在全市范围内将对每个项目进行打分（9=最高级别；1=最低级别）的调查问卷邮寄给投票人。委员会根据其收到的500份有效问卷对每个项目进行打分。尽管委员会反复强调不会受到问卷结果的限制，但委员会仍然打算利用这些信息结合一些其它相关因素制订预算分配计划。每个项目的成本、每个项目能够创造的长期就业机会以及每个项目的问卷得分归纳如下：项目成本($1000)就业机会公众打分X1聘用7名警察40074176X2警察总部的现代化改造35001

5、774X3购买两辆警车5012513X4为巡警支付奖金10001928X5购买新的消防车辆及相关设备50023607X6聘用辅助消防主管901962X7恢复削减掉的学校体育项目的资助22082829X8恢复削减掉的学校音乐项目的资助15031708X9为中学购买新的计算机设备14023003委员会的目标是在满足如下约束的基础上获得最大支持率（问卷信息）。 需要分配的预算余额共有$900,000 委员会希望至少能够创造10个就业机会 尽管对犯罪的打击与威慑受到了公众的支持，但委员会认为也要同时考虑其它的社会公共事业（消防与教育）。因此，委员会希望最多资助3个公安项目 委员会希望增加城市中紧急车辆

6、的数量，但由于需要同时考虑其它问题，委员会只能资助2个紧急车辆项目中的1个。因此，在购买两辆警车与购买一辆消防车中只能选择一个。 委员会认为如果需要恢复削减掉的学校体育项目的资助，那么同时也应该恢复削减掉的学校音乐项目的资助，反过来也一样。 根据联邦规定，在资助任何新的学校项目之前，必须恢复以前取消的资助项目。因此，在购买新的计算机设备之前，必须首先恢复学校体育与音乐项目的资助。但是恢复学校体育与音乐项目的资助并不意味着必然购买新的计算机设备。案例5 人员计划模型（落日海滩的救生员配置）在夏季，落日海滩每天都需要配备救生员。落日海滩的一般员工（也包括救生员）每周连续工作5天，休息两天。对于大多

7、数员工来说，周六与周日休息，但对于救生员来说，这却是最忙的两天。落日海滩在任何一天中，要求为每8000个游客至少配备1名救生员。下表给出了落日海滩夏季各天平均的游客数量以及所需要的救生员的最少数量。天平均游客数量需要的救生员数量星期日58,0008星期一42,0006星期二35,0005星期三25,0004星期四44,0006星期五51,0007星期六68,0009基于目前的财务状况，落日海滩希望雇用的救生员数量越少越好。案例6 运输网络（卡尔顿制药公司）卡尔顿制药公司向美国南部和中西部的众多医院和药店提供药品和其它医用产品。卡尔顿拥有三个制药工厂（分别位于俄亥俄州的克利夫兰、密歇根州的底特律

8、和卡罗莱纳州的格林斯波）和四个分销仓库（分别位于马萨诸塞州的波士顿、弗吉尼亚州的里士满、乔治亚州的亚特兰大和密苏里州的圣路易斯）。卡尔顿公司根据需要定期补充药品和其它他医用品库存。但是由于香港A型流感病毒正在全国传播，因此导致卡尔顿分销仓库中的流感疫苗库存不足。所以当务之急是在一周内完成对其四个分销仓库的补货。在满负荷生产条件下，到本周末，克利夫兰厂工厂能够生产1200箱疫苗，底特律工厂能够生产1000箱疫苗，格林斯波工厂能够生产800箱疫苗。综合考虑了各分销仓库服务区域内的人口、医院和医生数量、以及可能的感染人数，公司决定将3000箱疫苗中的1100箱运至波士顿，400箱运至里士满，750箱

9、运至亚特兰大，750箱运至圣路易斯。由于运输部门使用正常的公路/铁路运输方式不能及时交货，公司与多家快递公司联系，以确定从各个制药工厂到分销仓库之间最低的单位运费。这些运输成本信息在下表中给出。从到波士顿里士满亚特兰大圣路易斯克利夫兰$35$30$40$32底特律$37$40$42$25格林斯波$40$15$20$28卡尔顿公司的领导层决定尽可能的降低运输成本。案例7 最短路网络（路通公司）路通公司是一个在美国各州都有分公司的搬家公司。公司目前所面临的一个问题是将家居用品从华盛顿州的西雅图运送到德克萨斯州的埃尔帕索。由于平均行驶速度合理以及驾驶性能好，Fairway Van Lines的运输车

10、辆几乎可以在任何高速公路上行驶。这次搬运将在夏天进行，所以天气因素也不必考虑。下图显示了Fairway Van Lines的运输车运输时可以通行的高速公路网。公司管理层希望找到从西雅图到埃尔帕索的最短路线。案例8 转运问题（极致供应）极致供应在华盛顿特区拥有6家商店。周六晚上，福尔丘奇和班切斯塔的商店发现他们将要在周日华盛顿邮报刊登广告的阿卡迪亚65A型工作站缺少库存。两家商店分别需要补充12和13部该型工作站以应对广告登出后可能增加的客户需求。管理层确认位于亚历山大和查维切斯的商店分别可以提供10部和17部工作站。但是，两家商店只能把目前运送其它货物的运输车上的空间腾出来运送工作站。图4.1

