初中数学微专题费马点.docx

1、初中数学微专题费马点初中数学几何综合几何模型专题复习费马点一、费马点及结论费马点：就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点。费尔马的结论：对于一个各角不超过120的三角形，费马点是对各边的张角都是120的点；对于有一个角超过120的三角形，费马点就是这个内角的顶点。二、费马点结论的证明例：P为ABC内任一点，请找点P使它到三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？（1）当ABC各角不超过120时，如下图。 解析：如图，把APC绕A点逆时针旋转60得到APC，连接PP则APP为等边三角形，AP= PP，PC=PC，所以PA+PB+PC= PP+ PB+ PC点C可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60

2、而得的定点，BC为定长 ，所以当B、P、P、C 四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小这时BPA=180-APP=180-60=120，APC=A PC=180-APP=180-60=120，BPC=360-BPA-APC=360-120-120=120 因此，当的每一个内角都小于120时，所求的点P对三角形每边的张角都是120，可在AB、BC边上分别作120的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P点。（2）当ABC有一个内角超过120时，如下图。解析：如图，延长BA至C使得AC=AC，做CAP=CAP，并且使得AP=AP, PC=PC，（说了这么多，其实就是把三角形APC以A为中心做了个旋转）

3、则APCAPCBAC120PAP=180-BAP-CAP=180-BAP-CAP=180-BAC60等腰三角形PAP中，APPPPA+PB+PCPP+PB+PCBC=AB+AC所以A是费马点 因此，当有一内角大于或等于120时，所求的P点就是钝角的顶点三、费马点的求法当ABC是三个内角皆小于120三角形时，分别以 AB、BC、CA为边，向三角形外侧做正三角形ABD、 ACE，然后连接DC、BE，则二线交于一点，记作点P，则点P就是所求的费马点。 四、费马点的验证1.ABC是等边三角形，以边AB、AC分别向ABC外侧作等边三角形，连接DC、EB，交点为点P，点P为费马点。则可得出结论： AP=B

4、P=CP；APB=BPC=APC=120；ABP、ACP、BCP全等；点P是垂心，是ABC各边的高线的交点；点P是ABC各边的中线的交点；点P是内心，是在三角形三个内角的角平分线的交点；ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP，且点P为费马点时和最小。 2.ABC是等腰三角形，以边AB、AC分别向ABC外侧作等边三角形，连接DC、EB，交点为点P，点P为费马点。则可得出结论：APB=BPC=APC=120；ABP与ACP全等；BCP为等腰三角形；ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP，且点P为费马点时和最小。3.ABC是直角三角形，以边AB、AC分别向ABC外侧作等边三角形，连接DC、E

5、B，交点为点P，点P为费马点。则可得出结论：ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP，且点P为费马点时和最小；APB=BPC=APC=120 五、费马点与中考题例1 （2008年广东中考题）已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求此正方形的边长 图1 图2 分析：连接AC，发现点E到A、B、C三点的距离之和就是到三个顶点的距离之和，这实际是费尔马问题的变形，只是背景不同解：如图1，连接AC，把AEC绕点C顺时针旋转60，得到GFC，连接EF、BG、AG，可知EFC、AGC都是等边三角形，则EF=CE又FG=AE，AE+BE+CE = BE+EF+FG（图2） 点B

6、、点G为定点（G为点A绕C点顺时针旋转60所得） 线段BG即为点E到A、B、C三点的距离之和的最小值，此时E、F两点都在BG上（图2）设正方形的边长为，那么BO=CO=，GC=, GO= BG=BO+GO =+ 点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为 +=，解得=2注：本题旋转AEB、BEC也都可以，但都必须绕着定点旋转，不妨一试例2（2009年湖州中考题）若点P 为ABC所在平面上一点，且APB=BPC=CPA=120, 则点P叫做ABC的费马点（1） 若P为锐角ABC的费马点，且ABC=60，PA=3，PC=4, 则PB的值为 ；（2）如图，在锐角ABC的外侧作等边ACB，连结BB求证：

7、BB过ABC的费马点P，且BB=PA+PB+PC 解：（1）利用相似三角形可求PB的值为 （2）设点P为锐角ABC的费马点，即APB=BPC=CPA=120如图，把ACP绕点C顺时针旋转60到BCE，连结PE，则EPC为正三角形 BEC = APC =120，PEC=60 BEC+PEC=180 即 P、E、B 三点在同一直线上 BPC=120, CPE=60 ， BPC +CPE =180，即 B、P、E 三点在同一直线上 B、P、E、B 四点在同一直线上，即BB 过ABC的费马点P 又PE=PC，BE= PA， BB=E B+PB+PE=PA+PB+PC注：通过旋转变换，可以改变线段的位置

8、，优化图形的结构在使用这一方法解题时需注意图形旋转变换的基础，即存在相等的线段，一般地，当题目出现等腰三角形（等边三角形）、正方形条件时，可将图形作旋转60 或90的几何变换，将不规则图形变为规则图形，或将分散的条件集中在一起，以便挖掘隐含条件，使问题得以解决例3：（2016盐城第3问）如图，已知A（-3，0）、C（1，0）、G（0，）.连接CG，如图，P为ACG内一点，连接PA、PC、PG，分别以AP、AG为边，在他们的左侧作等边APR，等边AGQ，连接QR，求PA+PC+PG的最小值，并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标 此题考“费马点”，由图易得PG=QR，PA=PR，所以PA

9、+PC+PG=PR+PC+QR，所以当QRPC四点共线时取得最小值.4、已知P是边长为1的正方形ABCD内一点，求PA+PB+PC的最小值5、如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6，ABC=150，则线段AP+BP+PD的最小值为6、如图，等边ABC中，AB=4，P是ABC中的任意一点，连接PA、PB、PC，则PA+PB+PC的最小值为7、如图，ABE是等边三角形，M是正方形ABCD对角线BD（不含B点）上任意一点，BM=BN，ABN=15（点N在AB的左侧），当AM+BM+CM的最小值为+1时，正方形的边长为8、如图，在菱形ABCD中，ABC=60，点E、F分别是AB、BC上的动点，连接DE、DF、EF，若AB=4，将BEF沿EF翻折得到EFP（始终保持点P在菱形ABCD的内部），连接AP、BP及CP，请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长。9、如图，在四边形ABCD中，ABC=90，AB=CB，AD=CD，点M位对角线BD（不含点B）上任意一点，ABE是等边三角形，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM（1）求证：AMBENB；（2）直接回答：当点M在何处时，AM+CM的值最小？当点M在何处时，AM+BM+CM的值最小？请说明理由