11、7标出了两个商店之间单位产品的运输成本以及所能运送的工作站数量上限。极致供应希望以最小运输成本将工作站从亚历山大和查维切斯运送到福尔丘奇和班切斯塔。案例9 指派模型（博斯坦电子设备公司）Ballston电子设备公司专门生产小型电子设备。公司购买了一处旧仓库并将其改造为公司主要的生产工厂。旧建筑的构造和空间没有留给公司的厂房设计部门多少余地来重新设计公司的五条组装线和五个产品检验及库存区域的位置。但是最终，在现有建筑里，这些区域都在固定的位置内建好。下面是简化的博斯坦的生产流程。不同产品在各个装配线上同时生产。当产品在装配线上完成后，它们暂时被储存在组装线末端的一个容器（中等大小的储物箱）中。每

12、30分钟，容器被送至厂房内五个检验区中的一个。通过检验的产品储存在检验区后部，未通过检验的产品则被放入检验站的回收容器中。由于不同的装配线上生产的产品数量不同，同时，从各装配线到检验区的距离也不同，将不同产品在装配线和检验区之间传送所用的时间也不同。企业必须为每个装配线指定各自的检验区。公司的一名工程师进行的调研得出了完工产品从装配线到各检验区的传送时间（见表）。目前公司的实际操作是将组装线1、2、3、4和5上完成的产品分别运至检验区A、B、C、D和E。这种1-A、2-B、3-C、4-D、5-E的安排每隔半个小时就需要10712171965人分钟来运送产品。由于Ballston的平均人工成本为

13、每小时12美元，因此Ballston每半小时就要付出（12美元）（65/60）13美元的运送费用。Ballston实行两班倒的工作制度，每班工作8小时，每年工作250天，所以每年的生产时间为（250）（16）4000小时，也就是有（4000）（2）8000个半小时的生产时段。因此，全年从装配线到检验区的运送成本为（13美元）（8000）104,000美元。Ballston迫切需要降低成本。一个可能的降低成本的方法就是重新设计上述流程以提高效率。管理层希望知道是否可以重新为每条生产线分配检验区，以减少总运送时间。如果存在这样更优的分配方案，管理层还想了解每年能够节约多少成本。从装配线到检验区所耗

14、用的时间（分钟）检验区ABCDE装配线1104610122117791431381214154141613171751911172019博斯坦电子设备公司的分配网络案例10 最大流网络（联合化学公司）联合化学公司是一家小型的杀虫剂生产企业。其中的一处生产工厂拥有一个可以储存100,000加仑化学药剂的巨型储藏罐，该药剂可用来生产多种农用杀虫剂。储藏罐定时补充药剂以使储存量保持在80,000到90,000加仑之间。化学药剂稳定的通过一系列管道输送到各个生产区域，在生产区域将药剂与其它配料混合从而得到最终的产品。 下图中，储藏罐为结点1，生产区域为结点2、3、4、5和6。结点7为废料处理区域，在那

15、里废料被装入一个大型的“安全罐”内。然后这些废料将会被回收，并进入一系列符合规定的处理程序。生产过程中，药剂的流速相对较低，通常不会达到管道的流量上限。但是，作为公司应急计划的一部分，公司安全部门必须能够在紧急状况出现时，将储藏罐中药剂全部放入安全罐。在这样的紧急状况下，操作人员必须正确的关闭生产区域的阀门，以控制药剂流动，从而使装有有毒药剂的储藏罐可以在最短时间内放空。下表给出了各个管道的流量上限，以千加仑/每分钟来表示。流向1234567从11010218631124437528643227案例11 旅行商模型（联邦应急管理处）联邦应急管理处（FEMA）对最近在南加州发生的地震做出反应，并

16、在接近震中地表位置的诺斯里奇建立了总部。总部负责人的职责之一就是巡视其他四个位于该地的办公室然后回到诺斯里奇的总部并完成情况报告以及指挥相应的救援行动。一些主要道路在地震后被堵塞，下表给出了在每两个办公室间的交通所耗费的时间。从到办公室2办公室3办公室4总部办公室125505030办公室2404045办公室33565办公室480负责人希望能够以最短的时间巡视各个办公室然后回到总部。案例12 集合覆盖问题（仓库位置设置）有一家公司希望开设新的仓库，以向销售中心供货。每开设一个新的仓库都有一些固定费用。货物将从仓库运输到附近的销售中心。每次运费取决于运输距离。有12个可以建造新仓库的位置，并且需要

17、从这些仓库向12个销售中心供货。下表给出每个仓库完全满足每个客户（销售中心）需求所需的总成本（千元，不是单位成本）。因此，例如从仓库1向客户9供货单位成本为60000元/30吨，即2000元/吨。如果无法送货则标记为无穷大。仓库客户1234567891011121100805050601001209060706511021209060706511014011080807513031401108080751301601251001008015041601251001008015019015013051901501302001801506200180150100805050601007100805

18、05060100120906070651108120906070651101401108080751309140110808075130160125100100801501016012510010080150190150130111901501302001801501220018015010080505060100对每个仓库，还有如下信息，仓库建设的固定费用（需要计入目标函数）和仓库的容量上限。仓库123456789101112建设费用350090001000040003000900090003000400010000900035000容量上限3002501001802753002002202

19、70250230180客户123456789101112需求量120807510011010090603015095120案例13 最小生成树（城市交通部）为了满足公众的要求，城市交通部考虑在温哥华市区建造新的轻轨交通系统。基于公众的要求，交通部确定轻轨系统应连接8个居民区和商业中心，且成本最低。交通部的工程设计人员提出了一系列方案。交通部已经停止了对轻轨项目的招标，并且确定了各条线路的最低成本。由于某些线路的建造可能获得当地商业机构的赞助款，所以成本可能会进一步降低。弧上的数字代表了最低的投标成本减去赞助款（以百万美元为单位）之后的金额。交通部需要决定选择哪些道路，以最小化建造成本。而最终的系统可以保证从任何一个中心区出发可以到达另外七个中心区。